推荐下载山西省太原市高中数学竞赛解题策略-几何分册第24章密克尔定理

1、第24章密克尔定理定理1 (三角形的密克尔定理)设在一个三角形每一边上取一点(可在一条边、或两条边、或三条边的延长线上取),过三角形的每一顶点与两条邻边所在线上所取的点作圆,那么这三个圆共点.沈文选.三角形的密克尔定理及应用 J.中等数学,2021 (11): 5-8.证实在 4ACF 中,令 ZCAF =3,ZACF =ct2 , /CFA =%.如图24-1 (1), B、D、E分别在 4ACF的三边 AC, CF , FA上.设4ABE与4BCD的外接除交于点 B外,另一交点为M ,联结 BM , DM , EM ,那么 ZBME =180°- a1 ,/BMD =180 a2

2、 .于是,/DME =360©-NBME /BMD =必 +ot2 =1803o(3,从而知 M , D , F , E四点共圆.A(3)图 24-1故4ABE, ACDB , FED的外接圆共点于 M .对于图24-1 (2), B、D分别为4ACF的边AC, CF上的点,E在边AF的延长线上.设 ABE与 BCD的外接圆除交于点 B外,另一交点为 M ,联结BM , DM , EM ,那么/BME =180.3,/BMD =a2,于是,/DME =/BME /BMD =180°3% =%=180*/DFE ,从而知 M , D , F , E 四点共圆.故 ABE, A

3、CDB , AFED的外接圆共点于 M .对于图24-1 (3). B、D、E分别为4ACF的三边CA, CF , FA延长线上的点.设4ABE与4BCD的外接圆除交于点 B外,另一交点为 M ,联结BM , DM , EM ,那么/BMD =%,ZBMD =% ,于是,/DME =NBME +NBMD =必 +% =180°"3 =/DFE .从而知 M , F ,D, E四点共圆.故 4ABE, ACDB , AFED的外接圆共点于 M .对于其他取点情形均可类似于上述情形而证.特别地,假设有一点取在三角形的顶点, 那么过两个重合的点之圆与这两点所在的边相切. 又假设

4、取的三点共直线,如图 24-1 (2)、(3)中的点B、D、E共直线,那么对 4ACF来看,直线 BDE截其三边时,三圆l_ ABE , L CDB , L FED共点于M ;对 ABE来看,直线CDF截 其三边时,三圆L ACF , L CDB , L FED也共点于 M ;此时四圆l_ ABE、L ACF、L CDB、 l_ FED共点于M ,因而可得如下推论：定理2 (完全四边形的密克尔定理)四条一般位置的直线形成的四个三角形,它们的外接圆共点.如图24-2,四条直线两两相交又没有三线共点而构成四个三角形的图形称为完全四边形,其交点记为 A,B,C,D,E,F.在完全四边形 ABCDEF

5、中,4ACF , AABE, BCD , DEF的外接圆共点于 M ,也可这样推证：设4ACF和 ABE的外接圆的另一交点为 M , 联结 AM , BM , DM , EM , FM ,那么由图 24-2.FCM = . FAM =. EAM =. EBM =. DBM ,即知D , B , C , M四点共圆.同理,E , F , D , M四点共圆.或者也可这样推证：设 4BCD和4DEF的外接圆的另一交点为 M ,作M分别在直线AC、 CF、BE、AE上的射影P, Q, R, S ,那么由西姆松定理及其逆定理来证第 14章性质3） .定理1中的点M称为三点B , D , E关于4ACF

6、的密克尔点, 4BDE是点M的密克尔三 角形,三个圆称为密克尔圆.假设点M为4ACF三边AC , CF , FA上的点B, D, E关于该三角形的密克尔点,那么有结论1 ZMDF C =ZMEAF尸/MBC A,即密克尔点与所取三点的联线与对应边所成的锐角相等.这个结论可由四点共圆时,同弧上的圆周角相等或四边形的外角等于内对角即得.又对于图24-1 2其他图类似推导有ZCMF = ZCMD /DMF =/CBD /DEF=：/BDA dBAD ： ：/ADE /DAE = ZA d BDE,等三式得到如下的密尔克等式对于图 24-1 2、3亦有类似等式：结论 2/CMF =/A+/BDE ,

