线面垂直与面面垂直典型例题-精选

1、线面垂直与面面垂直基础要点线线垂直线面垂直面面垂直、若直线a与平面，所成的角相等，则平面与 的位置关系是(B )A、/ B、不一定平行于C、不平行于D以上结论都不正确、在斜三棱柱 ABC A1B1C1, BAC 90°,又BCi AC ,过 G 作 GH丄底 面，垂足为H，则H 定在(B )A、直线上B、直线上C、直线上D、的内部、如图示，平面丄平面 ，A ,B, AB与两平面，所成的角A分别为4和6，过A B分别作两平面交线的垂 线，垂足为A,B，则AB: AB ( A )A、2:1B、3:1C、3:2D、4:3、如图示，直三棱柱 ABB1 DCC1中， ABBi 90： AB 4

2、BC 2,CCi 1上有一动点卩，则厶APCi周长的最小值是ABC1C5.已知长方体 ABCD A1B1C1D1 中，A, A AB 2,若棱上存在点P，使得Df PC ,则棱长的取值范围是。题型一：直线、平面垂直的应用1. (2014,F 分别PA AC,PA求证：(1)证明：(1)江苏卷)如图，在三棱锥中， D, E， 为棱，的中点.已知6, BC 8, DF 5.PAP平面DEF ； (2) 平面BDE 平面ABC .因为D, E分别为棱，的中点，所以/又因为？平面， 平面，所以直线/平面.(2) 因为D, E, F分别为棱，的中点，=6,= 8，所以/,=1 = 3,= 1 = 4.2

3、 2又因=5，故2=2+2,所以/= 90°,即丄.又丄，/,所以丄.因为E, 平面，平面，所以丄平面.又平面，所以平面丄平面.2. (2014,北京卷，文科)如图，在三棱柱中，侧棱垂直于底面， AB BC , AAF分别为A1C1、BC的中点.Cl(1)求证：平面ABE 平面BiBCCi ; (2)求证：CiF/ 平面ABE.证明：(1)在三棱柱ABC ABC中，BB1 底面 ABC, BB1 AB, AB BC, AB 平面 B1BCC1,Q AB 平面ABE, 平面ABE 平面BiBCC1 .取的中点G,连接，Q E、F分别为Q AC PA1C1，AC1 AiCi、BC 的中点

4、， FGPAC,FG AC,2FG PECi, FG ECi ,则四边形 FGE®为平行四AC 1,边形，CiF PEG,Q EG平面 ABE,CiF 平面 ABE, CiF P平面 ABE .3.如图，P是 ABC所在平面外的一点，且 PA 平面ABC ,平面PAC 平面PBC .求证 BC AC .分析：已知条件是线面垂直和面面垂直， 要证明两条直线垂直，应将两条直线中的一条纳入一个平面中，使另一条直线与该平面垂直，即从线面垂直得到线线垂直.证明：在平面PAC内作AD PC ,交PC于D .因为平面PAC 平面PBC于PC , AD 平面PAC，且AD PC ,所以AD 平面PB

5、C .又 因为BC 平面 PBC ,于是有 AD BC.另夕卜PA 平面 ABC , BC 平面ABC，所以PA BC .由及 AD PA A，可知BC 平面 PAC .因为 AC 平面PAC，所以BC AC .说明：在空间图形中，高一级的垂直关系中蕴含着低一级的 垂直关系，通过本题可以看到，面面垂直 线面垂直 线线垂直.4.过点S引三条不共面的直线SA、SB、SC,如图，BSC 90 ,ASC ASB 60，若截取 SA SB SC a(1) 求证：平面 ABC 平面BSC ；(2) 求S到平面ABC的距离.分析：要证明平面ABC 平面BSC ,根据面面垂直的判定定理，须在平面ABC或平面B

6、SC内找到一条与另一个平面垂直的直线.(1)证明：T SA SB SC a ,又 ASC ASB 60 ,二ASB和ASC都是等边三角形，AB AC a ,取BC的中点H，连结AH，二 AHBC .在Rt BSC中，BS CSa，二 SHBC , BC 、. 2a ,2. J亠22a22 2 aAHACCHa(a)2 2SH22 2在 SHA 中，AH2 亍，SH2 宁,SA二 SA2 SH2 HA2，二 AH SH，二 AH 平面 SBC ./ AH 平面 ABC，二平面 ABC 平面 BSC.或：T SA AC AB，二顶点A在平面BSC内的射影H为BSC的外 心，又BSC为Rt，二H在斜

