部编版2020年高考数学25个必考点专题11等差、等比数列检测

1、专题11等差、等比数列 巩固训练 一、基础过关题1. （2018北京高考）“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载培最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献，十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都 等于为区若第一个单音的频率为 f,则第八个单音的频率为A. B. C. D.【答案】D【解析】解：从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于O若第一个单音的频率为 f ,则第八个单音的频率为：（'2了二q27故选：D.利用等比数列的通项公式，转化求解即可.本题考查等比数列

2、的通项公式的求法，考查计算能力.2. （2016 重庆一诊）在数列an中，an+1 an=2, 32=5,则an的前4项和为（）A. 9 B. 22C. 24 D . 32【答案】C【解析】由GW出=二,知&）为等差数列且公差,，由金二=5 r得的=%簿=;j公=9,前4项和为3 + 5 + 7 +月2露故选U3. （2017 佛山调研）已知等差数列a满足32=3, $-3=51（ n>3）, $=100,则n的值 为（）A. 8 B. 9C. 10 D . 11【答案】C【解析】 由SiSn-3=51,得3n2十日1+3n= 51 ,所以 3n 1 =17,又 32=3,n(a

3、2 + an 1S =2=100,解得 n = 10.4. （2016 珠海模拟）在等比数列an中，若ai<0, 32=18, 34=8,则公比q等于（）2 B.32C. - 32f 2D.3 或一33 A.2a1q=18,2 2【解析】 由a1q3 = 8解得3或.2又 a1<0,因此 q = 3.15. 在等差数列an中，a9=2a12+6,则数列an的前11项和S1等于()A. 24 B . 48C. 66 D . 132【解析】方法一由ni+M=久+ 11用+ " 得+ 5412, = 12-5之11x10又 5w = 11m+d-11s + 55d= ll(12

4、-5df) + 55=132.方法二由圣=%:二+ 6,得 3磔一八二12.由等差数列的性质得，s +加一E=13 6=12, &尸U产一二号丝二132,放选D. 5 一 .一一 .6.已知数列an满足an+1=an7,且a1=5,设an的前n项和为$,则使得S取得最大值 的序号n的值为（）A. 7B. 8C. 7 或 8 D. 8 或 9【答案】C5【解析】 由题意可知数列an是首项为5,公差为7的等差数列，540-5n所以an=5-7（n-1）=7,该数列前7项是正数项，第8项是0,从第9项开始是负数项，所以&取得最大值时，n= 7或n= 8,故选C.,111*7 .已知数

5、列an中，a = 1 且an+1 = an+3(n C N),则 aio=-1【答案】4 ,一111【解析】由已知得a10=a1 + (10 1) x 3=1 + 3= 4,1故 a10 = 4.*8 .设数列J an的通项公式为 an = 2n 10( n N),贝U | a“ + | a2| + | a同 =【答案】130【解析】 由猴二方一吒#知叵j是以T为苜项，2为公差的等差数列j又由 10>0,得,当底5时5外当心>5巾>0,，加+ 6 +十比5=-1注+仁+整+如)+也三十3+一十曰武)=20+ 110=130.9.设等差数列an, bn的前n项和分别为S, Tn

6、,若对任意自然数Sn 2n3a9n 都有 Tn=4n3,则 b5+ b711a3+ b8 + b4的值为1941【解析】. an, bn为等差数列J,a9a3 a9 a3 a9 + a3 a6 b5 + b7+b8+b4 = 2b6+2b6= 2b6 = b6.S11 a1+a11.T11 = b1+ b11 =2a62X113192b6=4X11 3=41a9 a3 19 .b5 + b7+b8+b4 = 41.,_,2一10.在各项均为正数的等比数列an中，a3 = 1, a=+1,则a3+2a2a6+a3a7等于()A. 4B. 6C. 8D. 8-4【答案】C2222【解析】在等比数列

