初中数学图形的相似经典测试题及答案解析

1、初中数学图形的相似经典测试题及答案解析一、选择题1 .如图，边长为4的等边VABC中，D、E分别为AB, AC的中点，则VADE的面积是（ ）A. 73B. C, 33D, 273241【答案】A【解析】【分析】由已知可得DE是那BC的中位线，由此可得 那DE和9BC相似，且相似比为 1: 2,再根 据相似三角形的面积比等于相似比的平方，可求出祥BC的面积.【详解】Q等边VABC的边长为4,Svabc " 424.3,4Q点D, E分别是VABC的边AB, AC的中点，DE是VABC的中位线，1 _1 _ 1 -DE/BC, DE bc, AD 2AB , AE AC , 222日口

2、 AD AE DE 1AB AC BC 21VADE sVABC ,相似比为一， 2故 SVADE : SVABC 1 ： 4,即 SVADE-SVABC4故选A.本题考查了等边三角形的性质、相似三角形的判定与性质、三角形中位线定理，解题的关 键是熟练掌握等边三角形的面积公式、相似三角形的判定与性质及中位线定理.2.如图，在平行四边形 ABCD中，点E在边DC上，DE： EC=3 1,连接AE交BD于点F, 则4DEF的面积与ABAF的面积之比为（）A. 3： 4B. 9： 16C. 9： 1D. 3： 1【答案】B【解析】【分析】可证明ADF&ABFA根据相似三角形的面积之比等于相似

3、比的平方即可得出答案.【详解】四边形ABCD为平行四边形，. .DC/AB,.DF& BFA/DE： EC=3 1, .DE: DC=3: 4, .DE: AB=3: 4, Sgfe: Szbfa=9: 16.故选B.3 .如图，在AABC中，Z A=75°, AB=6, AC= 8,将 BBC沿图中的虚线剪开，剪下的阴 影三角形与原三角形不相似的是（）【答案】D【解析】【分析】根据相似三角形的判定定理对各选项进行逐一判定即可.【详解】A、根据平行线截得的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项错 误；B、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，

4、故本选项错误；C、两三角形对应边成比例且夹角相等，故两三角形相似，故本选项错误.D、两三角形的对应边不成比例，故两三角形不相似，故本选项正确；故选：D.【点睛】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键.4 .如图所示，在正方形 ABCD中，G为CD边中点，连接 AG并延长交BC边的延长线于 E点，对角线BD交AG于F点.已知FG=2,则线段AE的长度为（）A. 6B. 8C. 10D. 12【答案】D【解析】分析：根据正方形的性质可得出AB/ CD,进而可得出AABFs GDF,根据相似三角形的性AF AB质可得出 =2,结合FG=2可求出AF、AG的长度，由 CG

5、/ AB> AB=2CG可得出GF GDCG为4EAB的中位线，再利用三角形中位线的性质可求出AE的长度，此题得解.详解：.四边形 ABCD为正方形，.AB=CD, AB/ CD,/ ABF=Z GDF, / BAF=Z DGF,. AB% GDF,AF AB=2,GF GD .AF=2GF=4,.AG=6./CG/ AB, AB=2CG, .CG为EAB的中位线， .AE=2AG=12.故选D.点睛：本题考查了相似三角形的判定与性质、正方形的性质以及三角形的中位线，利用相似三角形的性质求出 AF的长度是解题的关键.5.如图，点E是YABCD的边AD上一点，DE 2AE ,连接BE,交A

6、C边于点F ,下列结论中错误的是（）A. BC 3AEB. AC 4AFC. BF 3EF【答案】D【解析】【分析】由平行四边形的性质和相似三角形的性质分别判断即可.【详解】解：. .在 YABCD 中，AD/BC, AD BC ,VAEF : VCBF ,D. BC 2DE,AE = AF = EF "CB " CF - BF DE 2AE3BC= 2-DE = 3AE ,选项A正确，选项D错误,CFAF = AE = AE = 1OF- CB _ 3AE " 3， AC 4AF ,选项B正确,EFBFAE_ AE _ 1CB - 3AE" 3，即:B

