小学数学图形计算例题大汇总

1、第一讲不规则图形面积的计算（一）我们曾经学过的三角形、长方形、正方形、平行四边形、梯形、菱形、圆和扇形等图形, 一般称为基本图形或规则图形,我们的面积及周长都有相应的公式直接计算.如下表：名称图形周长公式面积公式长方形周长=2C a+b )面积二ab正方形口0周面积=不三角形周长二a十b十c面积.ah平行四边形a周长a+b ,)面积二ah悔形b周长=3i+b+c+d面积二/（a+b h菱形周 fe=4a面积二 BD国©冏长=2冗r面积二磷针J扇形弧长二姿 冏长二2讦弧长面积二蔻记r'实际问题中，有些图形不是以基本图形的形状出现，而是由一些基本图形组合、拼凑成 的，它们的面积及

2、周长无法应用公式直接计算.一般我们称这样的图形为不规则图形。那么，不规则图形的面积及周长怎样去计算呢我们可以针对这些图形通过实施割补、剪 拼等方法将它们转化为基本图形的和、差关系，问题就能解决了。例1如右图，甲、乙两图形都是正方形，它们的边长分别是10厘米和12厘米,求阴影部分的 面积。解：阴影部分的面积等于甲、乙两个正方形面积之和减去三个“空白”三角形（ABG、 BDE、 EFG）的面积之和。Saefg =/（12-10）X 12 = 12。乂因为 S 印+S 乙=12X12+10X10=244,所以阴影部分面积=244- （50+132+12） =50 （平方厘米）。例2如右图，正方形AB

3、CD的边长为6厘米，AABE、 ADF与四边形AECF的面积彼此相等, 求三角形AEF的面积.解：因为ABE,a ADF与四边形AECF的面积彼此相等，所以四边形AECF的面积与 ABE、 ADF的面积都等于正方形ABCD面积的三分之一也就是：S四地修函=SAJBE=SAADF = 1 X 6X 6 = 12。在ABE中，因为AB=6.所以BE=4,同理DF=4,因此CE=CF=2,r.AECF 的面积为 2X24-2=2o所以 SAAEF=S 四边形 AECF-SAECF=12-2=10 （平方厘米）。例3两块等腰直角三角形的三角板，直角边分别是10厘米和6厘米。如右图那样重合.求重 合部分

4、（阴影部分）的面积。解：在等腰直角三角形ABC中VAB=10.S&wjxiox 10 = 50。又7Sc 二;S&犯c =；X 50 = 25,VEF=BF=AB-AF=10-6=4,Se=（x4X4 = 8，阴影部分面积=SABG-SBEF=25-8=17 （平方厘米）。例4如右图，A为 CDE的DE边上中点，BC=CD,若 ABC （阴影部分）面积为5平方厘米. 求 ABD及4 ACE的面积.解：取BD中点F,连结AF.因为AADF、 ABF和 ABC等底、等高，所以它们的面积相 等，都等于5平方厘米.所以4ACD的面积等于15平方厘米， ABD的面积等于10平方厘米。乂由

5、于4ACE与 ACD等底、等高，所以4ACE的面积是15平方厘米。例5如下页右上图，在正方形ABCD中，三角形ABE的面积是8平方厘 米，它是三角形DEC的面积的孑求正方形ABCD的面积.解：过E作BC的垂线交AD于F。在矩形ABEF中AE是对角线，所以SZABE=SZiAEF=8.在矩形CDFE中DE是对角线，所以 SAECD=SAEDFo4因此，正方形面积= 3X2 + 8-弓X2 = 36 （平方厘米）。例6如右图,已知：sAabc=i,9AE=ED, BD=.BC,求阴影部分的面积.解：连结DF。VAE=ED,asAaef=sAdef： sAabe=sAbed,2 S"EFD

6、 二 gS&BCF 二 W （l-SaABF），, , $4也二 W （1-5&AB：F）， 6.ABF - y* 阴影部分面积为|_。例7如下页右上图，正方形ABCD的边长是4厘米，CG=3厘米，矩形DEFG的长DG为5厘 米，求它的宽DE等于多少厘米解：连结AG,自A作AH垂直于DG于H,在4ADG中，AD=4, DC=4 （AD上的高）.A Saagd=4 X 4 4- 2=8 乂 DG=5,* Saagd=AH X DG + 2,AAH=8X2H-5=（厘米），/. DE=（厘米）。例8如右图，梯形ABCD的面积是45平方米，高6米， AED的面积是5平方米，BC=10

