第一讲线段角的计算证明问题

1、中考数学专题 1 线段、角的计算证明问题 第一部分 知识点诠释中考的解答题一般是分两到三部分的。 第一部分基本上都是一些简 单题或者中档题， 目的在于考察基础。 第二部分往往就是开始拉分的 中、难题了。大家研究今年的北京一模就会发现，第二部分 , 或者叫 难度开始提上来的部分， 基本上都是以线段， 角的计算与证明开始的。 城乡 18 个区县的一模题中 , 有 11 个区第二部分第一道题都是标准的 梯形，四边形中线段角的计算证明题， 剩下的 7 个区县题则将线段角 问题与旋转 , 动态问题结合，放在了更有难度的倒数第二道压轴题当 中.可以说. 线段角问题就是中考数学有难度题的排头兵。 对这些题轻

2、 松掌握的意义不仅仅在于获得分数， 更重要的是对于整个做题过程中 士气、军心的影响。在这个专题中， 我们对各县区一模真题进行总结 归纳，分析研究 , 来探究线段，角计算证明问题的解题思路。第二部分 真题精讲【例 1】 如 图 , 梯 形 ABCD 中 ，AD / BCBD CD， BDC 90° AD 3，BC 8求AB 的长.EDBC【思路分析】 线段，角的计算证明基本都是放在梯形中，利用三角形全等相似，直角三角形性质以及勾股定理等知识点进行考察的.所以这就要求我们对梯形的性质有很好的理解，并且熟知梯形的辅助线做法。 这道题中未知的是 AB,已知的是AD, BC以及 BDC是等腰直

3、角三 角形,所以要把未知的 AB也放在已知条件当中去考察 .做AE,DF垂直于BC,则很轻易发现我 们将AB带入到了一个有大量已知条件的直角三角形当中于是有解如下【解析】作AEBC 于 E, DFBC 于 F.AE/ DF ,-T AD/ BC,四边形AEFD是矩形.EFAD 3, AEDF .BDCD, DF BC , DF是 BDCv BDC 90° DF-BC2BF 4.AE4 , BE BFEF 43 1.在 Rt ABE 中，AB2AE2BE2的BC边上的中线.AB 42 1217.【例2】已知：如图，在直角梯形ABCD 中,AD / BC , DCB 90 ,AC BD

4、于点 O, DC 2,BC 4 求AD的长.BC【思路分析】这道题给出了梯形两对角线的关系。求梯形上底.对于这种对角线之间或者和其他线段角有特殊关系（例如对角线平分某角）的题，一般思路是将对角线提出来构造一个三 角形.对于此题来说，直接将AC向右平移，构造一个以 D为直角顶点的直角三角形。这样就 将AD转化成了直角三角形中斜边被高分成的两条线段之一，而另一条线段BC是已知的。于是问题迎刃而解【解析】过点D作DE /AC交BC的延长线于点 E BDE BOC。 AC BD 于点 O ,BOC 90 .BDE 90。/ AD / /BC , 四边形ACED为平行四边形AD CE。BDE 90 ,

5、DCB 90 , DC2 BC CE。/ DC 2,BC 4, CE 1 .- AD 1此题还有许多别的解法，例如直接利用直角三角形的两个锐角互余关系，证明ACD和DBC相似，从而利用比例关系直接求出 CD有兴趣的考生可以多发散思维去研究 【例3】如图，在梯形ABCD中 AD / BC B 90I J?AD=2 ,BC 5 , E 为 DC 中点，tanC43 .求ae的长度【思路分析】 这道题是东城的解答题第二部分第一道，就是我们所谓提难度的门槛题。乍 看之下好象直接过 D做垂线之类的方法不行。那该怎样做辅助线呢？答案就隐藏在E是中点这个条件中在梯形中，一腰中点是很特殊的 一方面中点本身是多

6、对全等三角形的公共点，另一方面中点和其他底， 腰的中点连线就是一些三角形的中线，利用中点的比例关系就可以将已知条件代入比如这道题，过中点 E做BC的垂线，那么这条垂线与 AD延长线，BC就构 成了两个全等的直角三角形。并且这两个直角三角形的一个锐角的正切值是已经给出的。于是得解。【解析】过点E作BC的垂线交于BC点F ,交AD的延长线于点在梯形 ABCD中，AD II BC , E是DC的中点,M MFC , DE CE在MDE和FCE中,M MFCDEM CEFDE CE EFME , DM1 CF/ AD2, BC5, DMCF32在RtFCE 中，tanC4EF3CF， EFME 2.在

