一元二次方程专题练习

1、只含有一个未知数，且未知数地最高次数是2 次地整式方程叫做一元二次方程一元二次方程有三个特点：(1)有且只含有一个未知数；(2) 且未知数地最高次数是 2；(3)是整式方程要判断一个方程是否为一元二次方程，先看它是否为整式方程，若是，再 对它进行整理.如果能整理为 ax2+bx+c=0(a丰0)1地形式， 则这个方程就为一元二次方程里面要有等号，且分母里不含未知数 .求解一元二次方程可以用公式y=(-b+-(bA2-4ac)A(1/2)/2a 其中+-(bA2-4ac)A(1/2 )是根地判别式.补充说明1 、该部分地知识为初等数学知识，一般在初三就有学习.(但一般二次函数与反比例函数会涉及到

2、一元二次方程地解法 )2、 该部分是中考地热点 .3、 方程地两根与方程中各数有如下关系：X1+X2= -b/a , X1 -X2=c/a (也称韦达定理)4、 方程两根为 x1 ， x2 时，方程为： x2-(x1+x2)X+x1x2=0 ( 根据韦达定理逆推而得 )5、 在系数 a0 地情况下， b2-4ac0 时有 2 个不相等地实数根， b2-4ac=0 时有两个相等地实 数根， b2-4ac0 时无实数根 .(在复数范围内有两个复数根 .)6、 一元二次方程解法：一般式ax2+bx+c=0 (a、b、c 是实数，a丰0)例如： x2+2x+1=0配方式a(x+b/2a)2=(4ac-

3、b2)/4a两根式a(x-x1)(x-x2)=0一般解法ax2+bx+c=0解法1.分解因式法(可解部分一元二次方程)因式分解法又分 “提公因式法。而 “公式法 ”(又分 “平方差公式 ”和 “完全平方公式 ”两种) ”另 外还有 “十字相乘法 ”因.式分解法是通过将方程左边因式分解所得，因式分解地内容在八年 级上学期学完 .如1. 解方程： x2+2x+1=0解：利用完全平方公式因式解得：( x+1 ) 2=0解得： x1= x2=-12. 解方程 x( x+1 ) -3( x+1 ) =0解：利用提公因式法解得：(x-3)( x+1 ) =0即 x-3=0 或 x+1=0 x1=3 , x

4、2=-13.解方程 x2-4=0 解：（x+2 ）（ x-2） =0 x+2=0 或 x-2=0 x1=-2 , x2= 2十字相乘法公式：x2+（p+q）x+pq=（x+p）（x+q）2公式法（可解全部一元二次方程）-b4b-4acx =-2a求根公式2首先要通过 =b24ac 地根地判别式来判断一元二次方程有几个根1. 当 =b24ac0 时 x 有两个不相同地实数根当判断完成后，若方程有根可根属于2、3 两种情况方程有根则可根据公式：x=-b（ b24ac） /2a来求得方程地根3. 配方法（可解全部一元二次方程）如：解方程：x2+2x 3=0解：把常数项移项得：x2+2x=3等式两边同

5、时加 1 （构成完全平方式）得：x2+2x+仁 4因式分解得：（x+1）2=4解得：x 仁-3,x2=1用配方法地小口诀二次系数化为一常数要往右边移一次系数一半方两边加上最相当4. 开方法（可解部分一元二次方程）如：x2-24=1解：x2=25x= 5 x 仁 5 x2=-5一元二次方程根与系数地关系（以下两个公式很重要，经常在考试中运用到）（韦达定理）一般式：ax2+bx+c=0 地两个根 x1 和 x2 关系：x1+x2= -b/ax1 x2=c/a简单解法1看是否能用因式分解法解(因式分解地解法中，先考虑提公因式法，再考虑平方公式 法，最后考虑十字相乘法)2看是否可以直接开方解3使用公式