7、F 3EF ,选项C正确, 故选：D.【点睛】 此题主要考查了平行四边形的性质以及相似三角形的判定与性质，能熟练利用相似三角形 对应边成比例是解题关键.k ,16 .如图，正方形 OABC的边长为6, D为AB中点，OB交CD于点Q, Q是y=一上一点,xk的值是（）A. 4B. 8C. 16D. 24【答案】C【解析】【分析】延长根据相似三角形得到 BQ:OQ 1:2,再过点Q作垂线，利用相似三角形的性质求出 QF、OF ,进而确定点 Q的坐标，确定k的值.【详解】解：过点Q作QF OA ,垂足为F ,F :QOABC是正方形,OA AB BC OC 6Q D是AB的中点，ABC OAB 9

8、0 DAEBD -AB 2Q BD/OC,OCQs BDQBQ BD 1OQ OC 2又Q QF / /ABOFQs OABQFOFOQABQ ABOA6,OBQFOF 6Q(4,4),Q点Q在反比例函数的图象上，k 4 4 16,故选：C .【点睛】本题考查了待定系数法求反比例函数、相似三角形的性质和判定，利用相似三角形性质求 出点Q的坐标是解决问题的关键.7 .如图，在GABC中，A, B两个顶点在x轴的上方，点 C的坐标是（-1, 0）.以点C为 位似中心，在x轴的下方作 AABC的位似图形 AABC,使得AAEC的边长是 小BC的边长的2倍.设点B的横坐标是-3,则点B'的横坐

9、标是（）A. 2B. 3C. 4D. 5【答案】B【解析】【分析】作BDx轴于D,B'lx轴于E,根据位似图形的性质得到B'£2BC,再利用相似三角形的判定和性质计算即可.【详解】解：作BD± x轴于D, B' Rx轴于E,则 BDE BE,由题意得 CD= 2, B' F2BC, BD / BE,.BD8 BEC,.CD BC 1.-CE B'C 2' .CE= 4,贝U OE= CE-OC= 3, 点B的横坐标是3,本题考查的是位似变换、相似三角形的判定和性质，掌握位似变换的概念是解题的关键.8.如图，将 ABC沿BC边上

10、的中线 AD平移到 ABC的位置.已知16,阴影部分三角形的面积 9.若AA 1,则A D等于（）ABC的面积为B. 3A. 2【答案】B【解析】【分析】C. 4D.由SAABO 16、SAA'EF= 9且AD为BC边的中线知 S A DEA DE1二 S AEF22-1_ 一 , 一, ADSabd -S abc 8,根据 ADA' DAB2ADS ADES ABD,据此求解可得.【详解】Q S abc 16、Saef 9 ,且 ad 为 BC 边的中线,191S ade -Saef - , Sabd - S abc 8 ,222Q将 ABC沿BC边上的中线AD平移得到 AB

11、C,AE/ABDAES A DES ABDADAD 1旦,16解得A D3或AD3 人一（舍），7本题主要平移的性质，解题的关键是熟练掌握平移变换的性质与三角形中线的 性质、相似三角形的判定与性质等知识点.AE与9.如图，在四边形 ABCD中，BD平分/ ABC, / BAD=/ BDC=90°, E为BC的中点,BD相交于点F,若BC=4, / CBD=30°,贝U DF的长为（）A. 33B. 33C. >/3D. 33【答案】D【解析】【分析】先利用含30度角的直角三角形的性质求出BD,再利用直角三角形的性质求出DE=BE=Z即：/ BDE=Z ABD,进而判断

12、出 DE/AB,再求出 AB=3,即可得出结论.【详解】如图，在 RtBDC 中，BC=4, / DBC=30 ,BD=2,连接DE,/ BDC=90，点 D 是 BC 中点,八1 . DE=BE=CE= BC=22 / DCB=30 ,/ BDE=Z DBC=30 , BD 平分/ ABC, . / ABD=Z DBC,/ ABD=Z BDE, .DE/AB, . DED BAF,DF DE =，BF AB在 RtAABD 中，/ ABD=30 , BD=2Q , .AB=3,DF _ 2一=一,BF 3DF 2=一BD 5 '- DF=2 bd 2 2 .3555故选D.【点睛】此