7、米, 求阴影部分面积.解：梯形面积=（上底+下底）X高小2即 45= (AD+BC) x6H-2,45= (AD+10) x62,AAD=45X24-6-10=5 米。又，处区二彦乂他乂高,即5 = 高,A AADE的高是2米。 EBC的高等于梯形的高减去 ADE的高，即6-2=4米，-sec=1xbc><4=1><io><4=20 （平方米）。例9如右图，四边形ABCD和DEFG都是平行四边形，证明它们的面积相等.证明：连结CE, 2OABCD的面积等于 CDE面积的2倍，而 QdEFG的面积也是 CDE 面积的2倍。，Qabcd的面积与 Qdefg的面积

8、相等。习题一一、填空题（求下列各图中阴影部分的面积）:二、解答题：1 .如右图，ABCD为长方形，AB=10厘米，BC=6厘米，E、F分别为AB、AD中点，且FG=2GE. 求阴影部分面积。2 .如右图，正方形ABCD与正方形DEFG的边长分别为12厘米和6厘米.求四边形CMGN （阴影部分）的面积.3 .如右图，正方形ABCD的边长为5厘米，4CEF的面积比 ADF的面积大5平方厘米. 求CE的长。4 .如右图，已知CF=2DF, DE=EA,三角形BCF的面积为2,四边形BEDF的面积为4.求三 角形ABE的面积.5 .如右图，直角梯形ABCD的上底BC=10厘米，下底AD=14厘米，高C

9、D = 5厘米.乂三角 形ABF、三角形BCE和四边形BEDF的面积相等。求三角形DEF的面积.6 .如右图，四个一样大的长方形和一个小的正方形拼成一个大正方形，其中大、小正方形 的面积分别是64平方米和9平方米.求长方形的长、宽各是多少7 .如右图，有一三角形纸片沿虚线折叠得到右下图，它的面积与原三角形面积之比为2： 3,已知阴影部分的面积为5平方厘米,求原三角形面积.8 .如右图，OABCD的边长BC=10,直角三角形BCE的直角边EC长8,已知阴影部分的 面积比 EFG的面积大10.求CF的长.B习题一解答一、填空题：&50；484©14 4-；拆©3；iy3

10、43不9.6；-.45二、解答题：1. 75平方厘米.连结CF,可知，$g=!5江百如右图，由于 S&CEF = '长方的ABCD 一 $&皿 - ,&BCE 一 ；,ACDF= 60-37.5= 22.5 （平方厘米），所以 SACEG=|siCO = lx 22.5 = 7.5 （平方厘米）.2.72平方厘米.如右图，在4BCG中，SACHe=SiBCG-SABCtt =!义（12 + 6）乂 12!乂12义12 = 1。8 72 = 36 （平方厘米）.乙乙在CFG中，鼠mg = cfg$加皿=54-18 = 36（平方厘米）.%必修CM&N 二

11、,ACNG +S&CMG = 36 + 36 = 72 1平方厘米）3. CE=7厘米.提示： ABE的面积等于5X5 +5 = 30也等于1（5%BE）.可求出BE=12.所以CE=BE-5=7厘米.4. 3.提示:加辅助线BD5. 3平方厘米.如右图，入肩克=；梯形面积=；乂 Q0 + "） X5+2 = ；X60 = 20, S&bce= JbCXCE.J乙 CE=4, DE=CD-CE=5-4=lo同理 AF=8, DF=AD-AF=14-8=6, y：DFXDE = ）X6Xl = 3 （平方厘米）。6 .如右图，大正方形边长等于长方形的长与宽的和.中间小正

12、方形的边长等于长方形的长 与宽的塞而大、小正方形的边长分别是8米和3米，所以长方形的宽为（8-3）及=（米），长 方形的长为=（米）.7 . 15平方厘米.解：如右图，设折叠后重合部分的面积为x平方厘米, 则：原三角形面积为（2义+5）平方厘米，依题意：擀2=1，解得22 + 5 3x=5.所以原三角形的面积为2X5+5=15平方厘米.金、%|8.如右图，解：设CF=m厘米则S0ABed = 10巩，又$视比=xiONg 乙= 40,，阴影部分面积是：10X-40 + SAGEF由题意：SZGEF + 10=阴影部分面积，.10x-40=10, x = 5 （厘米）.第五讲同余的概念和性质你会

