2018数竞平面几何四点共圆讲义教师版

1、rRD -AC刊、N,求证：Of = ON实用标准文案平面几何四点共圆冲刺讲义号姓名一、知识准备以下简单介绍讲义可能涉及的一些简单的知识：1 .欧拉线：的垂心H ,重心G ,外心.三点共线.此线称为欧拉线,且有关系：.1 - -2 .九点圆定理：三角形的三条高的垂足、三边的中点,以及垂心与顶点的三条连接线段的中点,共九点共圆.此圆称为三角形的九点圆,或称欧拉圆灰？的九点圆的圆心是其外心与垂心所连线段的中点2九点圆的半径是 必的外接圆半径的 夏.3 .三角形内心与旁心的性质：2VI0C的内心为/ ,而边外的旁心分别为 尸分别是三条内角平分线,/交三角形外接圆于M ,加工交8c于N ,那么:三角形

2、过同一顶点的内、外角平分线互相垂直；LBIC = - + - LBhC =22,-2.AB BD BN“'DC AC 角平分线定理；= MC “鸡爪定理二、例题分析例1.是"旧匚的外接圆口的直径,过D作圆日的切线交RU于尸,连接并延长PO分别交AS、精彩文档实用标准文案QfB QfNl证实：过出作的平行线分别交A.、4C于.、Nr,那么.廿 门N .取 BC 中点 G ,连接 OG、O'G、DG、DB .屏0bD G.四点共圆.- ODG = £OPG 而由 MNW,有 £0PR = tTBG ./. LODGLO'BG 05 0 尸四点共

3、圆.皿5=.0 而乙口"力月=乙4c月,a =OGHAC而.是四.的中点,二.'是不厂的中点,OrH = OrN' .二 OM = ONP是直线AE上例2.等腰梯形RM.中,AB a CD, E ,产分别是A4cO, A8co的内心, 的一点,PF-LCD A4C2的外接圆交CQ的延长线于0.证实：尸0"/.精彩文档实用标准文案LPFC = 90° - - LBCD = -(LCBD + LCDB)证实：二-LEAC + LECA - LPEC ,故 EFCP 共圆,那么 LECP - LEFP - 90",因此 . LPCQ '

4、 90" LDCE而 LPQA-180fl-LPCA = 180n-(90° + LACE) . 90.- LA CE - 90" - LDCE ,所以工尸4.工尸0/由此PQPA例3.在AA8C中,.+e = 3b,内心为 ,内切圆在以8,EC边上的切点分别为 匕E ,设K夏关于点/的对称点,上是E关于点的对称点.求证：“CK/四点共圆.精彩文档实用标准文案证实：设直线s/交的外接圆于点尸,易知尸是,圆的中点,记AC的中点为时,那么PM 1力匚.设点尸在直线DI上的射影为N , a + b + c r+ThP = 26由于+? 30,那么半周长2,千早 BD =

5、 RE r b 0 b = AC = 2cH又/ :'1所以MJBl s AA/C尸,且相似比为2 , 熟知：尸/ - PC PA.又 DBl s AjVP/所以川-2/N ,即士是IK的中点 进而同一此二以,所以4 c K 1 上都在以尸为圆心的同一个圆周上.上选取两点 C D使得C D例4.设A、B为圆上两点,X为 在A和B处切线的交点,在圆X依次位于同一直线上,且 CAL BD再设F、G分别为CA和BD CD和AB的交点,H为GX的中垂线与BD的交点.证实：X、F、G H四点共圆.证实：设O为圆心,ABH XO= M. AXOAg XAIMOX XM= XA2 = XC XD.

6、. O M C D四点共圆.精彩文档实用标准文案 /XMG /OC屋 ZODO ZOMC /CMG ZGMD在CM上选取一点 E使MX/ DE那么 MD= ME.CG CM CM CX而"心=标=茄.在GX上取点X ,使/ GFD= / DFX ,在 X' F上取 W使CF/ GWXT) X'F XT XC * _ _ _ 由0G FG FW CG 得 CG X D = X C GD由上面两式得 =,故X = X' .ZGFD= ZXFD/ H' XG= / H' FG= / H' FXH' G = H' X, . .

