直线与平面、平面与平面的相对位置

1、13.1.1 3.1.1 直线与平面平行直线与平面平行 若平面外的一条直线与平面内的一条直线平行，则该直线与该平面平行。PCDBA2例例1 试判断直线试判断直线AB是否平行于平面是否平行于平面 CDE。fgfgbaabcededc结论：直线结论：直线ABAB不平行于定平面不平行于定平面XO3例例2 过点过点K作一水平线作一水平线AB平行于已知平面平行于已知平面 CDE。b a af fbc e d edk kcXO43.1.2 3.1.2 平面与平面平行平面与平面平行 若平面内的两相交直线对应地平行于另一平面内的两相交若平面内的两相交直线对应地平行于另一平面内的两相交直线，则这两个平面平行。直

2、线，则这两个平面平行。PSEFDACB5f e d edfc a acb bm n mnr rss 结论：两平面平行结论：两平面平行XO例例3 3 试判断两平面是否平行试判断两平面是否平行6例例4 已知定平面由平行两直线已知定平面由平行两直线AB和和CD给定。试过点给定。试过点K作作一平面平行于已知平面一平面平行于已知平面 。em n mnf e fsr s rd dc a acb bk kXO7例例5 5 试判断两平面是否平行试判断两平面是否平行结论：两平面平行结论：两平面平行ef e fsr s d dc a acb brPHSHXO83.2 相交问题相交问题3.2.1 积聚性法积聚性法3

3、.2.2 辅助平面法辅助平面法9交点与交线的性质交点与交线的性质 直线与平面、平面与平面不平行则必相交。直线与平面直线与平面、平面与平面不平行则必相交。直线与平面相交有相交有交点交点，交点既在直线上又在平面上，因而交点是直线，交点既在直线上又在平面上，因而交点是直线与平面的共有点。两平面的与平面的共有点。两平面的交线交线是直线，它是两个平面的共是直线，它是两个平面的共有线。求线与面交点、面与面交线的实质是求共有点、共有有线。求线与面交点、面与面交线的实质是求共有点、共有线的投影。线的投影。 PABKDBCALKEF103.2.1 3.2.1 积聚性法积聚性法 当直线为一般位置，平面的某个投影具

4、有积聚性时，交当直线为一般位置，平面的某个投影具有积聚性时，交点的一个投影为直线与平面积聚性投影的交点，另一个投影点的一个投影为直线与平面积聚性投影的交点，另一个投影可在直线的另一个投影上找到。可在直线的另一个投影上找到。VHPHPABCacbkNKM11直线可见性的判别b ba acc m mn k n 特殊位置线面相交，根据平面的积聚性投影能直接特殊位置线面相交，根据平面的积聚性投影能直接判别直线的可见性判别直线的可见性-观察法观察法 VHPHPABCacbkNKMk在平面之前12XOaa(b)bcedcefdfkk例例6 铅垂线铅垂线AB与一般位置平面与一般位置平面CDE相交，求交点并判

5、别可相交，求交点并判别可见性。见性。13（2 2） 两平面相交两平面相交f k 求两平面交线的问题可以看作是求两个共有点的问题求两平面交线的问题可以看作是求两个共有点的问题,由于由于特殊位置特殊位置平面的某些投影有积聚性平面的某些投影有积聚性，交线可直接求出。交线可直接求出。VHMmnlPBCacbPHkfFKNLnlmm l n bacc a b XOfk14平面可见性的判别平面可见性的判别VHMmnlBCackfFKNLbbacnlmcmalnfkfkXO15平面可见性的判别VHMmnlBCackfFKNLXObbacnlmcmalnfkfk16过过AB作作平面平面P垂直于垂直于H投影面投

6、影面3.2.2 3.2.2 辅助平面法辅助平面法DECP12KBA172PH1 作题步骤：作题步骤：1、 过过AB作铅作铅垂平面垂平面P。2、求、求P平面与平面与CDE的交线的交线。3、求交线、求交线与与AB的交的交点点K。XOa b bacd e edc 12 kk 18直线直线ABAB与平面与平面CDECDE相交，判别可见性。相交，判别可见性。( )a b bace edc d 124 （ ）kk XO3 342 1 19以正垂面为辅助平面求线面交点以正垂面为辅助平面求线面交点1 2 QV21步骤：步骤：1、 过过EF作正作正垂平面垂平面Q。2、求、求Q平面与平面与ABC的交线的交线。3、