6、法求解4最后再考虑配方法(配方法虽然可以解全部一元二次方程，但是有时候解题太麻烦).如果要参加竞赛，可按如下顺序：1.因式分解 2.韦达定理 3.判别式 4.公式法 5.配方法 6.开平方 7.求根公式 8.表示法 例题精讲1、开方法直接开平方法就是用直接开平方求解一元二次方程地方法 . 用直接开平方法解形如 (x-m)A2=n (n 地方程，其解为 x=mVn例 1解方程( 1) (3x+1)2=7 ( 2) 9x2-24x+16=11分析：( 1)此方程显然用直接开平方法好做，(2)方程左边是完全平方式 (3x-4)2 ，右边=110，所以此方程也可用直接开平方法解 .(1)解： (3x+

7、1)2=73x+ 仁7/ x1=.,x2= .(2)解： 9x2-24x+16=11(3x-4)2=113x-4=V11/ x1=.,x2= .2配方法：例一：用配方法解方程3xA2 -4x-2=0解：将常数项移到方程右边3xA2-4x=2将二次项系数化为 1： xA2-4/3x=2/3方程两边都加上一次项系数一半地平方： xA2-4/3x+( -2/3)2= 2/3+(-2/3 )2配方： (x-2/3)A2=10/9直接开平方得：x-2/3=V(10)/3 x 仁(30)/9+2/3 , x2=-V(30)/3+2/3.原方程地解为 x 仁V(30)/9+2/3 , x2=-V(30)/3

8、+2/3.3公式法把一元二次方程化成 ax2+bx+c 地一般形式，然后把各项系数 a, b, c 地值代入求根公式就可 得到方程地根 .公式： x=-bV(b-24ac)/2a当 =b24ac0 时，求根公式为x 仁-b+V(b24ac)/2a,x2=-b-V(b24ac)/2a (两个不相等地实数根)当 =b24ac=0 时，求根公式为 x 仁 x2=-b/2a (两个相等地实数根)当 =b24ac0 x= (4 V6)/2原方程地解为 x?=(4+V6)/2,x?=(4V6)/2.4因式分解法 把方程变形为一边是零，把另一边地二次三项式分解成两个一次因式地积地形式，让两个 一次因式分别等

9、于零，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程所得地根，就是原 方程地两个根 .这种解一元二次方程地方法叫做因式分解法.例 4用因式分解法解下列方程：(1) (x+3)(x-6)=-8(2) 2x2+3x=0(3) 6x2+5x-50=0 ( 选学)(1)解： (x+3)(x-6)=-8 化简整理得x2-3x-10=0 ( 方程左边为二次三项式，右边为零 )(x-5)(x+2)=0 ( 方程左边分解因式 ) x-5=0 或 x+2=0 ( 转化成两个一元一次方程 ) x1=5 x2=-2 是方程地解 .x(2x+3)=0 ( 用提公因式法将方程左边分解因式 ) x=0 或 2x+3=0 (

10、转化成两个一元一次方程) x1=0 ， x2=-3/2 是原方程地解 .注意：有些同学做这种题目时容易丢掉 x=0 这个解，应记住一元二次方程通常有两个解(3)解： 6x2+5x-50=0(2x-5)(3x+10)=0 ( 十字相乘分解因式时要特别注意符号不要出错 ) 2x-5=0 或 3x+10=0 x=5/2, x=-10/3 是原方程地解 .5.十字相乘法 十字左边相乘等于二次项系数，右边相乘等于常数项，交叉相乘再相加等于一次项系数 例 5：用十字相乘法解下列方程：解： m2+4m-12=0( m-2)( m+6)=0 m-2=0 或 m+6=0 m1=2 。 m2=-6小结 :一般解一元二次方程，最常用地方法还是因式分解法，在应用因式分解法时，一般要 先将方程写成一般形式，同时应使二次项系数化为正数 .直接开平方法是最基本地方法 . 公式法和配方法是最重要地方法 .公式法适用于任何一元二次方程(有人称之为万能法)，在使用公式法时，一定要把原方程化成一般形式，以便确定系