7、/FMA =/C+/DEB , /AMC =/F+/EBD .我们可以密克尔点 M作出任一组3条直线与三边成等角,或过M与三角形的一个顶点任作一圆.从而有穷多种方法定出它的密克尔三角形.因而,有结论：结论3假设点M为4ACF所在平面上一定点,那么有无穷多种方法定出它的密克尔三角形.对于三角形的密克尔圆,也有如下结论：结论4设 ACF的三个密克尔圆ABA'、L CDB、FED与 ACF的外接圆依次交于点A'、C'、F',那么 A'BCsa'EF, CBAsc'DF, FbCsFEA.事实上,如图24-3,由相交两圆的性质 2的推论1即证.A

8、图 24-3结论5设D、E、B分别是 AACF的CF, FA、AC上的点,自A、C、F各引一直线a , c, f 分别交密克尔圆 ABF、|_CDB、FED 于点 A'、C'、F'.那么(1)当 a, c, f 交 于一点P时,A', C',F', P, M五点共圆；(2)当 a/ c/ f ,时,A'、 C'、M、 F四点共线.证实(1)如图 24-4 (1),由么 NPAM =/MEA = /MBC=/MDF =ZFFM =/PFM,知 M、P、A '、F'四点共圆.图 24-4同理,M、P、F'、C四

9、点共圆.故A'、C'、F'、P、M五点共圆.(2)如图 24-4 (2).联结 AM、MC',由 NAA'M =/MEF =/MFF ,知 A'、M、F共线.联 结 MC' 与 直 线 a 交 于 点A, 那么乙A ' A1 =陷 0s A N A1 C= 0 ' © 'A3 即A、C、AM 四 M-B£点共圆,而A"又在直线a上,从而知A"与A'重合,故C'、A'、M三点共线.由于A'、M公用,这两条直线重合,故 A'、C'、

10、M、F'四点共线.在定理1中,任意一组在三角形三边所在直线上共线点,它们的密克尔点在其外接圆；反之,外接圆上任一点的密克三角形(所取的三点为顶点的三角形)化为一条直线段.由此可知,三角形的西姆松线段也是一个特殊的密克尔三角形.定理2中的点M称为完全四边形的密克尔点,点M在完全四边形各边的射影共线,此线称为完全四边形的西姆松线.假设点M是完全四边形 ABCDEF的密克尔点,即 AACF , ABCD , ADFF , 4ABE的外接圆共点,假设注意到这些三角形的外心,那么有结论：结论6完全四边形的四个三角形的外心及密克尔点五点共圆.事实上,如图 24-2,设 O1, O2, O3 , O

11、4分别为 AACF , ABCD , ADEF , 4ABE 的外1心,那么汪忌到 CM 为L Oi 与1O2 的公共弦,有 ZO1O2M =180 3/CO2M =180./CDM ,21汪息到 MF 为 L O1 与 L O3 的公共弦,有 /O1O3M = NMO3F =NFEM =180NFDM .2从而,NO102M +/0103M =360©-jCDM /FDM =180°,即知 O1 , O2 , M , O3 四点共圆.同理,O2, M, O3, O4四点共圆.故O1, O2 , M1, .3,.4五点共圆.由于完全四边形中,既有凸四边形,又有凹四边形及折四

12、边形,而其密克尔点唯一确定,因而,有结论：结论7假设完全四边形中的凸四边形或折四边形满足特殊条件时,那么其密克尔点处于特殊位 置,且两个三角形外接圆的另一交点即为密克尔点.注意到结论3,结论7,我们可得到三角形密克尔定理的一系列推论,下面仅以定理 3,定 理4为例介绍之.定理3在4ABC中,点D, E, F分别在边BC , CA , AB上,设 M为箕密克尔点,那么(1)当AD _LBC ,且M在AD上时,点E , F与密克尔BDF、 DCE的圆心.1、.2四点共圆的充要条件是 M为 ABC的垂心；(2)当D , E , F分别为内切圆与边的切点,4ABC的外接圆与其密克尔圆AFE ,L BD

13、F , L CED依次交于点 P, Q, R时,M为4ABC的内心,且直线PD , QE , RF共 点.证实(1)如图 24-5,由结论 1 知,ME_LAC, MF _LAB.此时,B, D , M , F 及 D , C, E, M分别四点共圆,有 AF AB = AM AD=AE AC ,即知B, C, E, F四点共 圆.A图 24-5又 AD _LBC ,知 O1 ,.2分别为 BM , CM 的中点,即有 OQ? / BC ,从而 /MO2Q =/MCB .充分性.当M为4ABC的垂心时,由九点圆定理即知O1, O2, E, F四点共圆.或者注意到B, Q, M, E及C, O2