7、H' = H.X、F、G H四点共圆,得证.注：上述证法比拟麻烦,此题实质如下： 易知为调和点列,又 可得FD为LXFG的平分线, 设AYFG外接圆交80于H点,(=HH GX又= < 1 和/XPB= ZCDF< 1 . H和 B在 CX的同一侧.设H'为直线BF与 GF冷卜接圆的交点,那么例5.4 ABC中,E、F分别为 AB AC中点,CM E与垂心.求证：APL OHABN为高,EF交MNF P, O H分别为三角形的外心ABC定理知"X /G从而H在GT的中垂线上,精彩文档实用标准文案证实：由/ BMG /BNC= 90 知 R C N、M四点共

8、圆.AM- AB= AN- AC又 AE= AB AF = AC,AM- AE= AN- AF,即 E、F、N M共圆.注意到由/ AMht /AN,/AEO= Z AFO= 90知AH A%另ij为丛AMNAEF外接圆的直径.过AH中点H'与AO中点O分别为丛AMNf4AEF的外心,且易知 O' H' / OH 只需证API O' H',只需证 A、O为AMN AEF外接圆的等哥点即可.注意到 A为两圆公共点,而由 E、F、N M共圆知 PMPN= PE- PF.故P也为等募点.综上所述,原命题成立.例6.设ABCft接于圆Q过A作切线PQ D在射线B

9、C上,P在射线DA上,过P作圆O的割线PLJU在BD上,PU交圆O于Q T且交AB AC于R S.证实:假设 QR= ST,贝U PQ= UT证实：过O作OKL PU= K, OF! BU= F,连结AKM长交.O于另一点E,OA OE过C作CH/ PU交AE于G 交AB于H,连GF OP OU由垂径定理知 BF = FC QK= KT,且QR= ST.RK= KS即K是RS的中点,且CH/ PU= =? = = 1? HG= GC由中位线定理知 FG£ BH/FGE= Z BAE= Z BCE? F、G C E 共圆./EFC= /EGG /AGH= / UKG /EFG ZOKE

10、= ZOFC+ / CFE+ Z OKE=90+/UKG /OKE=90+ 90=180精彩文档实用标准文案P为以P点为圆心、PD为半径的圆.证实： C点在 BMD卜接圆与.P的根轴上.证实：作PR! AC其延长线交 BC延长线于S.K Q F、E四点共圆又. ZOKU- ZOFU= 2 X 90= 180,K O F、U四点共圆结合知 K O F、E、U五点共圆, /KUO= /KEO又.PA为.O切线？ OAL PA 且 OKL PU? / KEO= / KAO /KPG Z KUO? OP= OU又.OKL PUPK= UK而 QK= TUPQ= U得证.例7. AB AC为.O切线,A

11、DE一条割线,M为DE中点,P为一动点,满足 M O P三点共线,O /OMA ZOBA= /OCA= 90,A、C Q M B五点共圆.精彩文档实用标准文案 / BMP / BMA+ 90= Z BCA+ 90= 180 -Z RSCR M P、S四点共圆.C对ABM的卜接圆的哥为 一CB-CS= -2CA- CR而C对OP的哥为CP2- PD2 = CP2- AP2-AD- AE = CP2-AP2 + AC2=CR2 + RP2-PR2-AR2 + AC2=CR2- CR+ CA 2 + CA2=-2RC- CAC点对.P的哥等于C点到 BMP7卜接圆的哥.C点在上述两圆根轴上,得证.例

