九年级下_32圆的对称性

1、知识点一：圆的轴对称性 利用折叠的方法，我们可以得到圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线注意：(1)经过圆心的任意一条直线都是圆的对称轴，所以圆有无数条对称轴，所有对称轴的交点为圆心(2)轴对称图形的对称轴是一条直线，而圆的直径是一条线段，所以不能说：“圆的对称轴是直径”，而应该说：“圆的对称轴是直径所在的直线”或“圆的对称轴是过圆心的任意一条直线”例1：世界上因为有了圆的图案，万物显得更富有生机，以下图形（如图）都有圆，它们看上去是多么美丽与和谐，这正是因为圆具有轴对称性 (1)如图所示的三个图形中，是轴对称图形的有_（分别用三个图的序号填空） (2)请你再画出与上面图案不重复的与

2、圆相关的两个轴对称图案，分析：(1)根据轴对称图形的定义作出判断，也就是看能否将图形沿某一条直线对折，使图形两部分能完全重合若能，它就是轴对称图形，若不能，它就不是轴对称图形；(2)圆本身是轴对称图形，通过圆心的直线都是它的对称轴，所以在圆内任意画一个轴对称图形即可如：正三角形，正六边形等解：(1)根据轴对称图形的定义，应填、(2)根据要求可画出图案如下（答案不唯一）：变式训练1将一个圆形纸片对折后再对折，得到如图所示的图形，然后沿着图中的虚线剪开，得到两部分，其中一部分展开后的平面图形是( )参考答案：C知识点二：和圆有关的概念 1弧(1)圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，弧用符号“”表

3、示，如图中，以A，B为端点的弧记作“”，读作“圆弧AB”或“弧AB”(2)圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆大于半圆的弧叫做优弧；小于半圆的弧叫做劣弧，如图中，以A，D为端点的弧有两条：优弧ACD(记作)，劣弧ABD(记作)2弦与直径 连接圆上任意两点的线段叫做弦经过圆心的弦叫做直径，直径等于半径的2倍如图，线段AB是的一条弦，弦CD是的一条直径 3等圆与等弧半径相等的圆叫等圆，在同圆或等圆中，能够完全重合的弧叫等弧 4弦心距，弓形(1)从圆心到弦的距离叫做弦心距，弦心距也可以说成是圆心到弦的垂线段的长(2)由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形，如图，弦AB与组成两个不同

4、的弓形 例2 如图所示，下列说法中正确的是( )A线段AB，AC，CD都是的弦 B线段AC经过圆心O，线段AC是直径C线段AC与构成了半圆D弦AB将圆分成两条弧，其中是劣弧 分析：点A、B、C都在圆上，线段AB，AC是弦而点D不在圆上，线段CD不是O的弦，故A错；AC是经过圆心O的弦，AC是直径，故B对；直径把圆分成的两部分都是圆弧，叫半圆，C错；弦AB把圆分成两条弧，其中是大于半圆的弧，是优弧，故D错选B 解：B 例3 下列命题：直径相等的两个圆是等圆；长度相等的两条弧是等弧；圆中最长的弦是经过圆心的弦；一条弦把圆分成两条弧，这两条弧不可能是等弧其中真命题是（）A.、 B.、 C.、 D.、

5、 分析：直径相等的两个圆半径也相等，是等圆；等弧的定义的前提是在“同圆或等圆中”，不在同圆或等圆中的两条弧长度可能相等，但它们不能重合，只有在同圆或等圆中长度相等的弧才是等弧；圆中最长的弦是直径，即经过圆心的弦；直径可以把圆分成两条等弧半圆，故，正确解：A 点拨：正确理解半圆与弧，直径与弦之间的区别与联系，特别是理解等弧定义的前提条件即“在同圆或等圆中”是解题的关键 拓展 (1)弧与弦的区别：弧是圆周上的一部分，它是弯曲的；弦是一条线段，它是直的 (2)直径与弦的区别：直径是弦，但弦不一定是直径(3)弧与半圆的区别：半圆是弧，但弧不一定是半圆；半圆既不是劣弧，也不是优弧(4)等弧与等圆的关系：