14、, M, F分别四点共线,有/FO2O1 =/FCB =/FEB =/FEO1,即知 O1,O2 , E , F 四点共圆.必要性.当O1, O2 , E, F四点共圆时,即有 /O1O2E+/EFO1 =1801 (*)由 B, C , E , F 共圆,有 ZAFE = ZACB ,又/MO2 E =2/MCA , NBFO1 =NABM ,那么 由(*)式,有 R/ACB _/MCA )+2/MCA+(90o_NABM )+(90 立/ACB g=180 土 于是,得 /ABM =/MCA,即知 RtABMF RtACME .从而有AM cosCAC -AM sinCMF ME 口 AM

15、 cosB二,即有BF CEAB - AM sin B故AM = AB COsC -AC C0sB =2R cos A,其中R为ABC的外接圆半径. sin B cosC -cosB sinC另一方面,当H是ABC的垂心时,易得 AH =AC c0sA =2R .cosA .sin B从而,点H与M重合,即M为ABC的垂心.(2)加图24-6,当D , E , F分别为内切圆与边 BC , CA , AB的切点时,密克尔圆AFE、L BDF、L CED均过 ABC的内心,此时密克尔点 M即为其内心.AVU图 24-6联结 RE、 RD、 RA、 RB,那么 NERD = /ECD =/ACB

16、= /ARB,故/ARE = /BRD .又由 /REC=/RDC,有 ZAEB = /BDR,从而 AAREABRD.从而,ARAEAFBR BDBF即知RF平分/ARB.由上即知, RF过 ABC的外接圆U O的AB的中点 W .同理,PD , QE分别平分ZBPC , ZCQA,且分别过O上弧BC , CA的中点U , V .又PU , QV , RW分别过D, E, F点,那么只需证实 DU, EV, FW三线交于一点.由于 MD _LBC , OU _L BC ,那么 MD II OU .同理,ME II OV , MF II OW .设 ABC的外接圆、内切圆半径分别为R,那么配=

17、理=町=上OU OV OW r假设设直线OM与UD交于点K ,那么由上述比例式知,直线 VE , WF均过点K .故直线PD , QE , RF三线共点于 K .定理4在完全四边形 ABCDEF中,设M为其密克尔点,那么(1)当A, B , D, F四点共圆于LlO时,M在直线CE上,且OM _LCE ;(2)当B, C , E , F四点共圆于O时,M在直线AD上,且OM _LAD,又M为过点D的U O的弦的中点.证实(1)设4BCD的外接圆交CE于M连结DM那么/CMC' =40 醛F, D, M '四点共圆,如图 24-7.图 24-7从而,M '为完全四边形的密

18、克尔点,故M '与M重合.设 |_|0 的 半径为 R ,那么 CM CE=CD CF =(CQ-R'(CO +R)= CO2 -R2 .同 理,_2_2EM EC =EO -R .于是,CO2- EO2 = EC( CM EM )=( CM+ EMf CM- EM)= CM - EM2,由定差哥线定理,即知OM _LCE .(2)如图24-8,设4BCD的外接圆交直线 AD于M 那么AD AM ' = AB AC = AF AE , 即知E , F , D , M '四点共圆.AN 图 24-8从而,M '为完全四边形的密克尔点,故 M '与M

19、重合.联结CO , CM , EO, EM ,设N为AM延长线上一点,那么/CME =/CMN +/NME=/CBE+/CFE=2/CBE = /COE ,即知 C , E, M, O 四点共 圆.1NOMN =/OMC +/CMN =4OEC +-ZCOE =90*.2故OM _LAD ,且M为过点D的U O的弦的中点.由图24-7,我们又可得如下结论类似地也可由图24-8得到有关结论.结论8假设点D为4ACE的三边CE, EA, AC上的点M , F , B关于该三角形的密克尔 点,设O为密克圆L ABF的圆心,那么 OM _LCE .下面,介绍定理 4的两个推论,这也是定理 2的应用实例

