第1讲有理数及其运算

1、个人收集整理勿做商业用途清大世纪教育学员辅导讲义学员编号：年 级：第课时学员姓名：辅导科目：教师：安文静课题第1讲 有理数及其运算授课时间：备课时间：教学目标1、负数的引入是实际的需要理解用正负数表示相反意义的量.2、知道什么叫负数、零、正数。正数、负数、零统称有理数。3、会对有理数进行两种分类。重点、难点1、用正负数表示相反意义的量.2、会对有理数进行分类3。混合运算考点及考试要求教学内容【知识重点】一、重点知识归纳及讲解有理数一、正负数1. 【正数】：像+1。8，+420、+30、+10%等带大于0的数叫做正数。为了强调正数，前面加上“+”号，也可以省略不写。2。 【负数】：像3、 475

2、4、 50、 0.6、 15%小于0的数叫做负数。负数前面的“”号不能省略。3。【零】：既不是正数也不是负数，它是正数与负数的分界点。判断：-a 一定是负数吗？二、用正负数表示相反意义的量：1. 判断下列表述是否是相反意义的量(1) 气温零上5C表示为+5C ,那么-3 C表示(2) 购进50斤苹果与卖出-50斤苹果.2. “某种机器零件规定其直径误差不得超过0。8mm这是什么意思？三、有理数及其分类：1. 【定义】：整数与分数统称为有理数(注意：所有的有限小数和无限循环小数都可以化为分数。)(1)按定义分类:(2)按性质符号分类:正有理数正整数正分数有理数负整数有理数0分数正分数负分数负有理

3、数负整数负分数正整数整数0个.-6。例1小明写作业时不慎将墨水滴在数轴上，根据图中的数值，判定墨迹盖住部分的整数共有-6例请把下列各数填入相应的集合中7 c 17，-9.25,，2-,75% ,31.25 , - ( 6.5 ), 152负数集合： 非负数集合： 整数集合： 分数集合：【变式训练】将下列各有理数填入相应的集合内：8, 6,4 ,0, 27 ,0.36,1.78 , n37整数：分数：正数：负数：通常把正整数和零统为非负数 ；负数和零统称为非正数；正整数和零统称为非负整数，即为自然数；负整 数和零统称为非正整数.3、数轴(1 )数轴的概念：规定了原点、正方向、单位长度 的直线叫做

4、数轴. 注意：数轴是一条直线，可以向两端无限延伸； 数轴有三要素：原点、正方向、单位长度三者缺一不可； 原点的位置、正方向的取向、单位长度的大小的选定，都是根据实际需要而定的。(2 )数轴与数的关系 任意一个有理数， 都可以用数轴上的一点表示，但数轴上的一点不一定表示有理数，它可能表示无理数。 数轴上的数，左边的数总要小于右边的数。正数0,负数v 0,正数负数。 负数绝对值(数字)越大，数值越小。【变式训练】a, b是有理数，它们在数轴上的对应点的位置如下图所示: 把a, a,b, b按照从小到大的顺序排列()(A) bv a v a v b(C) b v a v a v b(B) a v b

5、 v b v a(D) a v b v a v b相反数IA c1. 概念：只有符号不同的两个数叫相反数；在任意一个数的前面添上一个“-”号，就变为这个数的相反数 2。 一般地，a和-a互为相反数，特别的，0的相反数是0。互为相反数的两个数的和为零；相反，若两个数的和为零， 则这两个数互为相反数 即:若a,b互为相反数,则a+b=0 ;若a+b=0，则a， b互为相反数。牢记：正数的相反数是，负数的相反数是，相反数等于它本身的数是。3、 相反数的代数意义:a>0时，a _0； a0时，a ; a = 0时，a 0。( a可以代表任意有理数) 相反数的几何意义：表示互为相反数的两个点位于原

6、点的且到原点的相等。4.会进行符号化简( 相反数是成对出现的,例题：到原点的距离是是5的数为2)= ; + (+ 2 )= ; (x + y)=；不能单独存在，单独的一个数不能说是相反数；不能理解为只要符号不同的两个数就互为相反数，只有符合不同的两个数是说除了符号不同以外完全相同。绝对值1. 绝对值的几何定义：在数轴上，表示一个数 a的点到原点的距离叫做这个数a的绝对值，记作|a |2。 绝对值的代数定义：一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0a (a 0)也就是说，任何一个有理数的绝对值都是非负数，即罔 0, |a|0 (a 0)a (a 0)3。绝对值的有关

7、性质(1)对任意有理数a，都有| a| >0;(2)若|a|=0，贝U a=0;(3) 若 | a | = | b|，贝U a=b 或 a= b; (4 )若 |a | =b(b>0 )，则 a=± b;4 5 5 55 687(5)若 | a| +| b | =0,则 a=0 且 b=0;(6)对任意有理数 a，都有 | a | =| a |。例1:利用绝对值比较大小：两个负数，绝对值大的反而小1彳,11,11 , ,11-11 + 1 -+ 1 1 + + 12324310099例2 :计算|【变式训练】1. 若a与b的绝对值分别为2和5,且数轴上a在b左侧，贝U a