13、解答下面的问题吗问题1：今天是星期日，再过15天就是六一儿童节了，问“六一儿童节是星期儿这个问题并不难答.因为，一个星期有7天，而15 + 7=21,即15 = 7X2+1,所以“六一 儿童节是星期一。问题2： 1993年的元旦是星期五，1994年的元旦是星期几<这个问题也难不倒我们.因为，1993年有365天，而365=7X52+1,所以1994年的元旦 应该是星期六。问题1、2的实质是求用7去除某一总的天数后所得的余数.在日常生活中，时常要注意两 个整数用某一固定的自然数去除，所得的余数问题.这样就产生了同余的概念.如问题1、2 中的15与365除以7后，余数都是1,那么我们就说15

14、与365对于模7同余。同余定义：若两个整数a、b被自然数m除有相同的余数，那么称a、b对于模m同余， 用式子表示为：a = b （modm） . （* ）上式可读作：a同余于b,模mo同余式（*）意味着（我们假设a2b）：a-b=mk, k 是整数，即 m I (a-b).例如： 15三365 (mod7),因为 365-15=350=7X50。56三20 (mod9),因为 56-20=36 = 9X4。90三0 (modlO),因为 90-0 = 90=10X9。由例我们得到启发，a可被m整除，可用同余式表示为：a=0 (modm)o例如，表示a是一个偶数，可以写a=0 (mod 2)表示

15、b是一个奇数，可以写b = l (mod 2)补充定义：若m+ (a-b),就说a、b对模m不同余，用式子表示是：a壬b (modm)我们书写同余式的方式，使我们想起等式，而事实上，同余式与等式在其性质上相似.同 余式有如下一些性质(其中a、b、c、d是整数，而m是自然数)。性质1： a=a (modm),(反身性)这个性质很显然.因为a-a=0=m 0。性质2：若a三b (mod m),那么b三a (modm),(对称性)。性质 3：若 a三b (mod m), b=c (mod m),那么 a三c (mod m),(传递性)。性质 4：若 a三b (mod m), c=d (mod m),

16、那么 a±c三b±d (mod m),(可加减性)。性质 5：若 a三b (mod m), c=d (mod m),那么 ac三bd (mod m)(可乘性)。性质6：若a三b (mod m),那么三3 (mod m),(其中n为自然数)。性质7：若 ac三be (mod m), (c, m) =1, 那么 a三b (mod m),(记号(c, m)表示 c与m的最大公约数)。注意同余式性质7的条件(c, m) =1,否则像普通等式一样，两边约去，就是错的。例如 6三 10 (mod4),而 3卢5 (mod4),因为(2, 4)工1。请你自己举些例子验证上面的性质。同余是

17、研究自然数的性质的基本概念，是可除性的符号语言。例1判定288和214对于模37是否同余，74与20呢解：V 288-214=74=37X20A288=214 (mod37)oV 74-20=54,而 37* 54, 7420 (mod37)o例2求乘积418X814X1616除以13所得的余数。分析若先求乘积，再求余数，计算量太大.利用同余的性质可以使大数化小，减少计算量。解：V418=2 (modl3),814=8 (modl3), 1616=4 (modl3),< 根据同余的性质5可得：418X814X1616三2X8X4三64三 12 (modl3)o答：乘积418X814X16

18、16除以13余数是12。例3求14389除以7的余数。分析同余的性质能使“大数化小”，凡求大数的余数问题首先考虑用同余的性质化大为小.这 道题先把底数在同余意义下变小，然后从低次塞入手，重复平方，找找有什么规律。解法1： 143-3 (mod7) 14389三389 (mod 7)789 = 64+16+8+1而 32=2 (mod 7),但 =2 + 34-3 + 8 = 7 (mod 9)o38三 16三2 (mod 7),316=4 (mod 7),332三 16三2 (mod 7),3y4 (mod 7)o 3的三3” 316 38 3三4X4X2X3三5 (mod 7), 14389

19、三5 (mod 7)。答：14389除以7的余数是5。解法2：证得14389三389 (mod 7)后，36三32x34三2X4三 1 (mod 7),.3弘三(36) 14三 1 (mod 7)。 3的三3s4 34 3三 1X4X3三5 (mod 7)。 14389三5 (mod 7)o例4四盏灯如图所示组成舞台彩灯，且每30秒钟灯的颜色改变一次，第一次上下两灯互换颜 色，笫二次左右两灯互换颜色，第三次乂上下两灯互换颜色，这样一直进行下去.请问开 灯1小时四盏灯的颜色如何排列红圜开局1=1秒 30秒O蓝红刀分析 与解答经观察试验我们可以发现，每经过4次互换，四盏灯的颜色排列重复一次，而1

