向量易错题带答案解析

1、1 .在AABC中,M是BC的中点,AM=1,点 P在 AM 上且满足学 AP= 2PM,那么PA (PB +PC)等于A、B、C、D、2.向量a =(1,2), b = (2,-3).假设向量c满足(c +a) / /b ,c _L (a + b),那么 c =.7 7、C、,3 9/ 77D、(-一, -)933. |AB'| =8,|AC|=5,那么|BC|的取值范围是A、3, 8B、(3, 8)C、3, 13D、 (3, 13)x1 y14.设向重 a =(x1, y1),b = (x2,y2),那么一=一是 a b的(X2y2条件.A、充要B、必要不充分C、充分不必要D、既不

2、充分也不必要5.以下命题:224(a) (a) =| a |(a b) c = (a c) b | a b |=| a | 1 b | 假设 a /b ,b /c ,那么 a /ca /b ,那么存在唯一实数入,使 b = 2- a 假设a c = b c , *-»设e1 ,e2是平面内两向量,那么对于平面内任何一向量 a ,都存在唯一一组实数x、y,使 a = xe + ye2 成立.假设 | a + b |=| a b |那么 a b =0. a b =0,那么 a = 0 或 b = 0真命题个数为A、 1B、2C、3D、3个以上6.和a = (3, -4)平行的单位向量是

3、;1 - a 1 1, a b1 7 .向量p=K+L,其中a、b均为非零向量,那么|p|的取值范围是.|a| |b|8 .假设向量a=(x,2x ), b = (-3x,21且a , b的夹角为钝角,那么x的取值范围是 一 A的,一9 .在四边形 ABCD 中,AB' = DC = (1,1), Li = T ,那么四边形 ABCDA叫 D的面积是10 . AABC 中, AB AC >0 , BC AB <0 , CB CA >0 ,判断 ABC 的形状为11 .向量a、b都是非零向量,且向量 a + 3b与7a5b垂直,a 4b与7a 2b垂直, 求a与b的夹角

4、.12 . a =(1+cosa,sinot), b =(1cos0,sin P), c =(1,0),久 w (0,冗),P w (n ,2n ) , a与c的夹角为0 1, b与c的夹角为0 2,且81 -82 = ,求sin的值.32TL13 .设两个向量 e1,e2,满足|e1|= 2, |e2|= 1 , e1与e2的夹角为3 .假设向量2te1 + 7e2与e1 + te2的夹角为钝角,求实数 t的范围.14 .四边形 ABCD 中,AB = a, BC = b , CD = c,DA = d,且 a-b = b-c = c-d=d a,试问四边形ABCD是什么图形？15 .如图,

5、在RtABC中,BC=a,假设长为2a的线段PQ以点A为中点,问PQf BC 的夹角8取何值时BP CQ的值最大？并求出这个最大值.16 .常数a>0 ,向量c= (0, a), i= (1, 0),经过原点O以c+Ai为方向向量的直线与经过定点 A (0, a)以i2m为方向向量的直线相交于点P,其中入贝.试问：是否存在两个定点 E、F,使得|PE|+|PF|为定值.假设存在,求出 E、F的坐标；假设不存在, 说明理由.17 .a是以点A(3,-1)为起点,且与向量 b= (-3,4)平行的单位向量,那么向量 a的终 点坐标是多少？18 .Pi(3,2) , P2 (8, 3),假设点

6、 P在直线 P1P2上,且满足|PiP|=2|PP 2|,求点 P 的坐标.19 .在边长为1的正三角形abc中,求ABlBC+BCGA+CAJAB的值.20 .同一平面上的向量 a、b、c两两所成的角相等,并且|£|=1, |b|=2, |C|=3, 求向量abc的长度.参考答案1. . A【解析】【错解分析】不能正确处理向量的方向导致错选为DT -IT T TAP=2PM知,p为AABC的重心,根据向量的加法,PB + PC = 2PMAp (Pb PC) =2AP PM=2 14cos0 =21 =-3 39.【正解】AP (PB PC)=2APPM=2 14 cos0=2 1

