哈工大研究生数值分析报告精彩试题及问题详解

1、word1 . x3,2分别是方程x3 x3xn 422x0 3x0 63xo 4 2xi 3xi 63x1 42x； 3x2 63x2 41 / 13 8x 12 0的根；讨论用Newton迭代法求它们近似值的收敛阶。取初值%2计算根x3的近似值，要求迭代3次。结果保存4位小数解： 设 f (x) x3 x2 8x 122f (x)3x22x8f (x)6x2f( 3)0,f (3)0, f (2) 0, f (2) 0, f (2) 10 0如此：3是f(x) 0的单根，故Newton迭代在3附近是平方收敛； 2是f (x) 0的二重根，故Newton迭代在2附近是线性收敛;取 x02 ,

2、 Newton 迭代:xn 1xngf (xn)x3 x2 84 123x2 2x 822xn 3xn 6word2 .设常数a 0 ,求出a的取值围使得解方程组a21x1D2a3x2b213 ax3b3的Jacobi迭代法收敛。解：Jacobi迭代：(k i)(k)xBjxgi0211-203a021Bja 2 03a 1 30iabig a b2a b3迭代矩阵Bj的特征方程:0EBj1 2 a1即：(a)3 14( a) 0特征根：0,14.ia.14谱半径：(BJ)1时Jacobi迭代收敛1a故：a 44 / 13word23 .设1用Crout三角分解法求解方程组103Xix2X32

3、用乘幕法求方程组系数阵的按摸最大的特征值和对应的特征向量。解:Crout三角分解:21032101232114LU取v° (0,0,1)T ,计算迭代三次的值2101232,U114Ax bLyUx求解Ly b得I10求解UxTTy得 x 1,1,02v0(0,0,1)T, U0V0max(v0)0,0,1 TV2 Auiv3 Au2V1AU0T2,4,1 ,max(v1)0.5,1, 0.25 T 4U2max(v2)0.5,1,0,8611T9U3max(v3)T0.5,1,0,7306 ,11.443 / 13word4 .试利用插值多项式证明：对k 0,1,|,n 2包有等式

4、i 1 (i1)(i证明:- ki0i 1)(i i 1)|(in)i, i1,2,|,nf(x)0,1,|n 2由插值多项式的唯一性，比拟 Lagrange与Newton插值最高项系数得:ma)rn f,|l|,Xn(Xi X1) (Xi X 1)(X Xi1)“|(x Xn)111由差商与导数关系，有fXi,|,Xnf(n1)()(n 1)!1,n将Xii, (i 1,2, |,n), f (x)xk, (k0,1,|n 2）代入上面两等式，有(i 1) (i i 1)(i i 1) (i n)(i 1) (i i 1)。 i 1) (i n)fX1>|>Xnf(n1)( )

5、0 (n 1)!4 / 13word5 .求4次Hermit插值多项式H (x),满足:H(0) H (0) 0, H(1) H (1) 1, H (2) 1并写出误差表达式。方 H(1) H (1) 1,H (2) 1a b c 12a 3b 4c 1a 2b 4c 1得 a -, b4122H(x) -x (x 3)4误差:E(x)解：方法一：因 H(0) H (0) 0,故设：H(x) x2(a bx cx2),行31一，c24f / 13( ) 22f (x) H(x)x (x 1) (x 2),(0,2)5!方法一：满足H(0) 0,H (1) H(2) 1的插值多项式为：31 2P

6、2(x)-x -x2 2设：H(x) p2(x) (A Bx)(x 0)(x 1)(x 2)3H (0) 2B 0,41H (1) (A B) 12得：由 A 1,B344311H (x) -x -x -(x 3)(x 0)(x 1)(x 2)224122x (x 3)4、f ()误差：E(x) f (x) H(x) (-x2(x 1)2(x 2),(0,2)5!word6.试求求积公式2 f(x)dx Aof (拽)Af (述)的求积系数Ao, A ,使得其有尽可能高233的代数精度，是否是Gauss型的？并用此公式计算积分 02 sin xdx结果保存5位小数。解： 令f(x) 1,x求积

7、公式准确成立，有：Ao A 4M穹)A(穹)。得：A。 a 2求积公式:令f(x) x2,x3求积公式准确成立的，f(x) x4求积公式不是准确成立的,求积公式代数精度为3,是Gauss型的;作变换 x (t 2), t 2,28o2sinxdx2)dt2222sin (t28822)dt sin-(t 8 282)0.998486 / 13word7.用最小二乘法求一个形如y ax2 b的经验公式，使它与如下数据拟合xi1925313844V解： 取 o(x) 1, 1(x) x2 ,拟合函数为 y b 0(x) a 1(x) b ax2法方程为：5b 5327a 271.45327a 72

