§_3.4实际问题与一元一次方程(练习答案)

1、实际问题与一元一次方程（知识要点）一、销售问题在生活中，人们购买商品和销售商品时，经常会遇到进价、原价（标价）、售价、打折等概念，在了解这些概念后，还必须熟悉销售问题中的两个基本关系式：利润1利润=售价进价；利润率=X100%.进价在式中若等式左边的“利润”为正，就是盈利；若为负，就是亏损；由和式可以得到：利润=售价进价=利润率X进价。【例 1】 某商店将某种服装按进价提高30%乍为标价，又以九折优惠卖出，结果仍可获利17 元，则这种服装每件进价是多少元分析：此题要用的等量关系是：利润=售价-进价，如果把进价设为x 元，则标价为（1 +30%）x，打九折后售价为X（1 + 30%）x,再减去进

2、价 x 元得到的就是利润 17 元。解：设这种服装每件的进价为x 元，依题意列方程为：X（1+30%）xx=17解得 x= 100答：这种服装的进价是 100 元。练习：某商店对一种商品进行调价，按原价的八折出售，打折后利润率是20%已知商品的原价是 63 元，求该商品的进价二、行程问题1、相遇问题：主要是指两车（戓人）从两地同时相向而行。其基本等量关系为两车（戓人）所行的路程这和恰好等于两地的距离；两车（或人）人开始行驶到相遇所用的时间相等。2、追赶问题：主要是指甲、乙同向而行，快者追慢者称为追赶问题。 基本公式：速度差X追赶时间=被追赶的路程;2对于同向同地不同时出发的问题有相等关系：追赶

3、者行进路程=被追赶者行进路程；3对于同时同向不同地出发的问题有等量关系：追赶者的行驶时间=被追赶者的行驶时间。3、航行问题：基本公式：顺水速度=静水速度+水速，逆水速度=静水速度-水速顺风速度=无风速度+风速，逆风速度=无风速度-风速符号公式：v顺水=V静水+V水V顺风=V无风+V风V逆水=V静水V水V逆风=V无风V风4、行程问题一般都能通过画线段示意图来分析，通过线段示意图，等量关系就能直观地显示出 来，进而用方程表示出来。【例 2】某中学组织学生到校外参加义务植树活动，一部分学生先骑自行车先走，速度为9km/h , 40min 后其余学生乘汽车出发，速度为45km/h，结果他们同时到达目的

4、地，则目的地距学校有多少 km分析：题目中的等量关系为： 汽车行程=自行车行程；骑自行车的时间乘汽车时间=40min。解：（方法一）设目的地距学校有 x 千米，则骑自行车的所用的时间为x/9 小时，乘汽车所用的时间为 x/45 h。依据题意列方程为：x_ _x _4094560解得 x =所以目的地距学校。练习：1、AB 两地相距 100 千米，甲、乙两人骑自行车分别从AB 两地相向而行，甲的依题意列方程为：汽车 x 小时的行程（4045x = 9 (x +)601解得 x =丄61 1 1-1-*_r1自行车 40 分钟的 自行车 x 小时的行程1所以 45X丄=6即目的地距学校千米。（方法

5、二）设汽车行驶了 x 小时，则汽车 x 小时的行程=自行车 40 分钟的行程+ x 小时的行程。 如图所示：速度为 23 千米 /时，乙的速度为 21 千米/时，甲骑了 1 小时后乙从 小时与乙相遇2、一辆汽车以每小时 40 千米的速度由甲地驶向乙地，车行了被迫每小时减少 10 千米，结果到乙地比预计的时间晚了 45 分钟，B 地出发， 问甲出发后经过几3 小时后， 因遇雨， 平均速度 求甲、乙两地的距离。三、工程问题我们在解决工程类问题应用题时，常常把工作总量看成 “1”工作量、工作时间、工作人数、工作效率之间的关系为：工作量=工作效率X工作时间X工作人数。【例 3】一项工作，甲单独做 8

