2018版高中数学第二章数列2.4等比数列(二)学案新人教A版必修5

1、2.4等比数列（二）学习目标1.灵活应用等比数列的定义及通项公式.2.熟悉等比数列的有关性质 3 系统了解判断是否成等比数列的方法.戸知识梳理自主学耳知识点一推广的等比数列的通项公式n_ 4n_m*an是等比数列，首项为ai，公比为q,贝Uan=aq,an=amq（m n N）.思考 1 如何推导an=anqn-m?答案 根据等比数列的通项公式，n1an=aiq,m-1am=aq,ann-mn-m=q, an=am- q.am思考 2 若已知等比数列an中，q= 3,a3= 3,贝Ua7=_ .答案 243解析a7=a3 q4= 34= 35= 243.知识点二等比数列的性质1 .如果m+ n

2、=k+l，则有am an=aka.2 .如果m+ n= 2k，则有am -an=空.3.若m n,p成等差数列，则am,an,ap成等比数列.4. 在等比数列an中，每隔k项（k N*）取出一项，按原来的顺序排列，所得的新数列仍为 等比数列.5.如果an , bn均为等比数列，且公比分别为q1,q2,那么数列,an- bn,3 ,| ch|仍是等比数列，且公比分别为 丄,qq, , |q1|.q1q16.等比数列的项的对称性：在有穷等比数列中， 与首末两项“等距离”的两项之积等于首末两项的积，即a1an=a2an1=akank+1=.思考 在等比数列an中，吏一-=,asan=.as答案a7a

3、2解析 由等比数列的性质得asan=a8.2a3a9a3a9=asa7,.=a7.a5产题型探究_婁点突破3题型一等比数列的性质及应用例 1(1)在等比数列an中，若a3a6= 9,a2a4a5= 27,则a2的值为()A. 2 B . 3C. 4 D . 9答案(1)B(2)14解析因为an为等比数列，所以a3a6=a4a5= 9,又因为a2a4a5= 27,所以a2= 3.1 1(2) /a5+a9=q,-a4+a$=,. 2-a6(a2+ 2a6+aio) =a6a2+ 2a6+a6aio2=a4+ 2a4a8+a8=(a4+a8)反思与感悟 在等比数列的有关运算中，常常涉及到次数较高的

4、指数运算.若按常规解法，往往是建立a1,q的方程组，这样解起来很麻烦，通过本例可以看出：结合等比数列的性质 进行整体变换，会起到化繁为简的效果.a20跟踪训练 1(1)在等比数列an中，a7a11= 6,a4+a14= 5,则一等于()ai02A.3B.(2)已知数列an是等比数列，且&0,a2a4+ 2&a5+a4a6= 25,那么a3+a5=_答案(1)C(2)5解析(1)a7 an=a4 -a14= 6,又a4+a14= 5,a4= 2,a4= 3或,4 = 3a14= 210a1432-q= 5=2 或 3，a20103 2已知公比为q的等比数列an 中,a5+a9=

5、q,则a6(a2+ 2a6+aio)的值为234=q= _或一.a102 3(2)由a2a4+ 2a3a5+a4a6= 25,即a2+ 2a3a5+a；= (a3+&)2= 25,5/an0a3+a5 o,.a3+a5= 5.题型二灵活设项求解等比数列3例 2 已知 4 个数成等比数列，其乘积为 1,第 2 项与第 3 项之和为，则此 4 个数为1 1 、 1 1答案8，一2,， 8 或8， 2,2，8解析 设此 4 个数为a,aq,aq2,aq3. 则a4q6= 1,3-aq(1 +q) = 2，所以a2q3= 1,当a2q3= 1 时，q 0,代入式化简可得q2 4q+ 1 = 0

6、,此方程无解;232171当aq= 1 时，qv0，代入式化简可得q+才q+ 1 = 0，解得q= 4 或q= 4.t丄1当q= 4 时，a= 8;t1丄当q= 4 时，a= 8.1 1 1 1所以这4个数为 8，一 2, ，一 8 或一 g, 2，一2,8.反思与感悟灵活设项求解等比数列的技巧(1)三数成等比数列，般可设为aq，a,aq;M(2)四数成等比数列， 一般可设为a a3, ,q qaq,aq3或a,aq, aq2,aq3，但前一种设法的公比为q2( 0)；(3)五数成等比数列， 一般可设为a a2, ,qqa,2aq, aq.跟踪训练 2 有四个实数，前三个数依次成等比数列，它们

7、的积是-8，后三个数依次成等差数列，它们的积为80 ,求出这四个数.解 由题意设此四个数为-，b,bq, a,q则有 2bq=a+b,ab2q= 80,6a=10,解得b=- 2,q= - 24所以这四个数为 1 , - 2, 4, 10 或一? 2, - 5, - 8.5题型三等比数列的实际应用例 3 为了治理“沙尘暴”，西部某地区政府经过多年努力，到2014 年底，将当地沙漠绿化了 40%从 2015 年开始，每年将出现这种现象：原有沙漠面积的 12%被绿化，即改造为绿洲（被 绿化的部分叫绿洲），同时原有绿洲面积的8%又被侵蚀为沙漠，问至少经过几年的绿化，才能使该地区的绿洲面积超过50%?

8、（可参考数据 lg 2 = 0.3，最后结果精确到整数）.解 设该地区总面积为 1,2014 年底绿化面积为a1=2，经过n年后绿洲面积为an+1,设 20145年底沙漠面积为b1,经过n年后沙漠面积为bn+1,则a1+1,an+bn= 1.依题意，an+1由两部分组成：一部分是原有绿洲an减去被侵蚀的部分 8%an的剩余面积 92%an, 另一部分是新绿化的 12%-bn,所以43an+1= 92% an+ 12%（1 an） = an+ 25 ,343an+1-5 = 5(an-5),3 231a15 = 55 =5,”314an-孑是以二为首项，匚为公比的等比数列,J55314n-1an

9、-5=(-5)(4), an=an+1 50% 5-將 24n141 lg 25log52= 1-3gT =3.则当心时，不等式 5n1恒成立所以至少需要 4 年才能使绿化面积超过 50%.n-1或8,27反思与感悟本题从实际问题抽象出一个数列问题，解决数列应用题的关键是读懂题意，建立数学模型，弄清问题的哪一部分是数列问题，是哪种数列在求解过程中应注意首项的确立、时间的推算，不要在运算中出现问题.跟踪训练 3 2015 年，某县甲、乙两个林场森林木材的存量分别为16a和 25a，甲林场木材存量每年比上年递增 25%而乙林场木材存量每年比上年递减20%.问哪一年两林场木材的总存量相等？问两林场木材的总量到 2019 年能否翻一番？解(1)由题意可得n1n116a(1 + 25%)= 25a(1 20%),解得n= 2,故到 2017 年两林场木材的总存量相等.故到 2019 年不能翻一番.r当堂检测1 .在正项等比数列an中，an+1an,a2a8= 6,a4+a6= 5，则一等于()A.| B.62 % D.答案 D解析 设公比为q,则由等比数列an各项为正数且an+1an知 0q0,.b= 2（舍负）.所以这 3 个数的积为abc= 4x2= 8.课堂爪结-I_Ia2 0i6一a2 0i7a2 0i4一a2 0i5a2