20、.推论1在完全四边形 ABCDEF中,凸四边形 ABDF内接于O , AD与BF交于点G ,那么 LcDB , L CFA , L EFD , L EAB , L OAD , L OBF 六圆共点；L CFB , L CDA , L GAB,LGDF , L OBD , L OFA六圆共点；EFB , L EAD , L GBD , L GFA , L OAB , L ODF 六圆共点.证实如图24-9,设M为完全四边形 ABCDEF的密克尔点,那么由定理4 (1),知M在CE上, 且 OM _LCE .于是,C,M,D,B&M,E,F, D 分别四点共圆,有/BMO =90.NBMC

21、 =90"/ BDC=90 180一/BDF =. BDF -901 八1八1180 BOF -90 =90BOF2 2=/BFO .A图 24-9从而,知点M在|_ OBF上.同理,知点M在L OAD上.由密克尔点的性质,知|_CDB, CFA, EFD , EAB四圆共点于 M .故以上六圆共点M .同理,设N为完全四边形 CDFGAB的密克尔点,那么CFB CDA GAB GDF OBD , |_OFA六圆共点于N .设L为完全四边形 EFAGBD的密克尔点,那么EFB , EAD , GBD , GFA , OAB , L ODF六圆共点于L .推论2在完全四边形 ABCDE

22、F中,凸四边形 ABDF内接于O , AD与BF交于点G , CDB 与 L CFA, L CDA 与 L CFB , L OBD 与 L OFA , L ODA 与 L OBF , L EAB 与 L EFD , L EAD 与EFB , L OAB与ODF , L GAB与GDF , L GBD与GFA共九对圆的连心线分别记为 11, 12, 13,19,那么 11 , 12 , 13, 14 , OC 五线共点于 OC 的中点;14, L 16, 17, OE五线共点于OE的中点；13, 17, 18, 19 , OG五线共点于OG的中点.证实如图24-10,设M, L, N分别为完全四

23、边形 ABC-DEF , EFAGBD , CDFGAB的密 克尔点,那么 OM_LCE 于 M, OL_LEG 于 L, ON _LCG 于 N .A图 24-10由推论1中证实,知OM是ODA写L OBF的公共弦,那么14是0吊 的中垂线,从而知14过0. 的中点,14也过0E的中点.因CN是|_CDA与LCFB的公共弦,那么12是CN的中垂线,而 ON _L CN ,从而过0C的中 点；由CM是CDB与CFA的公共弦,那么li是CM的中垂线.又OM_LCM,那么li过OC的 中点；由ON是OBD与OFA的公共弦,那么13是ON的中垂线.又 ON_LCN,那么I3过OC 的中点,故1i,

24、12, & I, OC五线共点于OC的中点.同理,注意到 LE , ME , OL 分别是 L EAD 与EFB、L EFD 与EAB , L OAB 与 ODF 的公共弦,推知14, 1, 16, 17, OE五线共点于OE的中点.注意到 GN、LG、OL、ON 分别是GAB 与 GDF , GBD 与1GFA , OAB 与ODF , l_OBD与|_OFA的公共弦,推知13, 17, 18, 19, OG五线共点于OG的中点.下面,运用上面的定理、结论、推论处理一些问题.例1 2007年全国高中联赛加试题在锐角 ABC中,AB<AC, AD是边BC上的高,P 是线段 AD内

25、一点,过 P作PE _L AC ,垂足为E ,作PF _LAB ,垂足为F . O1 , O2分别是 BDF , 4CDE的外心.求证：Oi, O2 , E, F四点共圆的充要条件为 P是4ABC的垂 心.事实上,此即由定理 3 1即证.例2 2007年第39届加拿大数学奥林匹克题 ABC的内切圆分别切三边 BC , CA , AB 于点D , E , F , AABC的外接圆O与 AEF的外接圆O1 , ABFD的外接圆U O2、CDE的外接圆l_ O3分别交于点 A和P , B和Q , C和R.求证：1 l_ O1 , U O2, U O3 交于一点；2 PD, QE , RF三线交于一点

26、.事实上,此即由定理 3 2即证.例3 (2021年土耳其数学奥林匹克题) 圆r和直线l不相交,P , Q , R, S为圆上 的点,PQ与RS, PS与QR分别交于点A, B,而A, B在直线l上.试确定所有以AB为 直径的圆的公共点.证实如图24-11,由定理4 (1),知4ASP和4BRS的外接圆交于点 K,且K在边AB上.设 圆r的圆心为O ,半径为r ,那么OK 1AB .Q图 24-11注意到圆嘉定理,有BO2 -r2 =(BOr (BO +r/ BS BP =BK BA = BK.(BK +AK尸 BK 2 +AK KB .从而,AK KB =BO2 -BK2 -r2 =OK2