7、=3 39二 n r 二 4PA (PB PC) - - AP (PB PC)=9,2. D【解析】【错解分析】由于混淆向量平行与垂直的条件,即非 0向量 abu x,y2-x2yl =0,L 1C NT祢Ga _L b u x1x2 + y1y2 = 0,而不能求得答案., 、 LT.八,j 一【正解】不妨设 C =(m, n),那么 a +c = (1 + m,2 + n )a +b = (3 -1),对于(c + a )b ,那么一 ' J 一八77 ,.有-3(1 +m) =2(2 +n);又c_L a b ),那么有 3m-n =0,那么有 m = -一,n = -一 ,应选

8、 D .93【点评】此题主要考查了平面向量的坐标运算,通过平面向量的平行和垂直关系的考查,很 好地表达了平面向量的坐标运算在解决具体问题中的应用.3. C【解析】【错解分析】对题意的理解有误,题设条件并没有给出A、B、C三点不能共线,因此它们可以共线.当 A、B、C共线时,4ABC不存在,错选 D.【正解由于向量减法满足三角形法那么,作出1AB| = 8, 1AC|=5, BC=ACAB.(1)当4ABC存在,即A、B、C三点不共线时,3WBC|<13；(2)当AC与AB同向共线时,|BC|=3；当AC与AB反向共线时,lBC l=13o,1元隹3, 13,应选C.4. C【解析】x1y

9、1【错解分析】ab= x,y2 -x2yl =0= =,此式是否成立,未考虑,选A.X2 y2x1 y1【正斛】右 一=一那么x1y2 -x2 y1 = 0,二a/b,右a b ,有可能x2或y2为0,应选C.X2 y25. B【解析】【错解分析】 共线向量、向量的数乘、向量的数量积的定义及性质和运算法那么等是向量一章中正确应用向量知识解决有关问题的前提,在这里学生极易将向量的运算与实数的运算等同 起来,如果认为向量的数量积的运算和实数一样满足交换律就会产生一些错误的结论.【正解】正确.根据向量模的计算aa = a判断.错误,向量的数量积的运算不满足交换律,这是由于根据数量积和数乘的定义(ac

10、),b表示和向量b共线的向量,同理(a b) c表示和向量c共线的向量,显然向量 b和向量c不一定是共线向量,故(a b) c#(a c) b不一定成立.错误.应为 a *b错误.注意零向量和任意向量平行.非零向量的平行性才具有传递性.I错误.应加条件“非零向量a III444错误.向量不满足消去律.根据数量的几何意义,只需向量b和向量b在向量c方向的投影相等即可,作图易知满足条件的向量有无数多个.错误.注意平面向量的根本定理的前提有向量Q ,02是不共线的向量即一组基底.正确.条件表示以两向量为邻边的平行四边形的对角线相等,即四边形为矩形.故a b=QO错误.只需两向量垂直即可.综上真命题个

11、数为2,应选B【点评】在利用向量的有关概念及运算律判断或解题时,定要明确概念或定理成立的前提条件和依据向量的运算律解答,要明确向量的运算和实数的运算的相同和不同之处.一般地a , b, c和实数入,那么向量的数量积满足以下运算律：a b = b a交换律入a) - b = X (a - b) =a(,4b)(数乘结合律)(a + b ) , c = a - c + b (分配律)6.(-3, 4)55【解析】【错解分析】由于a的模等于5,所以与a平行的单位向量就是1a,即3, 4 555【正解】由于a的模等于5,所以与a平行的单位向量是 ±1 a,即3, f或f 5555 5I【点评