6、天完成，乙单独做 12 天完成，丙单独做 24 天完成，现甲、 乙合做3 天后，甲因事离去，由乙、丙合做，则乙、丙还要几天才能完成这项工作分析：题中的等量关系为：全部工作量=甲、乙合做3 天的工作量+乙、丙合做的工作量。解：设乙、丙还要 x 天才能完成这项工作，根据题意列方程为:解得x3.答：乙、丙还要 3 天才能完成这项工作。练习：某工程，甲队单独做 12 天完成，乙队单独做 3 天完成，甲队做苦干天后，因另有任 务被调走，余下的由乙队完成，从甲队开始做到乙队完成任务共用6 天，求甲队做的天数。四、储蓄问题存入银行的钱叫做本金； 银行付出的酬金叫做利息； 存入银行的时间叫做期数； 每个期数内

7、 的利息与本金的比叫做利率， 每个期数内，利息=本金X利率。本金与利息和叫做本息和， 本息 和=本金+利息。【例 4】 某银行一年定期储蓄的年利率为%小明的奶奶当时按一年定期存入一笔钱，一年到期后取出本金及利息共元，则小明的奶奶存入银行的钱为多少元分析：题中利用的等量关系：本息和=本金+利息=本金+本金X利率，可求得本金。解：设小明的奶奶存入银行的钱为x 元，根据题意列方程为：x 2.250ox 1022.5解得x1000.答：小明的奶奶存入银行的钱为 1000 元。丄X3+121121x24练习： 小红的父亲前年存入了一种年利率为 %的两年储蓄，今年到期后，所得利息正好给小 红买了一个价格为

8、元的计算器，那么小红的父亲前年存入了多少钱五、调配问题调配问题是指从甲处调一些人（或物）到乙处，使之符合一定的数量关系；或者从第三方调入一些人（或物）到甲、乙两处，使之符合一定的数量关系。其基本关系为：甲处人（或物）数+乙处人（或物）数=总人（或物） 。【例 5】某厂甲车间有工人 32 人，乙车间有 62 人，现从厂外招聘工人 98 名分配到两车间， 问应该如何分配才能使乙车间人数是甲车间人数的3 倍。分析：设分配 x 人到甲车间，则分配（98- x）人到乙车间，甲车间分配后人数为（32+x）人，乙车间分配后人数为（62 + 98- x）人。等量关系是：乙车间人数=3X甲车间人数。解：设分配

9、x 人到甲车间，则分到乙车间的人数为（98-x），依题意列方程为：62+ 98 - x= 3(32 + x)解得x16则分到乙车间的人数为：98- 16= 82 （人） 答：应分配 16 人到甲车间，82 人到乙车间。练习：如图，天平的AB 盘内分别有 51 克、45 克盐，则应该从 A盘内拿出多少克盐放到 B盘内，才能使天平平衡六、数字问题数字问题是指已知一个数各位上的数字之间的关系，要求写出这个数，解这类问题一般要设间接未知数，如 a、b 分别是一个数的个位和十位上的数字，则这个两位数可以表示为10b + a.【例 6】一个两位数，十位上的数比个位上的数小1,十位与个位上的数学之和是这个两

10、位数的 1/5，求这个两位数。分析：题中已知的等量关系是：十位上的数字+个位上数字=1/5X两位数.解: 设十位上的数字为 x，则个位上的数字为（x + 1）,依题意列方程为：1x （x 1）- 10 x （x 1）5解得x4个位上的数字这：4+ 1 = 5所以这个数两位数是为 45.练习： 一个两位，个位上的数字是十位上的数字的2 倍，如果把十位与个位上数字对调，那么所得的两位数比原两位数大 36，求原两位数。七、积分问题比赛中的积分规则由比赛的规定决定， 各类比赛不尽相同， 弄清比赛规则是解决问题的先决 条件。这类问题基本选题关系为：比赛总场数=胜场数+负场数+平场数。比赛总积分=胜场积分