7、求交线、求交线与与EF的交的交点点K。f e efba acb c k k20 利用求一般位利用求一般位置线面交点的方法置线面交点的方法找出交线上的两个找出交线上的两个点，将其连线即为点，将其连线即为两平面的交线。两平面的交线。FBCALKED两一般位置平面相交求交线的方法两一般位置平面相交求交线的方法21 1、用直线与平面求交点的方法求出两平面的两个共有点K、L。baccbadd eff e PVQV21k kl l2、连接两个共有点，画出交线KL。XO作题步骤1222利用重影点判别可见性baccballnmmnkeek3 4 ( )3 4 21( )1 2XO两平面相交，判别可见性23例例

8、7 试过试过K点作一直线平行于已知平面点作一直线平行于已知平面ABC，并与直线，并与直线EF相相交交 。ac ba cb f e efk kXO24分析FPCABEKH 过已知点过已知点K K作平面作平面P P平行平行于于 ABCABC；直线；直线EFEF与平面与平面P P交于交于H H；连接；连接KHKH，KHKH即为所求。即为所求。25作图步骤作图步骤mnhhnmffacbacbeekkPV11221、过点、过点K作平面作平面KMN/ ABC平面。平面。2、过直线、过直线EF作正垂作正垂平面平面P。3、求平面、求平面P与平面与平面KMN的交线的交线。4、求交线、求交线 与与EF的交点的交点

9、H。5、连接、连接KH，KH即即为所求。为所求。263. 3 垂直问题垂直问题3.3.1 直线与平面垂直直线与平面垂直3.3.2 平面与平面垂直平面与平面垂直273.3.1 3.3.1 直线与平面垂直直线与平面垂直VHPAKLDCBE 几何条件几何条件：若一直线垂直于一平面，则必垂直于属于该若一直线垂直于一平面，则必垂直于属于该平面的一切直线。平面的一切直线。28 定理定理1：若一直线垂直于一平面、则直线的水平投影必垂若一直线垂直于一平面、则直线的水平投影必垂直于属于该平面的水平线的水平投影；直线的正面投影必垂直直于属于该平面的水平线的水平投影；直线的正面投影必垂直于属于该平面的正平线的正面投

10、影。于属于该平面的正平线的正面投影。VPAKLDCBEHaadcbdcbeeknknXO29 定理定理2（逆）：（逆）：若一直线垂直于属于平面的水平线的水平若一直线垂直于属于平面的水平线的水平投影；直线的正面投影垂直于属于平面的正平线的正面投影、投影；直线的正面投影垂直于属于平面的正平线的正面投影、则直线必垂直于该平面。则直线必垂直于该平面。acacnnkfdbdbfkVPAKLDCBEHXO30acacnnmfdbdbfm例例8 平面由平面由 BDF给定，试过定点给定，试过定点M作平面的垂线。作平面的垂线。31hhhhhhkkSVkkPVkkQH例例9 试过定点试过定点K作特殊位置平面的法线

11、。作特殊位置平面的法线。32efemnmncaadbcdbfXO例例10 平面由两平行线平面由两平行线AB、CD给定，试判断直线给定，试判断直线MN是否垂是否垂直于定平面。直于定平面。33例例11 试过点试过点N作一平面，使该平面与作一平面，使该平面与V面的夹角为面的夹角为60 ，与，与H面的夹角为面的夹角为45 。nnXO34平面的法线与平面的最大斜度线对同一投影面的夹角互为补角HPAKFDCBEf分析35直径任取NM|yM-yN|zM-zN|mhm nmk|zM-zN|yM-yN|3045m nmnkhnnXO作图过程363.3.2 3.3.2 两平面垂直两平面垂直 几何条件：几何条件：若