20、小时=60分钟=120X30秒，所以这道题实质是求120除以4的余数，因为120三0 (mod 4), 所以开灯1小时四盏灯的颜色排列刚好同一开始一样。例5设自然数N=anan.l如前，其中如、药、，/分别是个位，十位，上的数码，再设M=aO + al + an,求证：N = M (mod 9)o分析 首先把整数N改写成关于10的幕的形式，然后利用10三1 (mod9)o证明：: ' =,n个U t产-1-0 ,J0 .= aRX 100 0+4_【x二，X 电十 Jt X 电-+/X 10+a0义: 1 = 1 (mod 9),10=1 (mod 9),102=1 (mod 9),1

21、0n三 1 (mod 9),上面这些同余式两边分别同乘以a。、a、a?、an,再相加得：a()+ aiX 10+a2 X 102+*+an X 10n三ao+ai+a2+ + an (mod 9),即 N = M (mod 9).这道例题证明了十进制数的一个特有的性质：任何一个整数模9同余于它的各数位上数字之和。以后我们求一个整数被9除的余数，只要先计算这个整数各数位上数字之和，再求这个 和被9除的余数即可。例如，求1827496被9除的余数，只要先求(1+8 + 2 + 7 + 4 + 9 + 6),再求和被9除的余 数。再观察一下上面求和式.我们可以发现，和不一定要求出.因为和式中1 +

22、8, 2+7, 9被9 除都余0,求余数时可不予考虑.这样只需求4 + 6被9除的余数.因此，1827496被9除余数是 lo有人时常利用十进制数的这个特性检验几个数相加、相减、相乘的结果对不对，这种检 查方法叫：弃九法。弃九法最经常地是用于乘法.我们来看一个例子。用弃九法检验乘式5483X9117三是否正确因为 5483 = 5+4+8 + 3 = 11 = 2 (mod 9),9117=9 + 1 + 1 + 7=0 (mod 9),所以 5483X9117三2X0三。(mod 9)。但是 三4+9 + 8+8+8 + 5+1+1 ¥=8 (mod9),所以5483义9117W,

23、即乘积不正确。要注意的是弃九法只能知道原题错误或有可能正确，但不能保证一定正确。例如，9875=9 + 8+7+5 = 2 (mod 9),4873三4 + 8 + 7 + 3三4 (mod9),= 3+2+4+74-5+6+8+9=8 (mod 9),这时，9875X4873三2X4三(mod 9)。但观察个位数字立刻可以判定9875X4873W.因为末位数字5和3相乘不可能等于9。弃九法也可以用来检验除法和乘方的结果。<例6用弃九法检验下面的计算是否正确： 7312 = 3544,解：把除式转化为：3544X7312 = 03544 = 3 + 5+4+4=7 (mod 9),731

24、2三7 + 3 + 1 + 2三4 (mod 9),/. 3544X7312三7X4三 1 (mod 9),而 1 卢7 (mod 9)/ 3544 X 7312 W,A即 +7312W3544。例7求自然数2100 + 3101+4102的个位数字。分析 求自然数的个位数字即是求这个自然数除以10的余数问题。解：V2100=24X25=625=6 (mod 10),3101 = 34-25 31三 125 31三3 (mod 10),41。2三(22) wo . 42三6 6三6 (mod 10),.2侬+3侬+41°2三6 + 3 + 6三5 (mod 10),即自然数210&#

25、176;+3】。1+4m的个位数字是5.习题五1 .验证对于任意整数a、b,式子a三b (modi)成立，并说出它的含义。(2 .已知自然数a、b、c,其中c23, a除以c余1, b除以c余2,则ab除以c余多少年的六月一日是星期二，这一年的十月一日是星期几4 .求+被7除的余数。5 .所有自然数如下图排列.问300位于哪个字母下面A B C D E F G2347 658 9 10 1114 13 1215 16L993 个 16.111数，被13除余多少(提示：先试除，可知而1993三1 (mod 6)07 ,用弃九法检验下面运算是否正确:845X372=315340；12345X678