12、8.设H为 ABC勺垂心,D E、F为ABC勺外接圆上三点,使 AD/ BE/ CF, S T、U分别为 DE、F关于边BC CA AB的对称点.求证： S T、U H四点共圆.证实:先证引理：ABC7卜接圆.O与它的九点圆.V关于ABCW垂心H位似,且位似比为引理的证实：设 AH BH CH分别交边BCCA AB于 Q E、F,交O O于 D'、E'易知 HD= HD , HE= HE' , HF= HF .E' F'与 DEF关于H位似,位似比为ADZ Ef F1外接圆与 DEF#接圆关于H位似,即.O与.V关于H位似,位似比为回到原题：设 BC C

13、A、AB中点分别为X、Y Z,过 D作 DP/ BC 交.O于P,设PH中点为W易知SD±BC设PS交BC于X',那么由X'为BC中点,即X与X'重合,即同理P与U T分别关于Z、Y对称.四边形USHTW四边形ZYWX寸称.由引理知Z、X、Y、W四点共圆.U T、H S四点共圆,得证.精彩文档P与S关于X对称.VSD关于BC对称知SX = X D.实用标准文案例9.给定锐角 ABC过A作BC的垂线,垂足为 D,记 ABCW垂心为H,在 ABCW外接圆上任取一动点P,延长PH交4APD勺外接圆于 Q.求Q点的轨迹.解：Q点轨迹为 ABC勺九点圆.如图,取AH B

14、H PH的中点M N、K延长AD交ABC7卜接圆于G那么熟知HD= DG连接 KN MIN KD PB PG由于各取中点有/ NKD= / BPG / NMD： / BAGK M M D四点共圆.又Q在APD勺外接圆上,PH- HQ= AH- HD 即 2 KH HQ= 2 MH HDKH- HQ= MH HD于是有K D Q M N五点共圆.又ADM2卜接圆为九点圆,所以 Q在九点圆上.反之,在如上所述九点圆上任取一点Q',设Q H延长线交 AB&卜接圆于P',取P' H中点R,同上可证R在九点圆上.精彩文档实用标准文案故 2 RH- HQ = 2 MH HD

15、 即 P' H HQ = AH- HD因此Q'在4AP' D外接圆上.得证.例10.在 ABC中,D是BC边上的一点,设 O、Q分别是 ABD ACD勺外心,O是经过 A O、 Q三点的圆的圆心.求证： O D± BC? AD恰好经过 ABC勺九点圆心.证实：连AO、BO、AO、CO,彳AB AC垂直平分线交于点 O. /AOC = 2 /ADB= /AOB, AO = BO, AO = CO,AOBAAQC：. . AOQsABC/AOO = 180/AOB = 180/AOC = 180 / AOO故O在OO'上,O是ABC勺外心,故4 AO 8

16、A(OB.又/ADB= Z 1, ZOAB = /O' AO= /O' OAO' D± BC? /BAO= /ADO ? /ADO = / O' DA? A、O'、Q D共圆? ZAO O= 180-Z ADO /AD母 / ODC? /ADB= ZODCZAO O= 2 / ADB如图,设 OHM AD交于点K,彳BC中垂线OM交AD延长线于点 M OMW BC交于点L.由/ADB= ZODC? DL= LM? OM= 2 OL= AH? AAKIH MKO? OK= KH? K为九点圆心 ？ AD经过 ABC勺九点圆心.综上所述,命题得证.

17、精彩文档实用标准文案例11. AJ8C内接于 图,自广作国,的切线,又以乂为圆心,AC为半径作 国1交直线AB于% 交直线 /于月,6；那么四边形 /月的四条边所在直线分别通过的内心及三个旁心.以下,我们仍按 用“aRC情况给出图形和解答其实在所有情形下结论都成立证实：.、如图,设乙E/C1的平分线交£解于/ ,因= -4C那么点°,片关于直线T/对称,又因石°,先在国1上,那么乙4 a LAEJ = LAFJ,因此"/.月共圆, 由于力耳为®的切线,那么户；=LABC又由g = 所以实用标准文案££jZBA-iB + C