6、等弧必须是同圆或等圆中的弧，因为只有在同圆或等圆中，两条弧才可能互相重合；长度相等的弧，不一定是等弧变式训练 1下列语句中不正确的是( )直径是圆中最长的弦；弧是半圆，半圆是弧；经过圆内一定点可以作无数条弦；长度相等的弧是等弧A B C D参考答案：C提示：正确，不正确，弧不一定是半圆；正确；不正确，等弧指的是在同圆或等圆中，两段能够完全重合的弧知识点三：垂径定理及其推论 1垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧， 注意：(1)定理中的“垂直于弦的直径”可以是直径，也可以是半径，还可以是过圆心的垂线段 (2)定理由两个条件推出了三个结论，简称“知二推三”，用几何语言表示如下：2

7、弧的中点：分一条弧成相等的两条弧的点，叫做这条弧的中点如上图，点C是的中点，点D为的中点3垂径定理的推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧 例4本市某居民区一处地下圆形管道破裂，修理人员准备更换一段新管道，如图，污水面宽度为60 cm，水面至管道顶部的距离为10 cm，问修理人员应准备内径为多大的管道？ 分析：如图，过圆心O作OC AB于点D，交于点C，连接OB.若设O的半径为r，在Rt BOD中，利用勾股定理即可列出关于r的方程，继而可解出r的值解：如图，弦AB表示污水水面，点O为圆心，圆形管道的内径即为的半径设半径为r，过点O作ODAB于点D，与交于点C根据垂径定理知，

8、点D是AB的中点，点C是AB的中点，CD就是污水水面至管道顶部的距离，由题意可知：在RtDOB中，解得r= 50.答：修理人员应准备内径为50 cm的管道， 点拨：解决此类型的实际问题，关键是将其转化为数学问题，先画出正确图形，找出图中的已知量，然后利用垂径定理构造直角三角形，最后利用勾股定理求解拓展(1)在垂径定理的运用中，常涉及弦长a，弦心距d(圆心到弦的距离)，半径r及弓形高h（弦所对的弧的中点到弦中点的距离）这四者之间的关系，如图，它们的关系是 r =d+h(2)在同圆中，圆的两条平行弦所夹的弧相等 例5 已知，如图，在O中M,N分别为弦AB，CD的中点，AB=CD，AB不平行于CD.

9、 求证：AMN=CNM. 分析：由弦AB，CD的中点M N联想到垂径定理的推论连接OM，ON，可得OM AB，ONCD，再根据垂径定理及两弦相等可得AM=CN.连接OA0C，由勾股定理易得OM= ON，即OMN=ONM，进而便可得出结论证明：连接OA，OC，OM，ON.M N分别是弦AB，CD的中点，又AB=CDAM=CN.在RtAOM和RtCON中，由勾股定理得又 OA = OC,OM = ON,OMN = ONM. AMN =90°+ OMN，CNM =90°+ONM,AMN=CNM 点拨：在题目条件中若涉及与弦（孤）的中点有关的问题时，常用的辅助线是连接圆心与弦（弧）

10、的中点的线段，然后运用垂径定理的推论解题， 变式训练 1要测量一个钢板上小孔的直径，通常采用间接测量的方法如果将一个直径为10 mm的标准钢珠放在小孔上，测得钢珠顶端与小孔平面的距离h=8 mm（如图所示），求此小孔的直径d参考答案：解：过点O作MNAB，交于点M、N垂足为C则OC= MC - OM=8-5=3(mm)在RtACO中，AB= 2AC=8(mm)此小孔的直径d为8 mm. 2如图，A、B、C为O上三点，D、E分别是的中点，连接DE分别交AB，AC于点F、G，求证：AF =AG.参考答案：4证明：连接OD、OE分别交AB、AC于点M、N，点D、E分别是的中点ODAB,OEAC,DM