12、一直线垂直于一定平面，则包含这条直线若一直线垂直于一定平面，则包含这条直线的所有平面都垂直于该平面。的所有平面都垂直于该平面。PAB37 反之，两平面相互垂直，则由属于第一个平面的任意一点向第二个平面作的垂线必属于第一个平面。AB两平面垂直两平面不垂直AB38ghacachkkfdbdbfgXO例例12 平面由平面由 BDF给定，试过定点给定，试过定点K作已知平面的垂面作已知平面的垂面39ghachackkbbgffdd结论：两平面不平行。XO例例13 试判断试判断 ABC与相交两直线与相交两直线KG和和KH所给定的平面是所给定的平面是否垂直。否垂直。403.4 综合问题分析及解法综合问题分析

13、及解法3.4.1 空间几何元素定位问题空间几何元素定位问题3.4.2 空间几何元素度量问题空间几何元素度量问题41 平行、相交、及垂直等问题侧重于探求每一个平行、相交、及垂直等问题侧重于探求每一个单个问题的投影特性、作图原理与方法。而实际问单个问题的投影特性、作图原理与方法。而实际问题是综合性的，涉及多项内容，需要多种作图方法题是综合性的，涉及多项内容，需要多种作图方法才能解决。才能解决。 求解综合问题主要包括：空间几何元素的求解综合问题主要包括：空间几何元素的定位问定位问题题（交点、交线）和空间几何元素的（交点、交线）和空间几何元素的度量问题度量问题（如（如距离、角度）。距离、角度）。 综合

14、问题解题的一般步骤：综合问题解题的一般步骤： 1. 分析题意分析题意 2. 明确所求结果，找出解题方法明确所求结果，找出解题方法 3. 拟定解题步骤拟定解题步骤42例例14 已知三条直线已知三条直线CD、EF和和GH，求作一直线，求作一直线AB与与CD平行，并且与平行，并且与EF、GH均相交。均相交。cghefdcefghdXO3.4.1 空间几何元素定位问题空间几何元素定位问题43分析分析 所求得直线AB一定在平行于CD的平面上，并且与交叉直线EF、GH相交。ABCDHGEF44作图过程作图过程kkcghefdcefghdXOPV11 2 2aabb45例例15 试过定点试过定点A作直线与已

15、知直线作直线与已知直线EF正交。正交。aefafeXO46分析分析EQFAK过已知点A作平面与已知直线EF交于点K，连接AK，AK即为所求。47作图过程作图过程2 1aefafe1 22 PVaefafe1 kk2148例例16 求点求点C到直线到直线AB的距离。的距离。cabcabXO49分析分析PABCK 过C点作直线AB的垂线CK一定在过C点并且与AB垂直的平面P内，过C点作一平面与直线AB垂直，求出该平面与AB的交点K，最后求出垂线CK的实长即为所求。50作图过程作图过程cabcabXOeded1212kk所求距离所求距离51例例17 求交叉直线求交叉直线AB和和CD的公垂线。的公垂线

16、。ccababXOdd3.4.1 空间几何元素度量问题空间几何元素度量问题52分析分析LKABDCGHEFP 过一条直线CD作平面P平行于另一条直线AB，在过点A作平面P的垂线AH，求出垂足点E；在平面P上过点E作直线EFAB与直线CD交于点K；过点K作直线KL AH交AB于L点，KL即为所求的公垂线。53作图过程ccababXOddgg1122hh3434eef kklfl54本章小结本章小结1. 平行问题平行问题 （1 1）熟悉线、面平行，面、面平行的几何条件；）熟悉线、面平行，面、面平行的几何条件； （2 2）熟练掌握线、国平行，面、面平行的投影特性及作图方法。）熟练掌握线、国平行，面、面平行的投影特性及作图方法。2. 相交问题相交问题 （1 1）熟练掌握特殊位置线、面相交（其中直线或平面的投影具有积）熟练掌握特殊位置线、面相交（其中直线或平面的投影具有积聚性）交点的求法和作两个面的交线（其中一平面的投影具有积聚性）。聚性）交点的求法和作两个面的交线（其中一平面的投影具有积聚性）。 （2 2）熟练掌握一般位置线、面相交求交点的方法；掌握一般位置面）熟练掌握一般位置线、面相交求交点的方法；掌握一般位置面、