7、边BC上，又BSC为等腰直角三角形，二H为BC的中点，/. AH 平面BSC . T AH 平面 ABC，二平面 ABC 平面 BSC .(2)解：由前所证： SH AH , SH BC，二 SH 平面 ABC ,SH的长即为点S到平面ABC的距离，SH乎亍， 点S到平面ABC的距离为亍.、如图示，为长方形，垂直于所在平面，过AC且垂直于的平面分别交、于E、F、G求证： 丄丄6.在四棱锥中，侧面是正三角形，且与底面垂直，已知底面是面积为2.3的菱形，ADC 60 , M是中点。求证：(2)求证：平面平面7.在多面体中，1,2, AE面，(1)求证：平面；EAD(2)求证：平面平面题型二、空间角

8、的问题1.如图示，在正四棱柱ABCD A1B1C1D1中，AB 1,BBi 、3 1，E 为 BBi 上使 BiE 1 的点，平 面AEC1交DD1于F，交AD1的延长线于 G,求:(1)异面直线与GG所成的角的大小(2)二面角A GG A的正弦值2.如图，点A在锐二面角 MN 的棱MN上，在面内引射线AP，使AP与MN所成的角 PAM为45 ,与面 所成的角大小为30，求二面角分析：首先根据条件作出二面 角的平面角，然后将平面角放入 一个可解的三角形中（最好是直 角三角形），通过解三角形使问题得解.解:在射线AP上取一点B，作BH 于H ,连结AH ,则BAH 为射线AP与平面 所成的角，

9、BAH 30 .再作BQ MN，交MN 于Q，连结HQ，则HQ为BQ在平面 内的射影.由三垂线定理的逆定理，HC MN ,BCH为二面角MN的平面角.设BCa，在 RtBAC 中，BCA90 ,BAM45 ,AB . 2a,在 Rt BHC 中，2BHC90 , BC近a, BHa, sinBQHBHa 丄.22BQa2，BCH是锐角，BQH 45 ,即二面角MN等于45 .说明：本题综合性较强，在一个图形中出现了两条直线所称的角，斜线与平面所称的角，二面角等空间角，这些空间角都要转化为平面角，而且还要彼此联系相互依存，要根据各个平面角 的定义添加适当的辅助线.3.正方体ABCD的棱长为1 ,

10、 P是AD的中点.求二面角A BDi P的大小.分析：求二面角关键是确定它的平面角，按定义在二面角的 棱上任取了点，在二个半平面上分别作棱的垂线，方法虽简便， 但因与其他条件没有联系，要求这个平面角一般是很不容易的， 所以在解题中不大应用.在解题中应用得较多的是“三垂线定理”的方法，如图考虑到AB垂直于平面ADi , BDi在平面ADi上的射影 就是ADi .再过P作ADi的垂线PF，贝U PF 面ABDi，过F作DiB的 垂线FE , PEF即为所求二面角的平面角了.解：过P作BDi及ADi的垂线，垂足分别是 E、F，连结EF .：AB 面 ADi , PF 面 ADi ,二 AB PF，又

11、 PF ADi，二 PF 面 ABDi .又I PE BDi，二EF BDi，二 PEF为所求二面角的平面角.Rt ADiD sPFA ,PFDDiAPADi而 AP 2,DDii ,ADi.2 ，二 PF在 PBD1 中，PDiPB . V PE2BDi,1 -BD 2在 Rt PEB 中 ,PE 、PB2 BE2RtPEF 中，sin PEF 圧 1 ,PE 2PEF 30 .4垂直于矩形所在平面，M E、N分别是、和的中点，PC(1)求证：/平面(2)若二面角P A为-，求证:平面丄平面45.已知正方体中ABCD ABiGDi , E为棱CCi上的动点MB(1)求证：AE丄(2)当E恰为棱CCi的中点时，求证：平面AABD丄平面EBD(3)在棱CCi上是否存在一个点E,可以使二面角Ai BD E的大 小为45。？如果存在，试确定 E在棱CCi上的位置；如