11、F =ENC =90°。又OD = OE,D= E,DFM =ECN. 知识点四：圆的中心对称性1.把圆绕圆心旋转任意一个角度，都能与原来的图形重合，这就是圆的旋转不变性 注意：圆是平面图形中唯一一个具有旋转不变性的图形，也就是说旋转不变性是圆的特殊性质2 把圆绕圆心旋转180°，所得的图形与原图形重合，所以圆是中心对称图形，圆心就是它的对称中心 例6 (1)车轮为什么都做成圆形而不是方形？ (2)车轮边缘上两点与车轮轴心的距离有什么关系？ (3)要使车轮平衡地滚动，车轮边缘上任意一点与轴心之间的距离都应满足什么关系？ 分析：车轮做成圆形主要是运用了圆的旋转不变性，这样能使

12、车轮行驶时更平稳解：(1)车轮做成圆形是因为行驶过程中每时每刻都可以保证与地面相接于一点，且车轮边缘上任意一点与轴心之间的距离相等，这样比方形车轮行驶时更平稳；(2)相等； (3)相等变式训练1图中是几种名车的标志，其中是中心对称图形的有（） 、5 参考答案：B提示：第一幅和第四幅图是中心对称图形知识点五：圆心角、弧、弦之间的关系知识解读 1圆心角顶点在圆心的角叫做圆心角，圆心角的顶点是圆心，角的两边都与圆相交，顶点的位置是判断圆心角的关键2弧、弦、圆心角之间的关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等3重要推论 在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦有一组量相等

13、，那么它们所对应的其余各组量都分别相等 注意：不能忽略“在同圆或等圆中”这个前提条件，否则，丢掉这个前提，虽然圆心角相等，但所对的弧，弦，弦心距不一定相等例7 如右图，AB是半圆的直径，E为OA的中点，F为OB的中点，MEAB于点E，NF AB于点F，的长是的几倍？ 分析：根据“直角三角形中有一条直角边等于斜边的一半，则这条直角边所对的锐角为30°，求出AOM和BOM的大小再推出AOM=MON=BON= 60°从而导出证明：连接OM，ON. 例8如图所示，为等圆，连结两点，点E为的中点，过点E作直线交于A，B两点，交于C，D两点，求证：AB= CD. 分析：要证两条弧相等，

14、可以通过圆心角，弧，弦，弦心距之间的关系定理，只要证明这两条弧所对的弦的弦心距相等即可. 证明：过点分别作，垂足分别为点M，N，又点E是的中点在和中，= (对顶角相等)，=(已证)，(已知)，在RtAMO与Rt中， 点拨：(1)在同圆或等圆中，证两弧相等时常用的方法是找这两孤所对的弦相等，或所对的圆心角相等，而题中一般没有已知的等弦或等圆心角，必须借助三角形全等知识解答(2)在同圆或等圆中，相等的弦心距所对应的弧相等，弦相等、圆心角相等变式训练1如图，已知OA，OB是的半径，C为的中点，M.N分别为OA，OB的中点 求证：MC= NC.参考答案：证明：连接OC.C为的中点MOC=NOC又M、N

15、分别为OA、OB的中点2已知：如图，在O中，弦AB=CD.求证：AD= BC.参考答案：证明：证法1：如图所示，AB=CD，即 证法2：如图，连接OA，OB，OC，OD.AB=CD,AOB=COD.AOB-DOB=COD-DOB即AOD=BOC.AD= BC.1、 专题精讲 题型一：与垂径定理有关的计算和证明 例1 （四川南充）在圆柱形油槽内装有一些油，截面如图所示，油面宽AB为6 dm，如果再注入一些油后，油面AB上升l dm，油面宽变为8 dm，则圆柱形油槽直径MN为( )A.6 dm B.8 dm C.10 dm D.12 dm分析！如图，油面AB上升1dm得到油面CD,AB=6 dmC