26、91=5； 13 28997 = 39459。8.求1993，°°的个位数字.习题五解答1 .例：l|a-b, 2=3 (mod 1), 7=15 (mod 1),式子 a三b (mod 1)的含义是：任意整 数a、b对模1同余.整数是模1的同余类。2,解：a = l (mod c), b = 2 (mod c),.ab = 2 (mod c)即ab除以c余2。年的十月一日是星期五。4解:3333三 1 (mod 7),e =1 (mod 7)o义: 5555三4 (mod 7),/. =43333 (mod 7)o而 43=1 (mod 7),43333三(43)hii=

27、 1 (mod 7),/ +=1+1 = 2 (mod 7),即+被7除余2。5 .解：300=6 (mod7)o/ 300与6在同一列，在D下面。6 .答：余lo7 .不正确;不正确;第四讲最大公约数和最小公倍数本讲重点解决与最大公约数和最小公倍数有关的另一类问题一一有关两个自然数.它们的 最大公约数、最小公倍数之间的相互关系的问题。定理1两个自然数分别除以它们的最大公约数，所得的商互质.即如果（a, b） =d,那么 （a 4- d, b-r d） =1。证明：设 a+d=ai, b-rd=bi> 那么 a = aid, b=bid。假设（a1，bi） Wl,可设（a，bi） =m

28、（m>l）,于是有 ai=a2m, bi=b2m. （a2» b?是整 数）7天以 a=aid = a2md, b = bid = b2md°那么md是a、b的公约数。又一 m>l, md>d =这就与d是a、b的最大公约数相矛盾.因此，（ai, bj W1的假设是不正确的.所以只能 是（a, bi） =1,也就是（aid, b + d） =1。定理2两个数的最小公倍数与最大公约数的乘积等于这两个数的乘积.（证明略）定理3两个数的公约数一定是这两个数的最大公约数的约数.（证明略）下面我们就应用这些知识来解决一些具体的问题。例1甲数是36,甲、乙两数的最大公

29、约数是4,最小公倍数是288,求乙数.解法1：由甲数x乙数=甲、乙两数的最大公约数x两数的最小公倍数，可得36X 乙数=4X288,乙数=4X288 36,解出乙数=32。答：乙数是32。解法2：因为甲、乙两数的最大公约数为4,则甲数=4X9,设乙数=4Xb“且(b，9) =lo因为甲、乙两数的最小公倍数是288,则 288 = 4X9Xb】，b1 = 288 36,解一出 bi 8o所以，乙数=4X8=32。答：乙数是32。例2已知两数的最大公约数是21,最小公倍数是126,求这两个数的和是多少解：要求这两个数的和，我们可先求出这两个数各是多少.设这两个数为a、b, a<bo因为这两个

30、数的最大公约数是21,故设a=21ai, b = 21bi,且(ai, bi) =1。因为这两个数的最小公倍数是126,所以 126=21 XaiX bi,于是a】Xbk6,解出% 二 2瓦二3.a= 21X1= 21,a=21X2 = 42b = 21X6=126,21X3 = 63.因此,这两个数的和为21 + 126=147,或42 + 63=105。答：这两个数的和为147或105。例3已知两个自然数的和是50,它们的最大公约数是5,求这两个自然数。解:设这两个自然数分别为a与b,aVb.因为这两个自然数的最大公约数是5,故设a=5ai, b=5bi, J L（ Sit bi） =1,

31、 ai<bi<>因为 a + b=50,所以有 5ai+5bi=50,ai+bi=10 o满足（a，bx） =1, a】Vbl的解有:卜1 = 1， fal = 5 |bl=9, bl = 7.所以a=5Xl=55=5X9 = 45a = 5X3=15b=5X7 = 35答：这两个数为5与45或15与35。例4已知两个自然数的积为240,最小公倍数为60,求这两个数。解：设这两个数为a与b, aVb,且设（a, b） =d, a = dai, b = dbi,其中（a= bi）= lo因为两个自然数的积=两数的最大公约数x两数的最小公倍数,所以240=dX60,解出d = 4

32、,所以a=4ai? b=4bi.因为a与b的最小公倍数为60,所以 4XaiXbi = 60,于是有aiXbi=15o解出 k-K 1b1-5Ibj -15 Ibj 5©所以户 4X1 = 4 a = 4X3=12答：这两个数为4与60或12与20。例5已知两个自然数的和为54,它们的最小公倍数与最大公约数的差为114,求这两个自然 数。解：设这两个自然数分别为a与b, a<b, (a, b) =d, a = dai, b = db，其中(a° b1)=1。因为 a+b = 54,所以 dai+dbi=54o于是有dX (ai+bi) =54,因此，d是54的约数。乂