8、+b的值为.2。 若用A B、C分别表示有理数 a、b、c, 0为原点如图所示。已知a c<0, b>0.化简 c+ | a+b | + | cb | - | ca | =.倒数乘积为1的两个有理数互为倒数倒数的求法：求一个整数的倒数，直接可写成这个数分之一；求一个分数的倒数，只要将分子、分母颠倒即可；分母颠倒；求一个小数的倒数,3,计算(2a+3c) b=求一个带分数的倒数，应先将带分数化成假分数，再将分子、 应先将小数化成分数，然后再求倒数。只有零没有倒数，其他任何有理数都有倒数正数的倒数为正数,负数的倒数为负数，即互为倒数的两个数符号 有理数的混合运算先乘方，后乘除，最后加减

9、；有括号时，先算括号里面的；同级运算按从左至右的顺序进行，同时注意运算律的灵活应用。进行有理数的混合运算时，应注意：一是要注意运算顺序，先算高一级的运算，再算低一级的运算；二是要注意观察，灵活运用运算律进行简便运算，以提高运算速度及运算能力（说明：加减是一级运算，乘除是二级运算，乘方是三级运算。）例1.已知a是最小的正整数，b的相反数比它本身大 2, c比最大的负整数大例20.751(3；) 94(0.125)5(8)0.125例3光谱数据9 162536,的下一个数据是5，12，21，32【变式训练】1。观察下面一列数的规律并填空:0 , 3, 8, 15, 24,匕厂 1）十（1 - 0

10、电-了 7飞- 20 X （-1严2.44Jj近似数、有效数字与科学计数法科学计数法：把一个数记作a x 10n形式（其中1 < a <10, n为整数，且n等于等于原数的整数位数减1。）近似数：一个与实际数比较接近的数，称为近似数。有效数字：对于一个近似数，从左边第一个不是0的数字开始，到精确到的数字止，都是这个近似数的有效数字。例：指出下列各近似数精确到哪一位，各有几位有效数字(1)17.68 ( 2)23 (3)0。360(4)1。670 万(5)5.18 105二、典型例题1 1 1111 222 3 2 3111，3 434将以上三个等式两边分别相加得:11 1,111

11、1111 1 1 22 33 422 3344例1观察下列等式34(1)猜想并写出：1n(n 1)(2)直接写出下列各式的计算结果:12006 2007 _1_n(n 1)(3)探究并计算12006 2008计算:【变式训练】2006 2007例2:已知有理数a、b、c在数轴上的对应点分别为A、B、C（如图）。化简a a D c bA -aB.bco c分析：“在数轴上，右边的数总比左边的数大”，0。解答：由数轴知,a 0,a-b 0, c-b>0所以，a a b |c b = a （ a-b）111例3:计算：11一1一.11009998分析：本题看似复杂，其实是纸老虎，只要你敢计算9

12、9 9897211解答：原式=一一一-=100 999832100大数减小数是正数，小数减大数是负数，可得到ab<0、c-b >+ （c b）= a-a+b+c-b= _2a+c1 1 I32氢,马上就会发现其中的技巧，问题会变得很简便。234181920例 4 计算：2 2 2 -2 -2 2 +2 .分析本题把每一项都算出来再相加，显然太麻烦怎么让它们“相互抵消”呢？我们可先从最简单的情况考虑。23222342323222-2 +2 =2+2 (-1+2 ) =2+2=6.再考虑 2 2 2 +2 =2-2 +2 ( 1+2) =2 2 +2 =2+2 ( 1+2) =2+2=

13、6。这怎么又等于6 了呢？是否可以把这种方法应用到原题呢？显然是可以的。解 原式=2-22 23 24218+219(-1+2)2341819=2-2 2 2 -2 +22341718=2-2 2 -2 -2 +2 (-1+2)=2-2 2 23-2 4-2 仃+21823=22 +2 =6【课堂练习】一、选择题1在有理数中，倒数等于本身的数有（）A、1个B、2个 C、3个D、无数个2、在下列说法中，正确的个数是（）任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示任何有理数的绝对值都不可能是负数每个有理数都有相反数每个有理数都有倒数A、 4B、 3C、 2D、 13、下列说法正确的是（）A、正数与负数统称为有理数B、带负号的数是负数C、正数一定大于0D、最大的负数是14、 在数轴上，原点两旁与原点等距离的两点所表示的数的关系是（）A、相等B、互为相反数C、互为倒数D、不能确定5、 如果一个数的相反数比它本身大，那么这个数为（）A、正数B、负数C、非负数D、不等于零的有理数6.右a b0,ab 0 ,那么下面正确的是()A 、a0,b0B、a 0, b 0C、a0,b0D、a 0,b07.若a ba，则b是（）A 、正数B、负数C、整数D、任意有理数8如果一