7、RtAME 中，AE22223652MDE 幻 FCE 。【总结】以上三道真题，都是在梯形中求线段长度的问题。这些问题一般都是要靠做出精妙的辅助线来解决。 辅助线的总体思路就是 将梯形拆分或者填充成矩形 +三角形的组合 ，从而达到利用已知求未知的目的。 一般来说，梯形的辅助线主要有以下 5类:1、过一底的两端做另一底的垂线，拆梯形为两直角三角形+ 一矩形2、平移一腰，分梯形为平行四边形 +三角形3、延长梯形两腰交于一点构造三角形4、平移对角线，转化为平行四边形 +三角形5、连接顶点与中点延长线交于另一底延长线构筑两个全 等三角形或者过中点做底边垂线构筑两个全等的直角三 角形以上五种方法就是梯形

8、内线段问题的一般辅助线做法。对于角度问题，其实思路也是一 样的。通过做辅助线使得已知角度通过平行，全等方式转移到未知量附近。之前三道例 题主要是和线段有关的计算。我们接下来看看和角度有关的计算与证明问题。【例4】如图，在梯形ABCD中，AB / DC , DB 平分 ADC ,过点A作AE / BD，交CD的延长线于点E ,且 C 2 EBDC 30 , AD 3 ,求CD的长.【思路分析】此题相对比较简单，不需要做辅助线就可以得出结果。但是题目中给的条件都是此类角度问题的基本条件。例如对角线平分某角， 然后有角度之间的关系。 面对这种题目还是需要将已知的角度关系理顺。首先根据题目中条件，尤其

9、是利用平行线这一条件，可以得出（见下图）角C与角1, 2，3以及角E的关系.于是一系列转化过后，发现角 C=60度， 即三角形DBC为RT三角形.于是得解.【解析】：AE II BD13,2E 123EADC3E 2 EC2 EADCBCD60梯形ABCD是等腰梯形 BC AD 3230 , BCD 60DBC 90在 Rt DBC 中，230 , BC 3 CD 6【例5】已知：PA V2, PB 4,以AB为一边作正方形ABCD使 P、D两点落在直线AB的两侧.p如图，当/ APB45。时， 求AB及 PD的长；【思路分析】这是去年西城一模的压轴题的第一小问。如果线段角的计算出现在中间部分

10、往往意味着难度并不会太高。但是一旦出现在压轴题，那么有的时候往往比函数题，方程题更为棘手这题求AB比较容易，过A做BP垂线,利用等腰直角三角形的性质，将 APB分成 两个有很多已知量的 RT。但是求PD时候就很麻烦了。 PD所在的三角形PAD是个钝角三角 形，所以就需要我们将 PD放在一个直角三角形中试试看。构筑包含PD的直角三角形，最简单的就是过 P做DA延长线的垂线交 DA于F,DF交PB于G 这样一来，得到了厶 PFA AGEA等多个RT。于是与已求出的 AB等量产生了关系，得解.【解析】：如图，作AEL PB于点E. APE中,/ APE=5DPA 2 ,AEPAsin APE2辽12

11、LPEPA cos APE22 1 .2PB4,BEPBPE 3 .在 Rt ABE中 , / AEB=0AB . AE2 BE210如图，过点P作AB的平行线，与 DA的延长线交于F,设DA的延长线交PB于G 在Rt AE（中,可得AEAEAG -cos EAG cos ABE103，（这一步最难想到，利用直角三角形斜边高分成的两个小直角三角形的角度关系）1 2EG 3，PG PB BE EG 3 -在 Rt PFG，可得 PFPG cos FPGPG cos ABE 卫,FG515【总结】 由此我们可以看出，在涉及到角度的计算证明问题时，一般情况下都是要将已知角度通过平行，垂直等关系过度给

12、未知角度 。所以，构建辅助线-般 也是从这个思路出发， 利用一些特殊图形中的特殊角关系 （例如上题中的 直角三角形斜边高分三角形的角度关系）以及借助特殊角的三角函数来达到求解的目的。第三部分发散思考通过以上的一模真题， 我们对线段角的相关问题解题思路有了一些认识。 接下来我们自己动 手做一些题目。希望考生先做题 ,没有思路了看分析，再没思路了再看答案。【思考1】如图，在梯形ABCD中，AD/ BC, AB CD .若 AC丄BD,且CDAD+B(= 10a/3 ,ABC 60 , 求 的长.【思路分析】 前面我已经分析过，梯形问题无非也就那么几种辅助线的做法.此题求腰，所以自然是 先将腰放在某