7、中， a3a7=a5, a2a6= a3a5,所以 a3+2a2a6+a3a7 = a3+2a3as+a5 = (a3+ as) = ( 1 1) = (2) = 8.11. (2016 铜仁质检)在由正数组成的等比数列an中，若a3a4a5= 3",则sin(log 3d + log 3a2+ + log 3a7)的值为()A.2B.23C. 1D. - 2【答案】Bx3【解析】因为a3a4a5= 3 =a4,所以a4=T .it77/log 3ai + log 3a2+ + log 3a7= log 3( aia2a7)= log 3 94= 7log 3 J = 3 ,3所以

8、sin(log 3ai + log 3a2+ log 3a7)=2.12 .设$为等比数列an的前n项和，已知3S3=a4-2, 3S2=a3-2,则公比q=.【答案】43S3= a4-2,【解析】因为'3S2= a3-2,由一，得 3a3=a4a3,即 4a3=a4, a4 则 q= a3 = 4.13 .设各项都是正数的等比数列an, &为前n项和且So= 10, &。=70,那么S4o=.【答案】150【解析】 依题意，知数列的公比方一 1,数列与打Sy. .S,：o,生lSh, 成等比数列，因此有 一品犷三&式即段厂地二二1口卜5二" 故 匕=

9、一货或s=JOj又S泞储 因此氐=3% Sw - 510-05箝-故见:)一 $“=$。# $3=150.14 .已知数列an的前n项和为&,且满足an+&=1(nCN),则通项an=.1【答案】2n【解析】an+S=1,1a1 = 2, an 1 + Si 1 = 1( n >2),an 1由一，得 an-an-1+an=0,即an1 = 2(n>2),一, 一、，1，, ，1, 一 一，.数列an是首项为2,公比为2的等比数列，1 1nli则 an=2x(2)= 2n.15.在等差数列an中，a1=1, a3=3. 求数列an的通项公式；(2)若数列an的前k项

10、和&= 35,求k的值.【答案】：(1) an=3-2n.2 2) k=7.【解析】(1】设等差数列外；的公差为明则久=4+ BL 1陵由比=1, *=-3可得！+ 247,眸得力二一之从而 口科=1 + (jj - 1)x - 2)=32%由可知白尸37%行曲4比1+ 3-2打、所以5月二=上一由8工-33可得压一乒二一交，即乔2广35=0,解得i=7或仁一三又在:V,故H工 一,一116.若数列an的前n项和为Sn,且满足an+2SSn i = 0(n>2), ai=2.1(1)求证：数列Sn是等差数列；(2)求数列an的通项公式.，11【答案】：(1)见解析(2) an=,

11、 n>2.(1)证明 当 n>2 时，由 an+2SS-1=0, 11得 SS1=2SnSn1,所以 Sn- Sn- 1 = 2,11又 S1 = a1 = 2,1故Sn是首项为2,公差为2的等差数列.11(2)解由(1)可彳#Sn= 2n,，& = 2n.11 n 1 n 1当 n>2 时，an= S1 S1 1 = 2n 2(n 1 = n 1 =n1.，,1 一，当n=1时，d=2不适合上式.,1故 an= , n>2.17.已知an是首项为1,公差为2的等差数列，S表示an的前n项和.求an及S；(2)设bn是首项为2的等比数列，公比 q满足q2(a4+

12、1)q + &=0,求bn的通项公式及 其前n项和Tn.【答案】：(1) an=2n 1. Sn=n2.c ,2(2) bn= 2. Tn=3(4 1).【解析】因为/是苜项R =公差41的等差教列，所以仙=编+优1)4%1.(数4 -公！ n 1 1 r .Sh= 1 + :+ 1 J 二二.=，'1TpQ)由(D得8=7, k=16因为01-8?+160,所以-4>=0,从而g=4一又因为历=2,是公比9=4的等比数列， 所以鼠=班丁1=2-甲从而办耳的前旌项和A= y =三二1,一 1).18. (2016 全国丙卷)已知各项都为正数的数列 an满足a=1, an(

13、2 an+i1) an2an+i =0.(1)求 a2, a3；(2)求an的通项公式.1 a n= 2n 1.11【答案】：(1) a2= 2, a3=4. (2)11【解析】(1)由题意，得a2 = 2, a3= 4.2(2)由 an-(2an+1-1)an-2an+1=0,得2an +1( an+ 1) = an( an+ 1).an+11因为an的各项都为正数，所以an =2., 一、，, ， 1故an是首项为1,公比为2的等比数列, 因此 an= 2n-1.19(2018全国高考II卷17)记5n为等差数列 也)的前口项和，已知 仆=-7, -15 .(1)求(«)的通项公