16、D=8 dm过点D作AB的垂线，垂为点E，交CD于点F连接OA，OC由垂径定理，得设OE =x（dm），则OF=（x-1）(dm)在RtOAE中，在RtOCF中，OA=OC,解得x =4.半径半径MN=20A =10 dm故选C 解：C例2 如图所示，已知AB为的弦，从圆上任意一点引弦CDAB，作OCD的平线，交于点P求证：PA= PB， 分析：本题要证明两条弧PA与PB相等，由于PA与PB恰好构成了一条弧AB，且为弦AB所对的劣弧，因此只需证明点P为的中点，由此应联想到垂径定理，自然需连接OP，然后证OPAB即可 解：连接OP，则OP= OC，OPC=OCP.又CP是OCD的平分线， DCP

17、= OCP, OPC= DCP.OP/CD.又CDAB，OP AB. PA= PB（垂径定理）变式训练1如图，AB是半圆的直径，点O是圆心，C是半圆上一点，点D是弦AC的中点，OD的延长线交弧AC于点E若AC=8 cmDE =2 cm，则OD的长为 cm. AE与EC的关系是_参考答案：3；相等提示：由点D足弦AC的中点，且OE是的半径，根据垂径定理的推论可知，设OD =x(cm)，则OE= OA=OD+DE= (x +2) cm.在 RtAOD中,解之得x=3 2如图，在中，直径AB与弦CD相交于点E，已知AE=l cm，BE=5 cm，DEB= 60°，求弦CD的长参考答案：解：

18、过点D作OFCD于点F，连接OD.AE =1 cm,EB =5 cm,AB=AE+EB=6(cm),OE = OA -AE =2(cm).在 RtOEF中,DEB=60°,(cm)在RtOFD中，(cm)又CF=DF，题型二：应用垂径定理作图 例3图为一自行车内胎的一部分，如何利用所学知识将它平均分给四个小朋友做玩具？ 分析：如图，要四等分，可先画出垂直于弦AB的直径，而这条直径应在弦AB的垂直平分线上，因此，画AB的垂直平分线就能把两等分，然后再用同样方法平分和，这样便可将AMB四等分， 解：如图所示，表示自行车内胎的一部分(1)连接AB；(2)作AB的垂直平分线MT，交于点M，交

19、AB于点T；(3)连接AM,BM；(4)分别作AB，BM的垂直平分线，交AM，BM于N，P两点，则N，M，P三点即把四等分， 点拨：欲将圆上的孤平分，先要平分该孤所对的弦，而不是平分与之对应的线段，变式训练1.如图所示，已知AB，你能将这段弧八等分吗？（不写作图过程，保留作图痕迹）参考答案：解：如图题型三：圆心角、弧、弦之间关系的综合运用例4 已知：如图，AOB= 90°，C，D是的三等分点，AB分别交OC，OD于点E，F.求证：AE= BF=CD. 分析：借助同圆半径相等构造等腰三角形，由l=2=3推出AC= CD= BD，则证明AE=BF=CD，就转化为证明ACE和BDF是等腰三

20、角形求出AEC、ACE、BFD和BDF的度数即可证明所求证结论证明：连接AC ,BD.AC=CD=BD,AOB=90°,OA=OB, l=2=3 =30°, 4=5 =45°,AC= CD= BD.AEC=l+4=30°+45°=75°.在AOC中OA=DC ACO = AEC.AE =AC.同理 BF = BD.而 AC = BD = CD ,AE = BF = CD. 点拨：解决有关圆的问题时，利用三角形内等角对等边，可以帮助我们进行角的关系与边的关系的转化。例5如图，在中，AB =2CD，那么( )A >2 B <2

