坐标系与参数方程

1、曲线的极坐标方程【知识网络】1. 曲线的极坐标方程的意义.2. 直线、圆和圆锥曲线的极坐标方程.【典型例题】例1.（1）化极坐标方程为直角坐标方程为 （C）A或 B C或 D 提示： （2）在平面直角坐标系中，以点为圆心，为半径的圆在以直角坐标系的原点为极点，以轴为极轴的极坐标系中对应的极坐标方程为 （A）A BC D提示：圆的直角坐标方程为，化为 极坐标方程为，曲线也过极点，与等价，对应的极坐标方程为.（3）极坐标方程表示的曲线为 （C）A一条射线和一个圆 B两条直线C一条直线和一个圆 D一个圆提示： 则或（4）极坐标方程分别为与的两个圆的圆心距为_. 提示:圆心分别为和（5）极坐标方程表示

2、的曲线是 . 双曲线 提示：等价于，.例2.设过原点的直线与圆的一个交点为，点为线段的中点，当点在圆上移动一周时，求点轨迹的极坐标方程，并说明它是什么曲线.解：圆的极坐标方程为，设点的极坐标为，点的极坐标为，点为线段的中点， ，将代入圆的极坐标方程，得. 点轨迹的极坐标方程为，它表示原心在点，半径为的圆.例3. 过抛物线的焦点作倾斜角为的直线，交抛物线于两点，求线段的长度.解：对此抛物线有，所以抛物线的极坐标方程为，两点的极坐标分别为和， ， .线段的长度为.例4. 长为的线段，其端点在轴和轴正方向上滑动，从原点作这条线段的垂线，垂足为，求点的轨迹的极坐标方程（轴为极轴），再化为直角坐标方程.

3、解：设线段的端点分别为且在轴正方向上， 在轴的正方向上，设点的极坐标为，则，且，点的轨迹的极坐标方程为.由可得， 其直角坐标方程为.高考资源网【课内练习】1.将极坐标方程化为直角坐标方程是（C）A B C D提示：.2.极坐标方程表示的曲线为 （D）A极点 B极轴 C一条直线 D两条相交直线 提示：，为两条相交直线3.圆的圆心坐标是 （A）A B C D 提示：圆的普通方程为，圆心为，半径为. .4. 两直线和的位置关系是（ ） A平行 B相交但不垂直 C垂直 D重合提示：的直角坐标方程为化为直角坐标方程为， 其斜率为，直线的斜率为，两直线互相垂直（时也成立）.5. 设曲线的普通方程为,则它的

4、极坐标方程为 . 提示：用代入即得.6.直线的极坐标方程为_. 提示：直线的极坐标方程为.7.设直线过极坐标系中的点,且平行于极轴,则它的极坐标方程为 .提示：在相应的直角坐标系中，直线的方程为.8.从极点作圆的弦,求各弦中点的轨迹方程.解:设所求曲线上的动点的极坐标为,圆上的动点的极坐标为由题设可知,将其代入圆的方程得:.所求的轨迹方程为.9.已知曲线的极坐标方程为，求此曲线的直角坐标方程，并讨论在不同范围内取值时，方程表示的曲线的类型（其中和为正的实常数）.解：方程写成，将和代入，得，即 ，两边平方，得整理得，.由上述方程可知，当时，方程表示双曲线；当时，方程表示抛物线；当时，方程表示椭圆

5、.10. 过椭圆的左焦点作直线，交椭圆于两点，证明：为定值.证明：椭圆方程可化为， ， 以椭圆的左焦点极点，轴正方向为极轴的方向建立极坐标系， 则椭圆的极坐标方程为.设点的极坐标为，则点的极坐标为，为定值.作业本1.将直角坐标方程化为极坐标方程时，极点和的值分别是（D）A坐标原点 B坐标原点 C焦点 D焦点 提示：由直角坐标方程知，根据圆锥曲线的极坐标方程建立的方法知，极点是圆锥曲线的焦点.2. 设曲线的极坐标方程为,则它表示的曲线是 （D）A圆心在点直径为的圆 B圆心在点直径为的圆C圆心在点直径为的圆 D圆心在点直径为的圆提示：曲线的直角坐标方程为，即.3.在极坐标系中与圆相切的一条直线的方

6、程为 （A）A B C D 提示：的普通方程为，的普通方程为 圆与直线显然相切4. 设曲线的极坐标方程为,则它的直角方程为 . 提示：与等价.5.设直线过极坐标系中的点,且垂直于极轴,则它的极坐标方程为 .6. 过抛物线的焦点作倾斜角为的直线，交抛物线于两点，求的值.解：抛物线中，.在以抛物线的焦点为极点，轴为极轴的极坐标系中，抛物线的极坐标方程为，设点的极坐标为，则点的极坐标为，则， 的值为.7. 一颗慧星的轨道是抛物线，太阳位于这条抛物线的焦点上.已知这慧星距太阳千米时，极半径和轨道的轴成角.求这颗慧星轨道的极坐标方程，并且求它的近日点离太阳的距离.解：以太阳的位置为极点，轨道的轴为极轴，