33、因为这两个数的最小公倍数与最大公约数的差为114,所以 da1b1-d=114,于是有 dX (aibi-1) =114,因此，d是114的约数。故d为54与114的公约数。由于(54, 114) =6, 6的约数有：1、2、3、6,根据定理3, d可能取1、2、3、6这 四个值。如果 d = l,由 dX (ai+bi) =54,有 a1 + bk54； 乂由 dX (a1bl) =114,有 aibi=115。115=1X115=5X23,但是 1 + 115=116*54, 5 + 23=2854,所以 dWl. 如果 d = 2,由 dX (ai+bi) =54,有 aM=27；又由

34、dX (aibi-1) =114,有 ab=58。58 = 1X58 = 2X29,但是 1 + 58 = 59工27, 2+29 = 3127,所以 dW2。如果 d=3,由 dX (ai+bi) =54,有 ai+b1=18；又由 dX (a1bl) =114,有 ab=39°39 = 1X39 = 3X13,但是 l + 39 = 40W18, 3 + 13 = 16718,所以 dW3。如果 d=6,由 dX (ai + bi) =54,有 ai+bi=9； 乂由 dX (aibi-1) =114,有 aibi=20。20表示成两个互质数的乘积有两种形式：20=1X20 =

35、4X5,虽然1 + 20=21=9,但是有 4 + 5 = 9,所以取d = 6是合适的，并有al=4, bl = 5。a = 6X4 = 24, b = 6X5 = 30。答：这两个数为24和30。例6已知两个自然数的差为4,它们的最大公约数与最小公倍数的积为252,求这两个自然数。解：设这两个自然数分别为a与b,且a>b, a = dai, b=dbi, (ax, bj =1。因为a-b=4,所以dai-dbi=4,于是有dX (ai-bi) =4,因此d为4的约数。因为这两个自然数的最大公约数与最小公倍数的积为252,所以dXdab=252,于是有 d2Xaibi= (2X3) 2

36、X7,因此 d 为 2X3 的约数。故d为4与2X3的公约数。由于(4, 2X3) =2, 2的约数有1和2两个，所以d可能取1、2这两个值。如果 d=l,由 dX (ai-bi) =4,有 ab1=4；又由如Xadh=252,有 a1b尸252。252表示成两个互质数的乘积有4种形式：252=1X252=4X63=7X36 = 9X28,但是252-1 = 251 关4, 63-4 = 59W4, 36-7=29W4, 28-9 = 194,所以 dWl0如果 d=2,由 dX (ai-bj =4,有 ab1=2；又由如Xah=252,有 ab=63。63表示为两个互质数的乘积有两种形式：6

37、3 = 1X63=7X9,但63-l = 62W2,而9-7 = 2, 且(9, 7) =1,所以 d=2,并且 a，=9, b】=7。因此 a=2X9 = 18, b = 2X7 = 14。答：这两个数为18和14。在例2例5的解答中之所以可以在假设中排除a=b这种情形(在各例中都只假设了 a< b),分别是由于：例2和例5,若a = b,则(a, b) =a, b = a,与条件(a, b)工b矛 盾；例 3,若2=> 则 a = b= (a, b) =5,因此 a + b = 10W50,与条件矛盾；例 4, aXb=240 不是平方数。从例题的解答中可以看出，在处理涉及两数

38、的最大公约数或者最小公倍数的很多问题中， 经常用到的基本关系是：若两数为a、b,那么a=a1d, b = bid,其中d= (a, b), (ai, bi)= 1,因此b=dah,有时为了确定起见,可设aWb.对于很多情形,可以排除a=b的情形(如 上述所示)，而只假设a<b.习题四1 .已知某数与24的最大公约数为4,最小公倍数为168,求此数。2 .已知两个自然数的最大公约数为4,最小公倍数为120,求这两个数。3 .已知两个自然数的和为165,它们的最大公约数为15,求这两个数。4 .已知两个自然数的差为48,它们的最小公倍数为60,求这两个数。5 .已知两个自然数的差为30,它们