18、(A ,小=LFxA12-900 - LIAF 25 + 2故9人4共线,因此4为边外的旁心(4、设zjmc的外角平分线交直线与£于4,连1/,/ ,因4月4 弘=优必故人盟人共圆.4人巴 4伤,“明, " JFLBIEX - 昌所以G乩人共线,即8人是LB的外角平分线,因此4为AB边外的旁心.例12.三角形中,伍M是BC的中点,口民厂分别是8C,CME边上的点, 且？19的外接 圆交线段/Q于R假设点产满足：PD= PE * PF证实： ,1 ;1 证实：在圆中,由于弦故圆周角CAPE = LAPF = g(l 800 - A)= AABC = LACH因此,RR&quo

19、t;/与",.c“分别共圆,于是,' '1设点?在边"C"5"上的射影分别为4&G,那么 rd4 s 尸£回s 尸产C,故由尸.,“匕尸尸得,P/： = %PG团15 设的内心为八今证仇人RC四点共圆： 连4%4cp因户4bc/4c4分别共圆,.4 pq又由.i, 即,所以4s尸4G 因此,h jLPB.A, LPCA.jLPA.C. - jLPBC.,而所以由于'1 C , iLPBC, = LPBI + LIBA LICB = - = - = LIBA, 2 2故得上PCJ £P8/,因此&

20、人忆四点共圆,精彩文档实用标准文案AABPC =乙即 C = gF +二=180.民 于是-延长AM交MBC的外接圆于.那么力.为该外接圆的直径,于是OB±AH,OC,彳&且°/? = °, OC,因此,点O是"/PC1所在圆白圆心,从而力度4c为回的切线.延长乂.交国 于T,那么gb s MFC,所以 PC ,又由M8P s&iTH ,AB BTBT CT得乐,因k“月C,故而=斤.延长PM到G,使GM = PM ,那么BPCG为平行四边形,乙BTC'8W-LBPC-LPBG .BT PB PB由得CT = PC = BG .由

21、、得 "BG s ARTC所以,LBPQ = LTBC 0乙TPC,即乙BPM 乙CPD .三、稳固练习1. D为正三角形/护匚的边6C上的任意一点,设A4BO与AJUD的内心分别为人,4,外心分别 为aa；证实：°禽十粒.= 90°+ - = 120° .rnrr Em证实：如图,据内心性质,有2,所以1共圆,即点&在即仇上,而乙1°Qn2S120：得点.也在国DC?上,即"O/DC五点共圆.精彩文档此实用标准文案圆的圆心即为的圆心a ；3.尸 3y + LALf), - LDl.A + LACO. - 120°

22、+ 30° - 15.,同理有五点共圆,圆心为,因此.°尸d°2 - 01°2,且乙w=150°.由于 U.八90 EQQOj 60 那么 UQQ + ZVQQ - 30 ；又在 AD./ 中 41/必 +30 ；在 &DOJ 士 中 LI2DO2 + LDO2I2 - 30 .所以山、0.广揖0声、&.,.= 4再5于是NQ.""从而0/身上,勺由于在直角三角形以心中,小斯=",所以有'.实用标准文案QB- QC= QR QI. IQKN IKKQQR QI = QK2.QB- QC= Q

23、K2 = QN2,BN第卜接圆有切线 QN又QNO I切线, BNC7卜接圆与 ABC切圆切于N,证毕.3. ABC的三边分别交.O于X、X'、X Y'、Z、Z .假设 AYZ BXZ CXY的外接圆交于一点 M AY Z'、 BX' Z、 CY Z'的外接圆交于一点求证：OM= OM .证实：设M的等角共轲点为M,在BC AC AB上分别取点 X、Y、Zi使/MXiB = Z MYiC = Z MZiA = / MXC= / MYA= / MZBA Yi、ZiM四点共圆. / AZYi = / AMYi = / MYC / MAC=/ MZB- / MAB= / AMZ= / AYZY、Y、Zi、Z 四点共圆 i.同理可得Y、Xi、X、Yi共圆2,Xi、X