14、式；（2）求s ,并求s的最小值. nn【解析】（i）设4）的公差为d,由题意得3%+3d = T5.由叫得d=2.所以低的通项公式为。.二加. 9.由（1）得义=才-即=,一4"16.所以当n=4时，可取得最小值，最小值为-16.、能力提高题21.设等差数列an满足ai=1, an>0（nC N）,其前n项和为$,若数列也为等差数列，则n的最大值是（）A. 310B. 212C. 180 D . 121【答案】D【解析】设数列旧的公差为心依题意得出=正F因为5=1,所以他注+仁五+ 小口：十3名化简可得4加1 =，;"j 卜所以%1 + （打-l）,x2 2ri 1

15、 f + -:-q x2=ff-j所以:廿一10 J_2打一1 ：；故选D.2.（2015 福建）若a, b是函数f （x） =x2px+q（ p>0, q>0）的两个不同的零点，且 a, b,-2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p + q的值等于（）A. 6 B.7 C.8 D.9【答案】D【解析】 由题意知：a+b=p, ab=q,p>0, q>0,，a>0, b>0.在 a, b, 一2这三个数白6种排序中，成等差数列的情况有a,b,2；b,a,2； 2, a,b；2, b,a；成等比数列的情况有 a, 2, b； b, 2

16、, a.ab=4,ab = 4, a=4, a= 1,，2b = a2或2a= b 2,解得 b= 1 或 b=4.，p=5, q= 4,p+ q=9,故选 D. 1n 3.已知数列an中，a = 1, an 日+2,记T2n为an的前2n项的和，bn=a?n+a>i,N*.(1)判断数列bn是否为等比数列，并求出bn；(2)求 T2n.占用一定七十61,一比=彳=口 i汽+ 6二.X儿是首项为5公比为，的等比数列._3门3i(2)由(1)可知,an+2=2an,口，,1,.ai, a3, a5,是以ai=1为首项,以2为公比的等比数列;一 ，1，、，, 1,32, a4, a6,是以a

17、2=2为首项，以2为公比的等比数列，1, 1 J T2n = (a1+a3+ a2n1) + (a?+a4+ a2n) = 2+2 = 3 2n.4.已知数列an的各项均为正数，前 n项和为3,且满足2S=an+n4(nC N*).(1)求证：数列an为等差数列;（2）求数列an的通项公式.【答案】：（1）见解析（2） an = n+2.证明 当k=1时，有汕=齿+】一磊即国2m3 二 ：L解得3（1=- 1舍去）.当应2 B寸，有二乐v +7L 3又25H二公+角-4两式相减得之中i=乐一加-;十lj即帚一二围+1二石口 也即闭一1>二577因此酬1 =上-或3J 1 =取-:-4再I

18、 】,贝”三十U河-】t.而会="所以之=-这与数列3）的各项均为正数相矛盾，所以备一 1=小_】f即柒一出-1二1因此数列是首项为力公差为1的等差数列.（2）解由知a=3, d= 1,所以数列an的通项公式an= 3 + （n 1） x 1= n+2,即 an = n + 2.5. （2018 江苏高考 20）设（4）是首项为叫，公差为d的等差数列，J是首项为4 ,公 比为q的等比数列.（1）设二g= l,g = 2,若|«-”|阿对片=1"二4均成立，求d的取值范围；（2）若码=>>口，*,代（1殖证明：存在才£艮使得|4 -蚱4对丹=23M + 1均成立，并求d的取值范围（用 %即以表示）.【解析】（1）由条件知：见=（"N也.因为奴-/5”对n=1, 2, 3, 4均成立,即依但对n=1, 2, 3, 4均成立,75一 1sds即 1«1, 1 <d<3, 3<2d<5, 7<3d<9,得 3 一 一2 .(二-1因此，d的取值范围为3