21、 C =2 D与2 大小关系无法比较分析：由线段的倍分问题类比联想可以把AB的一半作出，再比较与CD的大小具体解法如下：如图，过圆心O作半径OFAB于点E，连接AF，FB，则有又AB =2CD,AFB中，有 AF + FB >AB,>2 >2 .即AB >2 CD.故选A解：A变式训练1.如图，在ABC中，A= 70°O截ABC三条边所得的弦长都相等，求BOC的度数参考答案：解：过点D作ODAB于点D,OEBC于点E，OFAC于点F，令AF与圆交于点G，连接OG，AD与圆交于点H，连接OH. 截ABC三条边所得的弦长相等， 则有DH=CF，在RtODH与RtO

22、FG中OH= OC，DH= CFRtODHRtOFGOD=OF.同理OD=OE则OD= OE= OF.OB平分ABC，OC平分ACB.又A =70°,ABC + ACB = 110°.BOC=180°-55°-125°.2.在同圆中，圆心角AOB=2COD( AOB< 180。)，则AB与CD的关系是( )A =2 B >2 C <2 D不能确定参考答案：A提示：取中点G，则AOG -COB= COD即3.如图，AB，CD为O的两条弦，OE，OF分别为其弦心距，若OE> OF，求证：AB< CD.参考答案：证明：连

23、结OC、OA.OFCDOEAB在RtCFO和RtAEO中.CF > AE,CD > AB. 即AB < CD.题型四：垂径定理的综合应用例6如图，在中，AB是直径，P是AB上一点，且NPB= 45°(1)如图，当点P与圆心O重合时，求的值；(2)如图，若MP=1，NP=7，求的值；(3)如图，当点P在AB上运动时，(2)中结论是否改变？若不变，求其值；若变化，求其变化的范围 分析：第(1)题根据直径是半径的2倍易求出结果；第(2)题可利用垂径定理构建直角三角形再解直角三角形，代入数值求出结果；第(3)题可先设出变量，再参考第(2)问的解题方法代入变量，通过代数运算求

24、出结果，解：(1)设的半径为R，则(2)过点 O作 OCMN,则 MC=CN=4,PC=3. NPB =45°,:. OC=PC=3.连接ON， AB =20N =2x5 =10.(3)过点O作OCMN，设NP =aMP=6 NPB = 45°，连接OM，当点P在AB上运动时，(2)中结论不变，的值仍为 点拨：从特殊到一般性结论，解题思路及方法一般不会变化变式训练1.（江苏竞赛）如图，已知AB是的一条弦，C是劣弧上的一个动点（点C与A，B及,AB的中点均不重合），作直径CD，交AB于点P作CE AB于点E，DFAB于点F设DF - CE =a，则a值是否随点C的移动而改变？

25、若不改变，请加以证明；若改变，请说明理由，参考答案：解：a值不随点C的移动而改变证明：过点D作OGAB于点G，连接CG并延长交DF于点M，则DM= 2GO.MG= CG又MFG=CEG=90°MGF=CGE，MGFCGE,MF= CE,a= DF - CE= DF - MF= 2GOa为一定值题型五：利用垂径定理解决实际问题 例7 如右图，公路MN和公路PQ在点P处交汇，且QPN= 30°.点A处有一所中学，AP=160m假设拖拉机行驶时，周围100m以内会受到噪声的影响，那么拖拉机在公路上沿PN方向行驶时，学校是否受到噪声影响？请说明理由；如果受影响，那么学校受影响的时间

26、为多长？（拖拉机的速度为18 km/h） 分析：先将实际问题转化为数学问题：在数学问题中，已知圆的半径，求弦长，基本思路还是作弦心距AB.解：过点A作ABMN于点B在RtPAB中，QPN= 30°，PA=160mAB= 80 m<100 m学校会受到噪声影响 以点A为圆心，以100m为半径作OA交MN于C、D两点，由垂径定理和勾股定理求得BC=60m，故CD=120m又拖拉机的速度为故学校受噪声影响的时间为120÷5 =24(s). 点拨：运用数学知识解决日常生活中的实际问题，关键是根据题意，建立数学模型，即明确题申所要解决的问题相当于数学中的一个什么问题，只有建立好