12、】平行的情况有方向相同和方向相反两种.读者可以自己再求解“和 a= 3, 4垂直的单位向量,结果也应该是两个.7. °,2【错解分析】此题常见错误五花八门,错误原因是没有理解向量的模的不等式的性质.一a b 【正斛】 百,m分别表不与a、b同向的单位向重, a blai b8._1ki,_1Qh14,3)3 3,qJ 3)+oC |【错解分析】只由 a,b的夹角为钝角得到 a b <0,而无视了a b < Q不是a, b夹角为钝角的充要条件,由于a,b的夹角为180 ：时也有a b <0,从而扩大x的范围,导致错误.【正解】丫 a, b的夹角为钝角,2.a b =

13、x - 3x 2x 2 - -3x4x :二 04解得x<0或x>(1)31又由a,b共线且反向可得 x = (2)3由(1),(2)得x的范围是 叫1111,011< 3) < 3 ) <3 )【解析】BABC【错解分析】不清楚f与/ABC的角平分线有关,从而不能迅速找到解题的突破BA BCBC口,不能正确求解.【正解】由题知四边形 ABCD是菱形,其边长为 V2 ,且对角线BD等于边长的值倍,所以 cosABD = 2+26_ =-,故 sin ABD = , SABCD=(&)2 =43 o 2 2222210 .锐角三角形【解析】【错解分析BC A

14、B<0, .-IBCHABI cosB<0o为钝角,那BC为钝角三角形.错将BC与AB的夹角看成是 ABC的内角B,向量BC与AB的夹角应为B B.正解 AB AC =|AB | | AC | cos A .BC AB =|BC 11AB | cos(n -B )=-|BC | -|AB | cos B CB CA =|CB | |CA | cosC. .AB AC 0, BC AB ； 0, CB CA 0.-.cosA >0 , cosB >0 , cosC >0A、B、C均为锐角./ABC为锐角三角形.11 . 0 =60：【错解分析】由题意,得 (a +

15、3b)U(7a -5b) =0, (a -4b)L(7a-2b) =0,将、展开并相减,得 46aLb= 23b2 ,.一一 1一b 0,故 a = - b, 2将代入,得a2 =b2,那么 a = b ,设a与b夹角为日,那么cos64Jb ,b20C< 0 W 1801,8 =60 .【正解】设向量a、b的夹角为e,由题意,得(a + 3b)U(7 a-5b ) = 0, (a -4b)L(7a -2b) =0,将、展开并相减,得 46aLb= 23b2 ,有2aLb = b2 ,代入式、式均可得 a2 =b2,那么a| = |b , cos-aLb1：=一.|a|>| 2又.

16、dw e < iso . 0 =60 .【点评】错解中解法外表上是正确的,但却存在着一个理解上的错误,即由得到,错把数的乘法的消去律运用在向量的数量积运算上.由于向量的数量积不满足消去律,所以即使b#.,也不能随便约去.【解析】【错解分析】此题在解答过程中,学生要将向量的夹角运算与三角变换结合起来,注意在用2_角表示两组向量的夹角的过程中,易无视角的范围而导致错误结论.一2 ：a )(2cos ,2sin cos) -2cos(cos,sin), . b =(-+ 兀一 一 一瓦故市有0 F222* aP| a -2 -c o sb =|2 s I222* "2 c2o-sa

17、c2n c o同s= -44-=|a l c l 4 c 二 02cps2PP n nP nsI n 0 ：,-：一,. 1 2 =-222222b c 2 s21n.c 5声=T-T- = 2 二lb |c| 2 sin2二- ： .二i一, 从而 sin= sin =.6262【点评】当今高考数学命题注重知识的整体性和综合性,重视知识的交汇性,向量是新课程新增内容,具有代数与几何形式的双重身份.它是新旧知识的一个重要的交汇点,成为联系这些知识的桥梁,因此,向量与三角的交汇是当今高考命题的必然趋势.高考对三角的考查常常以向量知识为载体, 结合向量的夹角、向量的垂直、向量的模或向量的运算来进行