13、题主要考查了含 30度角的直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质，角平分线的定义，判断出DE/是解本题的关键.10.在 RtABC中，/ BAC= 90 °, AD 是 AABC的中线，/ ADC= 45 °,把 AADC沿 AD 对折,使点C落在C'的位置，CD交AB于点Q,则 吧 的值为()AQA.夜B. 73C. §D. 3【答案】A【解析】【分析】根据折叠得到对应线段相等，对应角相等，根据直角三角形的斜边中线等于斜边一半，可得出 AD=DC= BD, AC= AC, Z ADC= / ADC'= 45°, CD= C D 进而求

14、出/ C / B 的度BQBQ数，求出其他角白度数，可得AQ= AC,将转化为Q ,再由相似三角形和等腰直角AQAC三角形的边角关系得出答案.【详解】解：如图，过点 A作AEL BC,垂足为E,. / ADC= 45°, 万 .ADE是等腰直角二角形，即 AE= DE= Y2AD,2在Rt"BC中， /BAC= 90°, AD 是 GABC 的中线，.AD=CD= BD,由折叠得：AC=AC； Z ADC= / ADC'= 45°, CA C D, ./ CDC=45°+45° = 90°, ./DAC= / DCA

15、= ( 180 -45°) +2= 67.5 = Z CAD,. / B= 90° - Z C=Z CAE= 22.5 1 / BQD= 90° - Z B=Z CQA= 67.5 :.AC'= AQ= AC,BQACBDAEBQ BQ AD 72AE _ 1AQ AC AE AE 2 ,故选：A.【点睛】考查直角三角形的性质，折叠轴对称的性质，以及等腰三角形与相似三角形的性质和判定 等知识，合理的转化是解决问题的关键.它们的位似中心是（C.点CD.点D【答案】D【解析】【分析】利用对应点的连线都经过同一点进行判断.【详解】如图，位似中心为点 D.【点睛】

16、本题考查了位似变换：如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点， 对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心.注意：两个 图形必须是相似形；对应点的连线都经过同一点；对应边平行.12.已知正方形ABCD的边长为5, E在BC边上运动，DE的中点G, EG绕E顺时针旋转904EF,问CE为多少时 A、C、F在一条直线上（）3 A.一5【答案】 【解析】 【分析】 首先延长B.5C.-3RtA ECQBC,彳Fn FN± BC,构造直角三角形,利用三角形相似的判定，得出RtAFN®再利用相似比得出1 -NE -CD22.5 ,运用正方形性质

17、，得出4CNF是等腰直角三角形，从而求出 CEBC延长线于N点,【详解】解：过F作BC的垂线，交 / DCE=Z ENF=90 , / DEC+/ NEF=90 , / NEF+/ EFN=90 , / DEC=Z EFN, RtAFNERtAECDi DE的中点G, EG绕E顺时针旋转90°得EF,，两三角形相似比为 1： 2,_1 可以得到 CE=2NF, NE CD 2.5 2.AC平分正方形直角，/ NFC=45 , . CNF是等腰直角三角形,.CN=NF,.CE 2NE 2 5 5. 33 2 3故选C.【点睛】此题主要考查了旋转的性质与正方形的性质以及相似三角形的判定等

18、知识，求线段的长度经常运用相似三角形的知识解决，同学们应学会这种方法AB。13 .如图，每个小正方形的边长均为1,则下列图形中的三角形（阴影部分）与相似的是（A.【解析】B.【分析】根据相似三角形的判定方法【详解】判断即可.解：因为 ABiCi中有一个角是135。，选项中，有135。角的三角形只有B,且满足两边成 比例夹角相等，故选：B.【点睛】本题考查相似三角形的性质，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考 常考题型.14 .在平面直角坐标系中，已知点 E(- 4, 2) , F(-2, - 2),以原点O为位似中心， 相似比为，把EFO缩小，则点E的对应点E'的坐标是

19、A. ( 2, 1)B.(8,4)C. ( 8,4)或(8, 4)D.( 2,1)或(2, - 1)【答案】D【解析】试题分析：根据位似的性质，缩小后的点在原点的同侧，为(-2,1),然后求在另一侧为(2, -1) .故选D考点：位似变换15,已知的三边长分别为 我，J6, 2, ABC的两边长分别是 与 A B C相似，那么 ABC的第三边长应该是()B 2B.2【答案】A【解析】【分析】根据题中数据先计算出两相似三角形的相似比，则第三边长可求.【详解】解：根据题意，易证ABCs A BC ,且相似比为： &：1, ABC的第三边长应该是-= J2 .故选：A.【点睛】本题考查了相似