27、数学模型，才能有效地运用数学知识分析问题进而解决问题变式训练1.高致病性禽流感是比SARS病毒传播速度更快的传染病若疫点0处发生疫情，为防止蔓延，规定离疫点3 km范围内为捕杀区，应杀死所有禽类，离疫点3km至5km范围内为免疫区，所有禽类强制免疫，同时对捕杀区与免疫区的村庄、道路封闭管理现有一笔直公路AB通过禽流感疫区，如图所示，捕杀区内公路CD长4 km，则公路在免疫区的路程有多长？ 参考答案：解：如图所示，过点D作ON上CD于点N，连接OA，OC由垂径定理得2( km)令AC =x( km)，则（舍去），同理，BD=公路在免疫区的路程长题型六：与垂径定理有关的分类讨论题 例8在半径为10

28、 cm的圆内有两条互相平行的弦，一条弦长为16 cm，另一条弦长为12 cm，求两条弦之间的距离 分析：根据题意，画出图形，这是与半径、弦长有关的问题，很自然联想到运用垂径定理，作出垂径根据弦长，圆心到弦的距离d，半径r三者之间的关系解决问题但在解答本题时，一定要注意分两种情况讨论，即两条平行的弦可能在圆心两侧，也可能在圆心同侧 解：(1)如图所示，如果两条平行的弦在圆心两侧，过点D作EFAB于点E，交CD于点F，连接AO，CO.EF AB,AB/ CD，EFCD.在Rt AOE中，在RtCOF中，:. EF = OE + OF = 14( cm).(2)如图所示，如果两条平行的弦在圆心同侧过

29、点D作OE AB于点E，延长OE交CD于点FABCD，则OFCD，连接AO，CO.在RtAOE中，在RtCOF中，EF= OF-OE =2(cm).答：两条弦之间的距离为14 cm或2 cm.变式训练1.已知梯形ABCD的各顶点均在O上，ABCD，O的半径为8，AB =12，CD =4，求梯形ABCD的面积S参考答案：解：(1)当AB，CD位于圆心O的同侧时，如图所示过点0作ONCD于点N，交AB于点M，连接OB ,OC.ONCD ,ABCD,OMAB.又 (2)当AB，CD位于圆心O的两侧时，如图所示过点0作ONCD于点，NO的延长线交AB于点M，连接OB，OC.又OB =OC =8,即梯形

30、ABCD的面积S为或二、学法提炼、解题方法（1）欲将圆上的孤平分，先要平分该孤所对的弦，而不是平分与之对应的线段，（2）解决有关圆的问题时，利用三角形等角对等边的知识，可以将圆的内接三角形的角与边的关系进行转化。 （3）运用数学知识解决日常生活中的实际问题，关键是根据题意，建立数学模型，即明确题申所要解决的问题相当于数学中的一个什么问题，只有建立好数学模型，才能有效地运用数学知识分析问题进而解决问题、注意事项 （1）在应用圆心角、弧、弦之间的关系时容易忽视“在同圆或者等圆中”这一个前提条件。（2）一个圆中，学生容易误认为弧长之比等于弦长之比。（3）在解决有关弦，弦心距问题时，学生往往只考虑一个

31、方面，而忽视圆的对称性可能会有两种情况满足条件。一、能力培养综合题1：某地有一座弧形拱桥，圆心为点O，桥下水面AB宽为7.2m，过点0作OC AB于点D，交圆弧于点C，CD=2.4 m，如图，现有一艘宽3m，船舱顶部为正方形并高出水面AB2m的货船要经过此拱桥，此货船能否顺利通过这座拱桥？ 参考答案：解：如右图所示，连接OA、OB、ON，设CD交MN于点H， 则AB=7.2m，CD=2.4mEF=3 m，OCAB，OCMN点D为AB，EF的中点设OA =R(m)，则OD=OC -在RtODA中，即，解得R=3.9在RtOHN中FN= DH= OH-OD=3.6-(3.9-2.4)=2.1(m)