18、考查 学生综合运用知识解决问题的水平.13. -7<t<-1 且922【错解分析】2tei+7e2与ei+te2的夹角为钝角,(2tei + 7e2) (ei + te2)<0 ,1-2t2+15t + 7<0,解之得：一7<t<,2,t的范围为7, - 1.2【正解】2te i + 7e2与ei + te2的夹角为钝角,(2te i + 7e2) (ei + te2)<0 且 2tei +7e?w 入(ei + te2)(入 <0). (2tei + 7e2) (ei + te2)<0 得 2t2+i5t + 7<0 ,- 7<

19、;t< .2假设 2tei + 7e2=入(ei+te2)(入 <0), (2t 入)e1 + (7 t入)e2=0.2t 4 -07 -t =0J4,即 t= - , .t的取值范围为:7<t< -且 tw 4222【点评】此题错误的关键是没有把握准向量夹角与向量数量积的等价关系.一般地,向量a,b为非零向量,a与b的夹角为.,那么.为锐角 a b>0且a, b不同向；.为直角 a b=0 ;0为钝角 a b<0且a b不反向.2tei +7e2与 ei+ te2 的夹角为钝角? 2te i + 7e2 ei+te2<0.14 .四边形ABCD是矩形

20、【解析】【错解分析】四边形的形状由边角关系确定,关键是由题设条件演变、推算该四边形的边角 量,易无视如下两点：i在四边形中, AB, BC , CD, DA是顺次首尾相接向量,那么其和向量是零向量,即a + b + c + d= 0,应注意这一隐含条件应用；2由条件产生数量积的关键是构造数量积,由于数量积的定义式中含有边、角两种关系.【正解】四边形 ABCD是矩形,这是由于一方面: 由 a + b + c + d= 0 得 a + b= (c + d),即(a + b )2 = (c + d) 2即 |a| 2 + 2 a , b + | b | 2=| c |2 + 2c , d+| d |

21、2 由于 a , b = c , d ,I a | 2 + | b | 2 = | c | 2 + | d | 2 同理有|a| 2 + | d | 2 = | c | 2 + | b | 2由可得|a|=|c|,且|b|=|d|即四边形ABCD两组对边分别相等.四边形ABCD是平行四边形另一方面,由 b = b , c,有b (a c) = 0,而由平行四边形 ABCD可得a = c ,代入上式得 b (2 a )= 0 即 a - b = 0 , a ± b 也即 AB _LBC.综上所述,四边形 ABCD是矩形.【点评】向量具有代数形式和几何形式的“双重身份能融数形于一体,能与

22、中学数学教学内容的许多主干知识综合,形成知识交汇点,所以高考中应引起足够的重视.基于这一点解决 向量有关问题时要树立起数形结合,以形助数的解题思路.15 .当日=0时,BC CQ最大,值为0.【解析】【错解分析】此题易错点有(1)不会利用AP'AQ=-a及AC 'AB=0这两个关系式,即没有把BP表示为AP- AB, CQ表示为AQ-AC.致使该题在运算上发生错误.(2)在运用坐标运算过程中,未知数多,如 B(b,0), C(0,c), P(x, y),Q(x, y)而无视了这些量内在的联系b2 +c2 =a2,x2 +y2 =a2,还有cos9的表示式cos9 = bx 2c

23、y ,这些关 a系不能充分利用,导致运算错误.【正解】解法一： A AB AC, AB AC = 0.: AP=记 BP = AP -AB,CQ = AQ - AC,T T T T T.BP CQ =(AP-AB) (AQ - AC)=AP AQ - AP AC - AB AQ AB AC=a2 - AP AC AB AP2-a2 - AP (AB - AC)21=-a2 - PQ BC22 1=-a2 PQ BC2-a2 a2 cos.故当cos9 =1,即9 =0 ( PQ与BC方向相同)时,BC CQ最大,其最大值为0.解法二：以直角顶点 A为坐标原点,两直角边所在直线为坐标轴建立如下图