8、77699b 369321.5得： a 0.050351, b 0.9726045拟合函数为 y 0.050035仅2 0.97260457 / 138.用共腕梯度方法解方程组:2 1 x11 3 x2word取初值x(0)(0,0)T。Po共腕梯度方法：x(k 1) kr(0) bAx(0),(k)kPk,r(k1)(r(k)，产)(Pk,Apk)(k)/rkApk(r(k 1),r(k1)(r(k),r(k)Pk ir (k 1)kPk一2 11, 一解： A是对称正定阵;1 3Po r(0) b Ax(0) (5,5)t(r(0),r(0)(P0, AP0)(1) x(0) x(1) r

9、r(0)10 10(一,一 7755 T0 Ap0(7,7)0P0Pi(2) x(r,r)1(r(0),r(0) 49/4030、r0P0 (,)4949(r,r)(P1, APi)710(1)x 1P1(2,1)Tr(1)r(0)0AP0 (0,0)T解为：x(2,1)t8 / 13word9.应用Heun方法:h _ _yn 1 yn(K1 3K2)4Kif(Xn,yn),22K2 f(Xn -h,yn -hKi) 33并在解初值问题5y 8y 0时，问步长h应如何选取方能保证方法的绝对稳定性?y(0) 2解:yn 11,2中选取数值稳定的步长计算将Heun方法应用到方程(1 h)yn,其

10、中h5y5hy(2)的近似值.8y 0上，有:1.6h故取h8,方法是绝对稳定的5yn 1y1y21725 yn,1725 yo17一y125342517251.36,345780.9248,25 625(2,0)时，方法是绝对稳定的,5(0 , -) (0 ,1.25)时万法是绝对稳定的;451 (0,5) (0,1.25),即 h49 / 13word10.求解常微分方程初值问题yyb的两步方法:8ynhyn 1yn(5yn 1121求出局部截断误差；2讨论方法的收敛性；3讨论方法的绝对稳定性。1125 .8 ,斛.a0 1,a1 0, b 1, b0, b11212（1）把局部截断误差T

11、n在4处Taylor展开:TnCoy(Xn) Cihy(Xn)| Crhry(r)(xn)IHcoC4Tn3) IH324n), n(xn , Xn 1 )2C0G 0,方法是相容的;第一特征多项式：（r）(r)0两根为:01,10,i 1, r11是单根，方法满足根条件;2-h )r 3h12由收敛的充分必要条件知方法是收敛的。一 、，一一6 一 c（2）稳止多项式： （r;h） （1 一h ）r （112由绝对稳定性要求知h0,故 1 h12由参考定理知:(r;h)0的两根ro,i(h)13h5 h12h12_5一 h122 .(1 -h)35(1 h)12h1212/ 5 ,1 h12(

12、6,0),h125 .1 h12即当h6,0）时方法是绝对稳定的。10 / 13word应用1.试确定0是方程f(x) e2x 1 2x 2x2 0的几重根；取初值比0.25用改良的具有二阶收敛速度的Newton迭代法求f (x) 0的根0的近似值。要求迭代2次结果保存4位小数。解： f(x) e2x 1 2x 2x2,f (x) 2e2x 2 4xf (x) 4e2x 4f (x) 8e2xf(0) f (0) f (0) 0, f (0) 8 00是方程f (x) 0的3重根;改良的具有二阶收敛速度的 Newton迭代法:Xn 1xn3Xn3f(Xn)f (Xn)e24 1 2xn 2x2

13、2e2" 2 4xnXie2x01 2x0 2x02x0 3 2e2% 2 4x0X2e1 1 2x1 2x2Xi 32；2e2x1 2 4x111 / 13word应用4.假如用复化梯形公式计算积分3.e'sinxdx,要求截断误差不超过104舍入误差不计，问需要计算多少个节点上的函数值?解:f (x) exsinx, f (x)ex(sinxcosx), f (x) 2ex cosx, f (x) 3ex(cosx sin x)复化求积公式余项为:En(f)(b a)其中:12h J2h f (),a,b假如517.5cosx 1,有 |f ()2e3En(f)h 3.86518,104,得:10 3h23 10 4故至少需519个节点才能保证截断误差不超过10 4。12 / 13word应用9.写出经典4阶Runge-Kutta方法求解初值问题y 8 3yy(0) 2的计算公式，并取步长h 0.2 ,计算y(0.4)的近似值.小数点后至少保存4位解：f(x