7、建立极坐标系，设轨道的极坐标方程为，因为时， ，轨道的极坐标方程为，当时，.这颗慧星轨道的极坐标方程为，它的近日点离太阳的距离为千米.8.从极点引一条直线和圆相交于一点，点分线段成比，求点在圆上移动时，点的轨迹方程，并指出它表示什么曲线.解：设点的极坐标分别为和，由题设知，将其代入圆的方程，得，整理得，高考资源网点的轨迹方程为，它表示一个圆.参数方程【知识网络】1. 参数方程的概念.2. 曲线的参数方程与普通方程的互化.3. 利用曲线的参数方程解决有关问题. 高考资源网【典型例题】例1.（1）3将参数方程为参数化为普通方程为 （C）A B C D 提示：将代入即可，但是. （2）参数方程为为参

8、数表示的曲线是 （D）A一条直线 B两条直线 C一条射线 D两条射线提示：表示一条平行于轴的直线，而，所以表示两条射线（3）直线为参数和圆交于两点，则的中点坐标为 （D）A B C D 提示：，得， 中点为（4）直线为参数的斜率为_. 提示：（5）抛物线（为参数）在轴上截得的弦长为 .提示：令，得.高考资源网当时，；当时，抛物线与轴交于点.例2.分别在下列两种情况下，把参数方程化为普通方程：（1）为参数，为常数；（2）为参数，为常数；解：（1）当时，即； 当时， 而，即（2）当时，即；当时，即；当时，得，即得即。高考资源网例3.求经过点倾斜角为的直线的参数方程. 高考资源网解：设点为直线上的任

9、意一点，过点作轴的平行线，过点作轴的平行线，两直线相交于点.规定直线向上的方向为正方向.当与同方向或重合时,因,由三角函数定义,有;当与反方向时, 同时改变符号,上式依然成立.设,取为参数, , 即,直线的参数方程为.例4.已知点是圆上的动点，（1）求的取值范围；（2）若恒成立，求实数的取值范围。解：（1）设圆的参数方程为，,即的取值范围为.（2） , 实数的取值范围为.【课内练习】1.与参数方程为为参数等价的普通方程为 （D）A B C D提示：而得2.若曲线的参数方程为（为参数），则曲线上的点的轨迹是 （D）A直线 B以为端点的射线 C圆 D以和为端点的线段提示：将曲线的参数方程化为普通方

10、程得3.曲线为参数与坐标轴的交点是 （B）A BC D提示：令，得，此时， 曲线与轴的交点为； 令，得，此时， 曲线与轴的交点为.4.直线为参数被圆所截得的弦长为 （C）A B C D提示：，把直线代入得，弦长为5.直线为参数恒过定点_. 提示：将参数方程化为乭方程得，当且时，此方程对于任何都成立，所以直线恒过定点.6. 直线为参数被圆截得的弦长为_.提示：直线为，圆心到直线的距离，弦长的一半为，得弦长为.7. 已知曲线为参数，为正常数上的两点对应的参数分别为和，且，那么=_. 提示：参数方程表示的曲线为抛物线，线段垂直于抛物线的对称轴， 8. 选取适当参数，把直线方程化为参数方程.解：选，则

11、， 由此得直线的参数方程为.也可选，则， 由此得直线的参数方程为.可见，曲线的参数方程随参数选取的不同而不同，同一条曲线可以有多种不同形式的参数方程.9.已知弹道曲线的参数方程为.（1）求发射角时，弹道曲线的普通方程和射程；（2）设是定值，可以变动，求证：当时射程最大.解：（1）发射角时，弹道曲线的参数方程为，由，得， 代入并化简，得.令，得或，可知射程为.弹道曲线的普通方程为，射程为.（2）证明：由弹道曲线的参数方程消去，得到它的普通方程为，由（1）知，射程为， ， ，当时射程最大，为.10.在椭圆上找一点，使这一点到直线的距离的最小值.解：设椭圆的参数方程为， 当，即时，此时所求点为.作业

12、本1.把方程化为以参数的参数方程是 （D）A B C D 提示：，可取一切非零实数，而A，B，C中的都取不到一切非零实数.2. 直线：与圆：（其中为参数）的位置关系是 （D）A相切 B相离 C直线过圆心 D相交但直线不过圆心提示：圆的普通方程为，圆心到直线的距离为.3.椭圆（为参数）的焦距为 （B）A B2 C D2提示：椭圆的普通方程为，椭圆可通过平移将其方程化为，.4.直线的参数方程为为参数，上的点对应的参数是，则点与之间的距离是 . 提示：距离为.5.直线与圆相切，则_. ，或提示：直线为，圆为，圆心为，由， 或，或.6. 动点作等速直线运动，它在轴和轴方向的分速度分别为和，运动开始时，点位于，求点的轨迹的参数方程.解：设动点运动的时间为，点的坐标为，由题设知，点的轨迹的参