第四章 随机变量的数字特征

1、 第四章 随机变量的数字特征4.1 数学期望 4.2 方差一、填空题1. 同时投掷三个骰子直到3颗骰子出现的点数之和是奇数时为止，问所需投掷次数的平均值为 2 ；2.已知随机变量的分布律为:012340.20.30.10.20.3 则的期望 37.7 ；3.已知随机变量,则二项分布的参数为 6 , 0.4 ；4. 设随机变量服从参数为的泊松分布，且已知，则 2 ；5. 设随机变量X服从参数为1的指数分布，则数学期望 4/3 ；6. 若、是两个相互独立随机变量，且则19 .若则 143 ；7.已知连续型随机变量的概率为,则的数学期望为 1 ,的方差为 0.5 ；8. 设随机变量X的概率分布为，则

2、= 2 。二、选择题1. 设X表示5次独立重复射击命中目标的次数，每次射中目标的概率为0.7，则的数学期望 （A）（A）13.3； （B）18.4； （C）4.55； （D）1.05.2. 设随机变量相互独立，其中上的均匀分布，记，则（A）（A）46； （B）14； （C）4 ； （D）100.3. 已知随机变量的数学期望为，对任意的，正确的是（C）（A）； （B）； （C） ； （D）.4. 设随机变量X的分布函数，其中为标准正态分布函数，则（C）（A）0; (B)0.3 ; (C)0.7; (D)1.5. 设，则（D）（A）0 ; （B）1 ; （C）0.5 ; （D）不存在.二、计算下列

3、各题1. 设球直径的测量值在上服从均匀分布,求球体积的数学期望。解 设球的直径为,其概率密度为 2. 设随机变量服从上的均匀分布，,求的数学期望和方差。解 的概率密度，。3. 在长度为a的线段上任意取两个点M与N，试求线段MN长度的数学期望。解: 以线段起点为原点，X，Y分别表示点M与N的位置， ， ，令， 这时 。4. 某射手每次命中目标的概率为0.8,连续射击一个目标,直至命中目标一次为止。求射击次数的期望和方差。解 “第次命中目标”,)=, 取 所以 , ,取 1故 从而 。5. 设轮船横向摇摆的振幅的概率密度为，为常数 试确定常数,并求和。解 1230.20.1000.100.310.

4、10.10.16. 设的联合分布为右表 求 设、求 设、求。 解 -1 - 0 1 0.2 0.1 0 0.4 0.1 0.1 0.1 0 1 4 9 160.1 0.2 0.3 0.4 0。7. 设随机变量X与Y相互独立,且都服从均值为0，方差为1/2的正态分布，求随机变量的方差。解 令。8. 箱内有4个白球和5个红球，不放回地接连从箱中2次取球，第1次取出3只球，第2次取出5只球设X和Y分别表示这2次取出球中的白球数，则为多少？解：条件期望的含义是：在已知第二次取出的5只球中有1个白球的情况下，第一次取出3只球中平均白球数是多少？为求得条件期望，先要求得条件下X的条件分布，即第二次抽取5只

5、球中只有1只白球，其余4只是红球，因此第一次抽球只能在3只白球和1只红球中随机抽3只球，这时X至少为2，因为红球只有1个，故，由此可算得下的条件期望。9. 某大楼共有10层，某次有25人在一楼搭乘电梯上楼，假设每人都等可能的在210层中的任一层出电梯，且出电梯与否相互独立，同时在210层中没有人上电梯。又知电梯只有在有人要出电梯时才停，求该电梯停的总次数的数学期望。解：由题设，每人在第i层下电梯的概率均为，设表示第k人在第i层下电梯，则有，又设，则因此，电梯停的总次数为， 。10. 设随机变量X的概率密度为 已知: E（X）=0.5, D（X）=0.15, 求系数a、b、c。解：由密度函数性质

6、及已给条件，知有， ， ，三个方程，三个变量，解之可得：。11. 设随机变量X，Y相互独立，且都服从，设，求。解：设，则，由于X与Y相互独立，则有而，则有。因此。四、证明题 设随机变量X和Y相互独立，试证明证明： ，因为X和Y相互独立，所以有，又，从而有。4.3 协方差和相关系数4.4 原点矩与中心矩一、填空题1.已知随机变量,且相互独立,设随机变量则 ；2. 已知；3. 随机变量，则；4. 已知服从二维正态分布，且若与Y独立，则等于 ；5. 某学生做一物理实验，独立重复试验了100次，假设每次试验成功的概率为，则当成功次数的标准差达到最大时为 1/2 。二、选择题1. 如果和满足, 则必有（

7、B） (A) 和独立； (B) 和不相关； (C )=0； (D) 2. 设随机变量和独立同分布,记则和必然（D） (A) 不独立； (B) 独立； (C) 相关系数不为零； (D) 相关系数为零.3. 设随机变量，且相关系数，则（D） ；. 4. 设随机变量满足，则为（D）（A）16； （B）- 9； （C）12； （D）-14.5. 设随机变量X和Y的相关系数为0.8，若，则Y与Z的相关系数为（D）（A）0； （B）1； （C）0.4； （D）0.8.6. 下列命题错误的是 （B）（A）X与Y不相关则； （B）X与Y不相关则X与Y相互独立；（C）随机变量X的方差； （D）.三、计算下列各题

8、1. 若随机变量在区域上服从均匀分布, 求随机变量,的相关系数。解 。2. 设随机变量的密度函数为 , 求：（1）系数,（3）协方差及相关系数。解 ；3. 设随机变量X的概率密度为.求：（1）；（2）的协方差，并问是否不相关；（3）问是否独立？为什么？解：（1）， （2） （3）对于任意实数，有4. 设随机变量()的概率密度为, 求的相关系数。 。5. 设随机变量服从上的均匀分布，令，求。解 6.二维随机变量的分布律为-101-11/81/81/801/801/811/8ab问a,b取何值时，不相关？此时是否独立？解 （1） ， ， ，若不相关，则（2）。7. 已知随机变量X与Y分别服从正态分布, 且X与Y的相关系数设， 求（）的数学期望和方差；（）X与的相关系数；（）问X与是否相互独立？为什么？解：(1) ， ， 由于X与Y分别服从正态分布，所以也服从正态分布；(2) 因为，注意到，且，所以 ，由协方差定义：；(3)由于X与均服从正态分布，故“相关系数为零”等价于“相互独立”，因此X与相互独立。8. 设，=，=，=，求和。解：；。9. 若随机变量X、Y相互独立同分布，均服从