20、三角形的性质：相似三角形的对应边成比例，关键就是要清楚对应边是 谁.16.如图，将图形用放大镜放大，应该属于().A.平移变换B.相似变换C.旋转变换D.对称变换【答案】B【解析】【分析】根据放大镜成像的特点，结合各变换的特点即可得出答案.【详解】解：根据相似图形的定义知，用放大镜将图形放大，属于图形的形状相同，大小不相同， 所以属于相似变换.故选：B.【点睛】本题考查的是相似形的识别，关键要联系图形，根据相似图形的定义得出.17.如图，在正方形 ABCD中，E为AB的中点，G, F分别为AD、BC边上的点，若A. 2B. 3C. 4D. 5【答案】B【解析】四边形ABCD是正方形,A=Z B

21、=90° , / AGE+-Z AEG=90 , / BFE吆 FEB=90 , . / GEF=90, / GEA+/ FEB=90 ,/ AGE=Z FEB, / AEG=Z EFB . AEM BFE,.AE AGBF BE '又 AE=BE，AE2=AG?BF=2 AE=2 （舍负）， GF2=gE?+eF?=AG2+AE2+bE2+BF2=1+2+2+4=9, .GF的长为3,故选B.【点睛】本题考查了相似三角形的性质的应用，利用勾股定理即可得解，解题的关键是证 明 AAEM BFE18.如图，9OB是直角三角形，/ AOB= 90 °,9OB的两边分别与

22、函数 y【答案】A【解析】【分析】过点A,B作AC± x轴,BDUx轴,垂足分别为C,D根据条件得到 AAC ODB.根据反比例函1 i数比例系数k的几何意义得出S OBD (OB)2 = 2 =利用相似三角形面积比等于相似比S AOC OA -2的平方得出OB -2OA 2【详解】 . / AOB= 90°, / AOC+Z BOD= / AOC+Z CAO= 90°/ CAO= / BOD,.AC8 BDO,S OBD .OB,2S AOC (Oa)'Sbod= - X 1=,.噫.OBOA1 12)=2=3,1222，此题考查了反比例函数图象上点的坐

23、标特征和相似三角形的判定与性质，解题关键在于做 辅助线，然后得到相似三角形再进行求解19.如图，那BC中，/ BAC= 45°, Z ACB= 30°,将4ABC绕点A顺时针旋转得到 那BiCi, AACiC当点G、Bi、C三点共线时，旋转角为连接BBi,交AC于点D.下列结论:C.D.Da =75°CA= CBi,其中正确的是（【答案】B【解析】【分析】将UBC绕点A顺时针旋转得到ZAB1C1,得到UBUAB1C1,根据全等三角形的性质得到 AC1=AC,于是得到 那C1C为等腰三角形；故 正确；根据等腰三角形的性质得到/C1=ZACC=30°,由三角

24、形的内角和得到/ C1AC=120°,得到/ B1AB=120°,根据等腰三角形的性质 得到/ AB1B=30°=/ACB,于是得到 小B1DsBCD;故 正确；由旋转角 a =120,。故 错 误；根据旋转的性质得到/ C1AB1 = Z BAC=45°,推出/ BAC=/ AB1C,于是得到 CA=CB ；故 正确.【详解】解：将2BC绕点A顺时针旋转得到ZBiCi,ABCA ABCi,AG = AC,AGC为等腰三角形；故正确；，AG=AC, Z Q = Z ACG = 30 , Z OAC=120 ,BiAB=120 ,-ABi = AB, Z ABiB=30 =Z ACB,Z ADB1= z BDC,ABiDcABCD；故 正确；,旋转角为a,. . a=120°,故错误；QAB1=Z BAC= 45 , Z BiAC= 75 ,'Z AB1C1 = Z BAO 105 , ./ ABiC= 75 , Z BiAC= Z AB1C,，CA=CB|；故正确.故选：B.【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，旋转的性质，正确的识 别图形是解题的关键.20.如图，在平行四边形 ABCD中，E, F分别是边AD,