27、-r2 .对任何一对满足条件的点 A, B,由于O, K , r是固定的,所以,以 AB为直径的圆一定过直线OK上的两点,每点到直线l的距离为AK KB的几何平均值,即为 JOK2 -r2 .例4 (2021年第35届俄罗斯数学奥林匹克题)A和&分别是平行四边形 ABCD的边AB和BC上的点,线段 ACi和CA1交于点P , AAAiP和ACCF的外接圆的第二个交点Q位于 ACD 内部.证实： /PDA=/QBA.证实如图24-12,由于 AAP和ACCiP的外接圆的第二个交点为 Q,那么由定理2知,Q为 完全四边形BCiCPAAi的密克尔点,从而知Ai, B, C, Q共圆,有 /Q

28、BA =/QBA1 =/QCA1 .AA2D图 24-12由于Q位于 ACD内,可设直线CQ交AD于4,由/DAQ VQCC 1=4PQ 1 ,知点A2在 U APQ 上.联结 A2P ,注意 A , A , P , A 共圆及 AB / DC ,有 ZA2PC = ZA1AA, =1804- ZADC ,即知 A2, P, C, D 四点共圆,从而, NPDA =/PDA2=2PCA2 =NQCAi .由,知,/PDA=/QBA.例5 (IMO26试题)AABC,以O为圆心的圆经过三角形的顶点 A , C且与边AB , BC 分别交于另外的点 K, N. 4ABC和4KBN的外接圆交于点 B

29、M .试证：/OMB是直角.证实如图24-13 (1),假设三个圆的圆心共线时,4ABC为等腰三角形(BA=BC),此时,R与M重合.因此,三个圆的圆心必不共线,如图 24-13P A(1)(2)图 24-13(2) .不妨设它们的根轴交于点 P .在完全四边形CAPKBN中,显然M为其密克尔点,从而 OM_LPB.故/OMB是直角.例6 (1992年CMO试题)凸四边形ABCD内接于圆O ,对角线AC与BD相交于P, AABP , CDP的外接圆相交于 P和另一点Q,且O, P, Q三点两两不重合. 试证：NOQP=90©. 证实由题设,O, P, Q三点两两不重合知,四边形 AB

30、CD必不为矩形(困圆内接平行四边形必为矩形),那么不妨设 AB DC ,此时,可设直线 BA与直线CD交于点S.在完全四边形 SABPCD中,点Q为其密克尔点,于是 OQ_LSP,故/OQP=90 0.巾 / 11图 24-14例7 ( IMO 35试题) ABC是一个等腰三角形,AB = AC .假设(i) M是BC的中点,O是直线AM上的点,使得 OB垂直于AB;(ii) Q是线段BC上不同于B和C的任意点；(iii) E是直线AB上,F在直线AC上,使得E, G和F是不同的三个共线点. 求证：OQ垂直于 EF当且仅当QE =QF .证实如图24-15,对4AEF及截线BQC应用梅涅劳斯定

31、理,A图 24-15" AB EQ FC .有=1 . BE QF CA因 AB=AC ,那么 EQ =QF - BE =FC .由题设对称性知A, B, O, C四点共圆.于是,OQ _LEF ,注意OB_LABu B , E, O, Q四点共圆仁O为完全四边形ABEQCF的密克尔点 y Q , O , C , F F四点共圆.从而 BE = FC仁BEOQ与 UQOCF为等圆,且EO与直径=OQ _LEF .为等圆.且 EO为直径8 0Q上EF.例8 2021年全国高中联赛题如图 24-16,锐角三角形 ABC的外心为O, K是边BC上一 点不是边BC的中点,D是线段AK延长线上

32、一点,直线 BD与AC交于点N ,直线CD 与AB交于点M .A图 24-16求证：假设OK _LMN ,那么A , B, D, C四点共圆.证实用反证法,假设A, B, D, C四点不共圆,设 ABC的外接圆LIO与直线AD交于点E, 直线CE交直线AB于点P ,直线BE交直线AC于点Q .由定理4 2知,完全四边形 PECKAB的密克尔点G在直线PK上,且OG _L PK ;完全四边形QCAKBE的密克尔点 H在直线QK上,且OH _LQK .联结PQ .于是,注意到 G, H分别为过K的圆的弦的中点,知 O, G, Q及O, H, P分别三点 共线,从而知点 O是WQ的垂心,即有 OK