11、负场积分平场积分 。【例 7】 足球比赛的积分规则：胜一场得 3 分，平一场得 1 分，输一场得 0 分。一支点球 队在某个赛季中共比赛 14 场，现已比赛了 8 场，输了 1 场，得 17 分，请问：(1)前 8 场比赛中，这支球队共胜了多少场( 2)这支球队打满 14 场比赛，最高能得多少分(3)通过对比赛情况的分析，这支球队打满14 场比赛得分不低于 29 分就可以达到预期的目标，请你分析一下，在后面的 6 场比赛中，这支球队至少要胜几场才能达到预期目标解：本题中的数据较多，要特别注意读题、审题，从中找出等量关系：总积分=胜场积分+ 负场积分平场积分 .解：(1)设前 8 场比赛中，这个

12、球队共胜了 x 场，则平了( 8- 1 - x)场.根据题意列方程为： 3x+( 8 1 - x)= 17.解得 x = 5(2)打满 14 场比赛最高得分为：17 + 3 (14 - 8)= 35 (分)(3) 由题意知，以后的 6 场比赛中，只要得分不低于 12 分即可达到预期目标。所以当胜场不少于 4 场时得分大于 17 + 3X4 = 29 分，一定能达到预期目标；而胜 3 场平 3 场时得 分为：17+ 3X3+ 3X1 = 29 分，正好达到预期目标。所以这个球队在以后的 6 场比赛中至 少要胜 3 场平 3场才能达到预期的目标。练习： 某区中小学足球联赛共赛 8 轮(即每队均需参

13、赛 8 场)，胜一场得 3 分，平一场得 1 分，负一场得 0 分，在这足球联赛中，猛虎队平的场数是负的场数的 2 倍，且 8 场比赛共得分 17 分，则该队共胜多少场八、方案设计问题一般步骤： ( 1)运用一元一次方程解应用题的方法，求解使设计方案值相等的情况；（2）用特殊值试探法选择方案，取小于（或大于）一元一次方程解的值，比较两种方案的优劣后下结论。【例 8】某地上网有两种收费方式，用户可以任选其一：A 计时制：1 元/小时，B 包月制：80 元/月，此外，每一种上网方式都加收通讯费元/小时。（1）某用户每月上网 40 小时，选用哪种上网方式比较合算（2）某用户每月有 100 元钱用于上

14、网，选用哪种上网方式比较合算（3）请你为用户设计一个方案，使用户能合理地选择上网方式分析：（1 ）分别计算出两种上网方式上网40 小时的消费额，进行比较即可知道；（2）分别计算出两种方式下的上网时间进行比较；（3）设每月上网 m 小时，两种上网方式的消费额相等，再进行分析解：（1）用户上网 40 小时,选择 A 种上网方式应支付网费 40X1 + 40X=44 元（元），选择 B 种上网方式应支付网费 80+ 40X=84 （元），所以选用 A 种方式比较合算；（2）设用户选择 A 方式 100 元可上网 x 小时，选择 B 方式可上网 y 小时，依题意，得-（1 +） x= 100解得x91

15、即用户选择 A 方式 100 元可上网 91 小时，选择 B 方式可上网 200 小时，所以选用 B 种方式 合算（3）设每月上网 m 小时两种上网方式的消费额相等，依题意列方程为：（1 0.1）m 800.1m解得m 80所以当每月上网不足 80 小时时，先用 A 方式上网比较合算； 当每月上网 80 小时时，两种方 式的消费额相等；当每月上网超过80 小时时，选用 B 方式比较合算练习：某校长暑假将带该校市“三好生”去参加旅游，甲旅行社说：“如果校长买全票一张，则其余学生可享受半价优惠”乙旅行社说：“包括校长在内全部按全票的6 折优惠”.若全票为240 元.（1）当学生是多少时，两家费用一样（2）当学生是多少时，选甲旅行社合算当学生是多少