24、的平面直角坐标系.设 | AB尸c| AC |=b,那么A(0,0), B(c,0),C(0, b),且 | PQ| = 2a,| BC |二a.设点P的坐标为(x, y),那么Q(-x, -y).BP =(x -c, y),CQ =(-x, -y -b),BC =(-c,b),PQ =(-2x, -2y).BP CQ =(x -c)(一x) y(-y -b) = -(x2 y2) cx - by.pQ 逅cx-by* cosi _-H-=2 . |PQ| |BC| a2.cx-by = a2 cos .口 K 22.BP CQ = -a a cosu.故当cose =1,即6 =0 ( PQ

25、与BC方向相同)时,BC CQ最大,其最大值为 0.【点评】本小题主要考查向量的概念,平面向量的运算法那么,考查运用向量及函数知识的能力.112a112a12112 2116 .存在 E(, a, )? F( .| a, )E(0, (a+1a )> F(0, (a,1a)2T222 22 和 222 V 2【解析】【错解分析】 此题综合程度较高,易错点一方面表现在学生对题意的理解如对方向向量的概念的理解有误,另一面是在向量的问题情景下不能很好的结合圆锥曲线的定义来解答,使思维陷入僵局而出错.【正解】根据题设条件,首先求出点P坐标满足的方程,据此再判断是否存在两定点,使得点P到两定点距离

26、的和为定值 .i= (1, 0) , c= (0, a),. c+ Ai=(入,a), i-2 Xc= (1 , 2 后)因此,直线 OP和AP的方程分别为7y=ax和y-a =-2Zax.消去参数入,得点P(x, y)的坐标满足方程y( y -a) = -2a2x2.整理得 x2 ,(y-t)24- =1.8 号由于a > 0,所以得:(i)当a = 时,方程是圆方程,故不存在符合题意的定点E和F；2(ii)当0 4a XI时,方程表示椭圆,焦点 E(1 1-a2 9)和F(-1 _a2马为符合题意22 : 2' 22 1 2' 2的两个定点；(iii)当a >等

27、时,方程也表示椭圆,焦点E(0(a+、a2_：)和F(0,q(aja2g)为符合题意的两个定点.【点评】本小题主要考查平面向量的概念和计算,求轨迹的方法,椭圆的方程和性质,利用方程判定曲线的性质,曲线与方程的关系等解析几何的根本思想和综合解题水平.在高考中向量与圆锥曲线的结合是成为高考命题的主旋律,在解题过程中一方面要注意在给出的向量问题情景中转化出来, 另一方面也要注意应用向量的坐标运算来解决解析几何问题.如：线 段的比值、长度、夹角特别是垂直、点共线等问题,提升自已应用向量知识解决解析几何问 题的意识.17. (12 ,-1)或(,-)5 55 5从而无法解答,同时解答,那么题意可知【错解

28、分析】此题易错点常表现在不能正确把握单位向量的概念, 过程中如果不能正确转换平行条件,也是无法解答此题的.【正解】方法一 设向量a的终点坐标是(x,y),那么a=(x-3,y+1)124(x -3) +3(y +1) =0 /2、2、2解得(X3) + (y + 1) =15或,1厂一518x -5 ,故填9尸5,12 1 .18 9、(V,- 5)或(T,- 5 )方法二 与向量b= (-3,4)平行的单位向量是土 1 (-3,4),5便可得结果.故可得a = ±(-,),从而向量a的终点坐标是(x,y)=a-(3,-1),5 5【点评】向量的概念较多,且容易混淆,在学习中要分清、理解各概念的实质,注意区分共线向量、平行向量、同向向量、反向向量、单位向量等概念. a与a平行的单位向量e=± |a I,19 8、18 . 一,_或13, 43 3【错解分析】