39、的最小公倍数与最大公约数的差为450,求这两个自然 数。6 .已知两个自然数的平方和为900,它们的最大公约数与最小公倍数的乘积为432,求这 两个自然数.习题四解答I7 .此数为28o8 .这两个数为4与120,或8与60,或12与40,或20与24。9 .所求的两个数为15与150,或30与135,或45与120,或60与105,或75与90。10 所求的两个数为60与12o11 所求的两个数为41与11,或65与35。12 解：设所求的两个自然数为 a、b,且 aVb, a=dai, b=dbi, (ai, bi) =1, ai<bio由所给的条件得到d2X (aj + b?) =

40、 900, Ma也尸432。两式相除得a： + £ _ 900 _ 25a1b1 - 432 -72'2所以 12X (aj+by) =25%瓦。由于（12, 25） =1,所以（a；+b；） | 25, aibL I 12o因此 ai=3, bi=4o代入 d2X Q； + b；） =900,得 d = 6o所以 a=18, b=24o经检验，18、24为所求。答：这两个自然数为18与24.第八讲时钟问题时钟问题是研究钟面上时针和分针关系的问题.钟面的一周分为60当分针走60格时，时针正好走潴.所以时针的速度是分针的5十60=3.分格.12针每走60+ （1-4）=6金（分

41、）,与时针重合一次.时钟问题变化多端， 6011也存在着不少的学问.这里列出一个基本公式：在初始时刻需追赶的格数Q_4）=追及时间（分钟），其中，为分针每分钟比时针多走的.IN格数。例1现在是3点，什么时候时针与分针第一次重合分析3点时分针指12,时针指3.分针在时针后5X3 = 15 （个）每分钟分针比时针多走格.要使分针与时针重合，即使分针比时针格.6°多走15格，耦1A （14）=16（分钟）.所以，所求的时刻应为3点165分。e1 乙JL JL1 1解 3 （1-1）=14 （分钟）JL 乙1 1答：所求的时刻应为3点吟分。例2在10点与11点之间，钟面上时针和分针在什么时刻

42、垂直分析分两种情况进行讨论。在顺时针方向上分针与时针成270°角：在顺时针方向上当分针与时针成270°时，分针落后时针60X （270 + 360） =45 （个）格, 而在10点整时分针落后时针5X 10=50（个）格.因此,在这段时间内，分针要比时针多走50-45=5 （个）格，而每分钟分针比时针多走（1-襄）个格，因此由基本公式，到达这一时刻所用的时间为：A （1$）二4（分钟）。 JL 乙L L在顺时针方向上分针与时针成90°角：在顺时针方向上当分针与时针成90°角时，分针落后时针60X （90 + 360） =15 （个）格, 而在10点整时分

43、针落后时针5X10=50 （个）格，因此在这段时间内，分针要比时针多走 50-15=35 （个）格，所以到达这一时刻所用的时间为：35- （1-1） =3*（分钟）。141 X解：在顺时针方向上当分针与时针成2700角时:5X10-60X（270- 360）尸（1$） =5工（分钟）。 乙1 1在顺时针方向上当分针与时针成90。角时：125X10-60X（90 + 360）尸 C1-） =38-（分钟）。1乙1 1管：所求时刻为10点4分和10点3哈分。例3在9点与10点之间的什么时刻，分针与时针在一条直线上分析分两种情况进行讨论。分针与时针的夹角为180°角:当分针与时针的夹角为1

44、80。角时，分针落后时针60义（1804-360） =30 （个）格，而在 9点整时，分针落后时针5X9=45 （个）格.因此，在这段时间内分针要比时针多走45-30=15 （个）格，而每分钟分针比时针多走（1-焉）个格，因此，到达这一时刻所用的时间为：15十（1-得）=161（分钟）。分针与时针的夹角为0° ,即分针与时针重合：9点整时，分针落后时针5义9=45 （个）格，而当分针与时针重合时，分针要比时针多走 45个格，因此到达这一时刻所用的时间为：45 + （1-口 = 4 9 （分钟） JL 乙1 1解：当分针与时针的夹角为180°角时：5X 9 -60X （180

45、-360）-（1） = 16-（分钟）。当分针与时针的夹角为0°即分针与时针重合时:=49：（分钟）。 JL UL L管：所求时刻为9点16彳分和9点49 J分。例4小明在7点与8点之间解了一道题，开始时分针与时针正好成一条直线，解完题时两针 正好重合，小明解题的起始时间小明解题共用了多少时间分析要求小明解题共用了多少时间，必须先求出小明解题开始时是什么时刻，解完题时 是什么时刻。小明开始解题时的时刻：因为小明开始解题时，分针与时针正好成一条直线，也就是分针与时针的夹角为180° , 此时分针落后时针60X （1804-360） =30 （个）格，而7点整时分针落后时针5X