33、_LPQ .由题设,OK _LMN ,从而知PQ / MN ,即有股=-AP .QN PM对ANDA及截线BEQ ,对MDA及截线CEP分别应用梅涅劳斯定理, 有NB,里,丝=1BD EA QN及也DE"=1.CD EA PM由.得吧=也.再应用分比定理,有 ND =吧,即知4DMN sDCB . BD CDBD DC于是,ZDMN =/DCB ,即知BC II MN,从而OK _L BC ,得到K为BC的中点与矛盾.故A, B, D, C四点共圆.例9 ( 2007年国家集训队测试题)凸四边形 ABCD内接于|_| O , BA , CD的延长线相交于点H ,对角线AC , BD相

34、交于点G , Oi, O2分别为4AGD , 4BGC的外心,设OQ?与OG相交于点N ,射线HG分别交Oi, O2于点P , Q .设M为PQ的中点,求证：NO= NM .证实如图24-17,过点G作GT_LOQ,那么知TG切|_.1于6,HQ图 24-17即有 /AGT = ZADG = ZACB ,从而 TG II BC .于是,01G _L BC .而 OO2 _L BC ,那么知 01G / OO2 .同理,OO1 / GO2.即知01002G为平行四边形.于是,N分别为OG, 0Q2的中点.由定理4 (2)知,完全四边形 HABGCD的密克尔点 M '在直线HG上,且OM

35、'_LHG .设E, S, F分别为点.1, N,.2在直线HG上的射影,那么知 E为PG的中点,F为GQ的中点,S为EF的中点,且 S为GM'的中点.于是,PM =PG+GM '=2EG+2GS = 2ES,QM '=QG -GM '=2FG 2GS = 2ES .从而M '为PQ的中点,即知 M'与M重合,亦即知OM _LGM .故NM =1OG =NO .2练习题二十四1. .设AB是圆的直径,在直线AB的同侧引射线AD和BD相交于点C .假设 2ZA E B+ / A D=H8 0贝U AC AD + BC BC = AB .2.

36、 2001年北方数学邀请赛题设圆内接四边形的两组对边的延长线分别交于点P, Q,两对角线交于点 R,那么圆心O恰为4PQR的垂心.3. 1990年全国高中联赛题四边形ABCD内接于O ,对角线AC与BD交于点P , PAB、 PBC、PCD、APDA 的外心分别为Oi ,O2,O3 ,O4 .求证：O1O3,O2O4 与 OP 三 线共点.4. 2006年中国国家集训队测试题四边形 ABCD内接于O,且圆心O不在四边形的边上,对角线 AC与BD交于点P, AOAB> AOBC > AOCD > 4ODA的外心分别为.1、.2、O3、O4 .求证：O1O3、O2O4与OP三线共

37、点.5. 1997年CMO试题四边形 ABCD内接于圆,AB与CD的延长线交于 P点,AD , BC 的延长线交于Q点.由点Q作该圆的两条切线 QE和QF ,切点分别为E, F.求证：P,E, F三点共线.6. 2002年IMO43预选题圆Si与圆&交于P , Q两点,Ai , B1为圆&上不同于P,Q的两个点,直线 AP, BF分别交圆&于A2, B2,直线AB1和AB2交于点C.证实：当A和B1变化时, AA2c的外心总在一个定圆上.7. 九=1时为IMO46试题给定凸四边形 ABCD, BC=KAD,且BC不平彳T于AD ,设点 E和F分别在边BC和AD的内部,满足 BE=,uDF ,直线AC和BD相交于点P ,直线EF 和BD相交于点Q ,直线EF和AC相交于点R .求证：当E和F变动时, PQR的外接圆 经过点P外的另一个定点.8. 2005年国家集训队练习题 E, F是ABC边AB, AC的中点,CM, BN是 边AB, AC上的高,联结 EF , MN交于点P .又设O、H分别是 ABC的外心、垂心, 联结 AP、OH .求证：AP1OH .9. ?数学教学?2005 8数学问题652在4ABC中,AD为BC边上的中线,BE , CF 分别为AC , AB上的高,设BE