不等式易错题分析

1、不等式易错题分析一、解一元二次不等式的易错题(一)、随意消项致误例题 1:解不等式；(x2 _4x+4)(x2 _4x + 3) 之0错解：原不等式可化为：(x -2)2(x-1)(x -3) .0解得：,(x-2)2 _0,. (x-1)(x-3)_0所以x :=3或x <1原不等式的解集为：仁|乂_3或乂 <1?剖析：错误是由于随意消项造成的,事实上,当 (x-2)2=0时,原不等式亦成立正解：原不等式可化为：x-2/0且(x-1)(x-3)20或(x-2)=0解得x _3或x M1或x=2所以原不等式的解集为：x|x乂£1或乂=2)(二)、函数不清致误例题2:函数y

2、 = (m2+4m-5)x2+4(1-m)x+3的图像者B在x轴的下方,求实数 m 的取值范围.错解：,依题意,对xWR,y0恒成立,于是函数的图像开口方向向上,且图像与 x轴2无交点.故m 4m -5 0-4(1 - m) I - 4_3(m4m - 5) : 0解得 1 :二 m ： 19即所求m的取值范围为1 :二m ： 19剖析：题设中的函数未必时二次函数,也就是说缺少对 m2+4m-5是否为0的讨论正解：当m2+4m5#0时,同上述解答有1<m<19,假设 m2+4m5=0 时,贝 m=1 或 m=5假设m=1,那么函数化为y=3,那么对xWR,y0包成立;假设m=5那么

3、函数化为y=24x+3,对xWR,y>0不包成立,故此情形舍去所以m的取值范围为1 Mm 19(三)、漏端点致误例题3:集合A=x|x2x2M0,B = x|a<a + 3,且ACB=® ,那么实数a的取值范围是错解：A=x|x2 -x-2<0? - x|-1<x<2;假设使Ap|B=©,需满足a >2或a+3<-1,解得a>2或a<-4,所以实数a的取值范围是a >2或a < 4剖析：上面的解法错误原因在于无视了集合 A = x|-19xW2的两个端点值-1和2,其实当a =2时B =x|2<x<

4、;5,满足AB =4；当a+3 = -1时,即a=-4时也满足aAb =弧正解：A = x|x2x_2W0 = x|1ExM2假设使 Ap|B = e ,需满足 a 至 2或 a+3E1,解得a之2或a M-4,所以实数a的取值范围是a之2或a M-4.(四)、条件非充要致误例题4:假设方程x2+(m-2)+5-m = 0的两根均大于2,求实数m的取值范围.主0P(m-2)2-(5 -m)>0错解：设两根为x1,x2,那么有题意可得：,x+xzA4n,2-m>4x1l_x2 >45 -m >4解得m - -4剖析：错在x1 x2 >4且x1|_x2 A4与x1 &

5、gt;2且x2>2不等价,事实上,由后者可以推出前 者,但是由前者却推不出后者.2：-0(m-2) -(5-m) -0正解：设两根为x1,x2,那么有题意可得：,(x1-2)+(x2-2) >0= J2-m>4(x1 -2)L(x2 -2)>05+mA 4解得-5 :二 m - -4二根本不等式的易错题(一)、无视条件一一正数1例题5:x,yuR,且x+y=1,求证xy W 一4错解：由根本不等式得x y -2 xy剖析：公式x + y之2M 的使用的前提条件时x,y均为正数,错解无视了这个前提条件正解：1 = (x y)2 = x2 y2 2xy _ 2xy 2xy当

6、且仅当(二)无视条件x=y时取“二一定值例题:6 :假设睚0,i ,22,2熹+"的最小值.22错解：f(7l) =- _2cos* sin*a： 一口 b2cos 1 sin212absincos12当且仅当靠此时一2ab4absinicosisin2i盘b2)1 tan2 丁即f(6)讪=2(a2 +b2)剖析：使用根本不等式求函数的最值时,需验证“一正二定三相等的条件,上述解法违背了第二条“二定值要求日W(0;内的任意一个值时不等式的右2边均为定值.22正解：“袅产 当且仅当a2tand借,即当tane所以f(8)的最小值为(a+b)2(三)、无视条件三一1、无视等号是否成立相

7、等x2 5例题7:求函数y=?=上的最小值.x2 4错解：函数x2 5x2 4 1X . x2 4x2 4=. x2 4- 2x2 4所以函数的最小值为2剖析：使用根本不等式求函数的最值时,一定验证等号成立的条件即a+b22闻,只有a =b才能取等号.上述解法在等号成立时,在实数范围内是不 成立的.22正解:x 5 x 4 1-21y = x 4 一x2 4x2 4x2 4y=t+l在t之2时是单调递增的, t故函数的最小值是522、屡次使用,无视等号是否同时成立例题8:两个正实数x,y,满足x + y = 4,求二十£的最小值 x y错解：由得4 = x , y _ 2、. xy. xy _ 4所以1心最小值是2x y剖析：上述解法中两次使用根本不等式,其中xyw4等号成立必须满足x=y,而1 +4 >2 F的等号成立时,必须有4x = y ,由于均为正数,所