46、7 = 35 （个） 格，因此在这段时间内分针要比时 针多走35-30 = 5 （个）格，则这一段时间为） = 9 （分钟）所. 以小明开始解题时是7点彳分。小明解题结束时的时刻：因为小明解题结束时，两针正好重合，那么从7点整到这一时刻分针要 比时针多走5X7 = 35（个）格，因此这一段时间为：兜得（分2钟）.所以小明解题结束时是7点382分。这样小明解题所用的时间就可以求出来了。解：先求小明开始解题的时刻:5X7-60X （180-360）-=喘（分钟），所以小明开 JL 11 1始解题时是7点分。再求小明结束解题的时刻：5'”（1-；）分钟），所以小明结束解题时是7点3米分 1

47、Lt111 1.最后求小明解题所用的时间：7点34分7点4分=321f （分钟）答：小明解题共用了 32得分钟。例5 一只钟的时针与分针均指在4与6之间，且钟面上的“5”字恰好在时针与分针的正中央, 问这时是什么时刻分析由于现在可以是4点多，也可以是5点多，所以分两种情况进行讨论：先设此时是4点多：4点整时，时针指4,分针指12.从4点整到现在5在时针与分针的正中央，分针走的格 数多于25,少于30,时针走不足5格.由于5到分针的格数等于5到时针的格数，所以时针与 分针在这段时间内共走30格.又由于时针的速度是分针的白，所以从4点整到上图（a）钟面上这种状态共用了：30十（1 + ）=27*

48、（分钟），所以这时是4点27分。再设此时是5点多:5点整时，时针指5,分针指12.从5点整到现在5在时针与分针的正中央，分针走的格 数多于20格少于25格，时针走的格数不足5格，由于5到分针的格数等于5到时针的格数, 所以时针与分针在这段时间内共走25格.因此，从5点整到上页图（b）钟面上这种状态共用了25- （1 +/）=23"（分钟）。1.乙1 J所以此时是5点23,分。解：如果此时是4点多，则从4点整到上页图（a）钟面上这种状态共用：30- （1+白）=27, C分钟）。 Id1 J如果此时是5点多，则从5点整到上页图（b）钟面上这种状态共用：25- （1 + 得）=23

49、9;（分钟）。 1乙1 J因此，这时可以是4点2片分，也可以是5点231分。例6 一只旧钟的分钟和时针每65分钟（标准时间的65分钟）重合一次.问这只旧钟一天（标 准时间24小时）慢或快儿分钟分析前面已知标准钟每65卷标准分钟时针、分针重合一次.旧钟每55分钟重合一次，显然旧钟快.本题的难点在于从旧钟两针的重合所耗用的65标准分钟推算出旧 钟时针或分针的旋转速度（每标准分钟旋转多少格），进而推算出旧钟的针24标准小时旋转 多少格，它与标准钟的针用24标准小时所走的格数的差就是旧钟钟面上显示的比标准钟快的 时间读数。设旧钟分针每标准分钟走w格.那幺，每走1格用工标准分钟.如用复合单位表示：旧钟分

50、针速度为x （格/标准分）.旧钟分针走60格时针走5格,时针速度总是分针的白，所以旧钟时针速度为得牙（格/标准分）.每次重合耗用65标准分钟，而且两次重合之间分针赶超了时针60格，列方程：60 +侬-同知=解此方科等中微=|g标准时间一天有60X24=1440标准分，一天内旧钟分针走的格数为：导当 X 60X 24.但是我们只须求出旧钟分针比标准钟分针多走了多少格，即 1JX 11减去144cl个（标准钟的）格，所以有匕6UK 24 -60X 241112x1213x11144 -143-1 x 60 x 24 = - “ x 60 x 24)13x1160x24 _ 10=1013x11143（旧钟格）。但读者一定明白，这10是只是旧钟上显示的多走的格数，也是旧钟的非 标准分钟数.并非标准的分钟数。解：设这只旧钟的分针用标准时间1分钟走X格，则旧钟的时针速度为，格/标准分。L乙根据旧钟的时针与分针每重合一次耗用65标准分钟，列方程得：60 (% -z) = 65f1乙14413x112.解：在2点整时，分针落后时针5X2 = 10 （个）