《基本不等式》教案1新人教A版

1、基本不等式教案1（新人教A版必修5）第一课时 3.4 基本不等式 （一） 教学要求：通推导并掌握基本不等式， 理解这个基本不等式 的几何意义， 并掌握定理中的不等号 取等号的条件是： 当且仅当这两个数相等； 教学重点：应用数形结合的思想理解不等式并从不同角度探 索不等式的证明过程；教学难点：理解”当且仅当 a=b 时取等号”的数学内涵 教学过程：一、复习准备：1.回顾：二元一次不等式（组）与简单的线形规划问题。2.提问：如图是在北京召开的第 24 界国际数学家大会的会 标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的 明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民热情好客。你能 在这个图案中找出一

2、些相等关系或不等关系吗？二、讲授新课：1.教学：基本不等式1探究：图形中的不等关系，将图中的 风车抽象成如图， 在正方形 ABCC 中右个全等的直角三角形。设直角三角形的 两条直角边长为 a,b 那么正方形的边长为。这样， 4 个直角三角形的面积的和是 2ab，正方形的面积为。由于 4 个直角 三角形的面积小于正方形的面积，我们就得到了一个不等 式：。当直角三角形变为等腰直角三角形，即a=b 时，正方形 EFGH 缩为一个点，这时有。（教师提问学生思考师生总结）2思考：证明一般的，如果3基本不等式：如果 aO,bO,我们用分别代替 a、b，可得， 通常我们把上式写作：4从不等式的性质推导基本不

3、等式：用分析法证明：要证 （1） ， 只要证 a+b（2） ， 要证（ 2），只要证 a+b-0（ 3）要证（3），只要证（-）（4），显然，（ 4）是成立的。当且仅当 a=b 时，（ 4）中的等号成 立。5练习：已知 x、y 都是正数，求证：（1） 2; （2） （x + y）（x2+y2）（x3+y3） 8x3y3.6探究：课本第 110 页的探究:（结论：如果把看作是正 数 a、b 的等差中项，看作是正数 a、 b 的等比中项，那么该 定理可以叙述为：两个正数的等差中项不小于它们的等比中 项.）2.小结：两正数 a、b 的算术平均数与几何平均数成立的 条件。理解当且仅当 a=b 时取等号

4、的数学内涵。三、巩固练习：1. 练习：教材 114 页练习的第 1 题。2.作业：教材 114 页习题 A 组的第 1 题. 第二课时 3.4 基本不等式 （二） 教学要求：通知识与技能：进一步掌握基本不等式；会用此 不等式证明不等式 , 会应用此不等式求某些函数的最值 , 能够 解决一些简单的实际问题； 教学重点：掌握基本不等式，会用此不等式证明不等式，求 某些函数的最值。 教学难点：利用此不等式求函数的最大、最小值。教学过程：一、复习准备：1.回顾：基本不等式，什么条件下取等号？2.提问：用基本不等式求最大（小）值的步骤。二、讲授新课：1.教学利用基本不等式证明不等式1出示例 1 :已知

5、mO,求证。分析：审清楚题意分析条件应用什么定理？如何应用？ 学生讲述解答过程（学生板书，教师修订）小结：注意 mO 这一前提条件和=144 为定值的前提条件。2练习: 1. 已知 a,b,c,d 都是正数，求证 .2.求证 :. （方法：通过加减项的方法配凑成基本不等式的形 式.）2. 教学利用不等式求最值出示例 2： (1) 若 x0, 求的最小值 ;(2) 若 x0, 求的最大值 . 教师板演( 1)学生板演( 2)师生共同更正 规律技巧总结 : 利用基本不等式求最值时 ,个项必须为正数 , 若为负数 , 则添负号变正 .练习:1.求(x5)的最小值 2 若 xO,yO,且，求 xy 的

6、最小值.3.设 a、bR且 a + b= 1,求+的最小值。3. 小结： 如何用基本不等式证明不等式和求函数的最大、最小值。三、巩固练习：1. 练习：教材 114 页习题 B 组的第 1 题。2. 证明： 3若，则为何值时有最小值，最小值为几？ 4解关于 x 的不等式5. 已知且，求的最小值第三课时 3.4 基本不等式 (三) 教学要求：进一步掌握基本不等式；会应用此不等式求某些 函数的最值；能够解决一些简单的实际问题 教学重点：基本不等式的应用 教学难点：利用基本不等式求最大值、最小值。教学过程：一、复习准备：1. 讨论：重要不等式？基本不等式？2.提问：成立的条件？二、讲授新课：1.教学：

7、最大值、最小值。1出示例 1: (1)用篱笆围成一个面积为 100m 的矩形菜园， 问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短。最短的篱 笆是多少？( 2)段长为 36 m 的篱笆围成一个一边靠墙的矩 形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大， 最大面积是多少 ?分析：根据题意：如何设长、宽？ 应用什么知识？ 怎样 应用？学生讲述解答过程。小结：解决应用问题，首先读懂题意，思考用什么方法去解 决。2练习：用绳子围成一块矩形场地，若绳长为 20 米，则围 成最大矩形的面积是；若要围出一块 100 米的场地，则绳子 最短为。3出示例 2：某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为 48

8、00m3,深为 3m，如果池底每 1m2 的造价为 150 元，池壁 每1m2 的造价为 120 元，问怎样设计水池能使总造价最低， 最低总造价是多少元？分析：如何由实际问题向数学问题转化，即建立函数关系式？ 如何求函数的最值，用到了什么定理？师生共同解答。小结： 应注意数学语言的应用即函数解析式的建立和注意不等式性 质的适用条件。4练习：建造一个容积为 18 立方米，深为 2 米的长方体有盖水池。如果池底和池壁每平方米的造价分别是 200 元和 150 元，那么如何建造，池的造价最低，为多少？2.小结：用均值不等式解决此类问题时，应按如下步骤进 行：(1) 先理解题意，设变量，设变量时一般把要求最大值或最 小值的变量定为函数；(2) 建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大 值或最小值问题；(3) 在定义域内，求出函数的最大值或最小值；(4) 正确写出答案 .三、巩固练习：1.练习：教材 114 页练习的第