13、个 RT三角形 中。另外遇到对角线垂直这类问题，一般 都是平移某一条对角线以构造更大的一个RT三角形，所以此题需要两条辅助线。 在这类问题中，辅助线的方式往往需要交叉运用 ，如果思想放不开，不敢多做，巧做，就不容易得出答案。解法见后文【思考 2】如图，梯形 ABCD中,AD/BC , / B=30°, / C=60° ,E,M , F,N 分别是 AB,BC, CD,DA的中点，已知BC=7,MN=3求EFC【思路分析】 此题有一定难度，要求考生不仅掌握中位线的相关计算方法， 也对三点共线提 出了要求。若求 EF,因为BC已知，所以只需求出 AD即可。由题目所给角 B,角C

14、的度数， 应该自然联想到直角三角形中求解。（解法见后）【思考3】已知ABC，延长BC到 D，使CD BC .取AB的中点F ,连结FD交AC于点E .AE求AC的值;若 长.AB a , FB EC，求 AC 的A【思路分析】求比例关系，一般都是要 利用相似三角形来求解此题中有一个等量关系BC=CD又有F中点，所以需要做辅助线，禾U用这些已知关系来构造数个相似三角形就成了 获得比例的关键。（解法见后）【思考4】如图3, ABC中，/A=90°, D为斜边BC的中点，E, F分别为AB, AC上的点, 且DE丄DF,若BE=3, CF=4,试求EF的长.【思路分析】 中点问题是中考几何

15、中的大热点，几乎年年考。有中点自然有中线，而倍长中线方法也成为解题的关键将三角形的中线延长一倍， 刚好可以构造出两个全等三角形 ，很多问题就可以轻松求解本题中，D为中点，所以大家可以看看如何在这个里面构造倍长中线。 （解法见后）【思考5】 如图，在四边形ABCD中E为AB上一点，ADE和BCE都是 等边三角形，AB、BC、CD、DA 的中 点分别为P、Q、M、N，试判断四边形PQMN为怎样的 四边形，并证明你的结论.【思路分析】 此题也是中点题，不同的是上题考察中线，此题考察中位线。本题需要考生对各个特殊四边形的性质了如指掌 ，判定，证明上都需要很好的感觉。尤其注意梯形，菱形，正方形，矩形等之

16、间的转化条件（解法见后）第三部分思考题答案思考1【解析】:作DE丄BC于E,过D作DF/ AC交BC延长线于 F. 则四边形ADFC是平行四边形， AD CF四边形ABCD是等腰梯形， AC=BD. DF BD又 AC丄 BD, DF/ AC,. BD丄 DF. BDF是等腰直角三角形- DE 1 BF(AD BC) 5 32 2在Rt CDE中，/ DCE 60 , DE CD sin DCE,DF=AC思考2【解析】思考3【解析】二 5 3 CD sin 60，二 CD延长BA, CD交于点H,连接HN因为/ B=30° , / C=60°,所以/10所以HN=DN（直

17、角三角形斜边中线性质/ NHD2 NDH=60连接MH同理可知/ MHDd C=60° .ABE cF1 A /*MBHC=90所以/ NHD2 MHD即H, N, M三点共线（这一点容易被遗漏 ，很多考生会想当然认为他们共线，其实还是要证明一下 ）所以 HM=3.5 , NH=0.5 AN=0。5所以 AD=1 EF= (1+7)/2=4过点F作FM / AC，交BC于点M ./ F为AB的中点 M为BC 的中点，FMAC2由FM/ AC，得CEDMFDECDFMID5FMD sECDDCEC2DMFM3-EC2FM2 1AC 1AC33 23AEAC-AC 1 ACEC31 ACACAC2/ AlB a ,- FB1 AB1 a22又FBEC , EC -a-AC ,23 a .ECAC3EC -32思考4【解析】：延长ED至点 G,使 DG=ED，连接 CG, FG. 则厶 CDGA BDE.所以 CG=BE=3,Z 2=Z B. 因为/ B+Z 仁90°，所以/ 1 + Z 2=Z FCG=90°. 因为DF垂直平分EG,所以FG=EF.在RtA FCG中，由勾股定理得FG .CG2 CF2 32425,所以