32、2.1 m>2 m货船能顺利通过这座拱桥综合题2：如图，MN是的直径，半径为1，点A是半圆上的一个点，AON= 60°，AON的平分线交于点B，P是直径NM上一动点观察图形并思考，是否存在点P，使PA+PB有最小值？若存在，则最小值是多少？参考答案：解：存在点P使PA+ PB有最小值过点B作BBMN交OO于点B，连接PB，AB，OB如图，根据垂径定理，知MN垂直平分BB，点B与点B关于MN对称，PB=PB'于是PA+PB= PA+PB'当A，P，B三点在同一直线上时，PA+ PB最小，此时PA+ PB'=AB'AON =60°OB平分A

33、ON，点B，B关于MN对称，B'ON= BON= 30°,AOB= 90°在RtAB'O中，OA = OB' = 1,即PA+ PB的最小值为2、 能力点评1，解题方法（1） 综合题1：解出这道题的关键是这座桥能否通过一艘宽3m，高2m的船，则要看这座桥的横截面能否截出长3m,宽2m的长方形，若能截出，则船能通过，反之则不能通过。（2）综合题2：要MN上找一点P，使PA+PB的值最小，需要用到对称性。设B是B关于MN的对称点，连接AB，与MN的交点即为点P此时PA+PB=AB是最小值2，解题技巧（1） 解决拱桥问题，通常是利用半弦，半弦和弦心距构造直

34、角三角形，根据直角三角形中的勾股定理作为相等关系解方程求出线段的长度。（2） 考察线路最短问题一般要通过做对称，结合三角形两边之和大于第三边得到P、A、B三点共线是最短。学法升华一、 知识收获2、 方法技巧总结（四号宋体加粗黑色）(1) 根据轴对称图形的定义将图形沿某一条直线对折，使图形两部分能完全重合若能，它就是轴对称图形，若不能，它就不是轴对称图形；圆本身是轴对称图形，通过圆心的直线都是它的对称轴，所以在圆内任意画一个轴对称图形即可如：正三角形，正六边形等(2) 在垂径定理的运用中，常涉及弦长a，弦心距d(圆心到弦的距离)，半径r及弓形高h构造直角三角。利用勾股定理求边长。(3)若涉及与弦

35、（孤）的中点有关的问题时，常用的辅助线是连接圆心与弦（弧）的中点的线段，然后运用垂径定理的推论解题.(4)在同圆或等圆中，证两弧相等时常用的方法是找这两孤所对的弦相等，或所对的圆心角相等，而题中一般没有已知的等弦或等圆心角，必须借助圆周角相等的知识解答课后作业夯实基础1.（广西桂林）下面四个图标中是中心对称图形的是( )2（湖南怀化）如图，CD是O的直径，AB是弦（不是直径），ABCD于点E，则下列结论正确的是( )AAE> BE B CD=AEC DADECBE3如图所示，已知AB是的直径，C，D是的三等分点，AOE= 60°，则COE是( )A.40° B.60&

36、#176; C.80° D.12°。4下列命题：圆心不同，直径相等的两圆是等圆；长度相等的两弧是等弧；圆中最长的弦是直径；圆的对称轴是圆的直径；圆不是旋转对称图形其中正确的有( ) A.l个 B.2个 C.3个 D4个5如图所示，在同心圆中，大圆的弦AB交小圆于点C，D已知AB=2CD，AB的弦心距等于CD长的一半，那么大圆与小圆的半径之比是( )A.3:2 B.:2 C.: D.5:4 6如图所示，点C为的中点，CNOB于点N，弦CDOA于点M若的半径为5 cm，ON =4 cm，则CD的长等于_7如图所示，过点P，A，B的直线过圆心D，请再添加一个条件，使弦CD与弦EF相等，添加的条件是_8如图所示，以ABCD的顶点A