Leslie人口模型及例题详解

1、实用文案标准文档Leslie 人口模型现在我们来建立一个简单的离散的人口增长模型，借用差分方程模型，仅考虑女性人口的 发展变化。如果仅把所有的女性分成为未成年的和成年的两组，则人口的年龄结构无法刻划， 因此必须建立一个更精确的模型。 20 世纪 40 年代提出的 Leslie 人口模型，就是一个预测人 口按年龄组变化的离散模型。模型假设(1) 将时间离散化，假设男女人口的性别比为 1:1 ，因此本模型仅考虑女性人口的发展变 化。假设女性最大年龄为 S岁，将其等间隔划分成 m个年龄段，不妨假设 S为m 的整数倍， 每隔 S/m 年观察一次，不考虑同一时间间隔内人口数量的变化;(2) 记ni(t)

2、为第 i个年龄组 t次观察的女性总人数，记n(t) n1(t),n2 (t), ,nm(t)第 i 年龄组女性生育率为 bi (注：所谓女性生育率指生女率)，女性死亡率为di ，记si 1 di,假设 bi, di不随时间变化(3) 不考虑生存空间等自然资源的制约,不考虑意外灾难等因素对人口变化的影响(4) 生育率仅与年龄段有关，存活率也仅与年龄段有关。建立模型与求解根据以上假设，可得到方程mn1(t 1)= bini (t)i1ni 1(t 1) sini (t) i 1,2.,m-1写成矩阵形式为n(t 1) Ln(t)b1s1其中， L= 0b20 s20bm 1 bm000（1）00s

3、m 10记n（0） n1（0）,n2（0）, ,nm（0）（2）假设 n（0）和矩阵 L 已经由统计资料给出，则n（t） Ltn（0）, t 0,1,2,L为了讨论女性人口年龄结构的长远变化趋势，我们先给出如下两个条件：（i） si> 0，i=1 ，2， ，m-1;（ii） bi 0，i=1 ，2，m，且 bi 不全为零。易见，对于人口模型，这两个条件是很容易满足的。在条件（i）、（ ii ）下，下面的结果是成立的：定理 1L 矩阵有唯一的单重的正的特征根0 ，且对应的一个特征向量为2 m 1n* =1 ，s1/ 0，s1s2/ 20， ，s1s2 sm-1/ 0 1T（3）定理 2若

4、1 是矩阵 L 的任意一个特征根，则必有 1 0 。定理 3若 L 第一行中至少有两个顺次的 bi ,bi 1 0 ，则（i）若 1是矩阵 L 的任意一个特征根，则必有 1 0。（ii ） lim n（t） / t0 = cn* ，（4）其中 c 是与 n （0）有关的常数。定理 1 至定理 3 的证明这里省去。由定理 3 的结论知道，当 t 充分大时，有n（t） c t0n*（5）定理 4记 i bis1s2L si 1，q（ ）= 1/ + 2/ 2+ m/ m，则 是 L的非零特征根的 充分必要条件为q（ ）=1（6 ）所以当时间充分大时，女性人口的年龄结构向量趋于稳定状态，即年龄结构趋

5、于稳定形 态，而各个年龄组的人口数近似地按1 的比例增长。由（ 5 ）式可得到如下结论：(i) 当>1时，人口数最终是递增的；(ii) 当<1时，人口数最终是递减的；(iii) 当=1时，人口数是稳定的。根据（ 6）式，如果 =1 ，则有b1 + b2s1 + b3s1s2 + + b ms1 s2sm-1=1记R= b1 + b2s1 + b3s1s2 + + bms1 s2 sm- 1 （7 ）R 称为净增长率，它的实际含义是每个妇女一生中所生女孩的平均数。当R>1 时，人口递增；当 R<1 时，人口递减。Leslie 模型有着广泛应用，这里我们给出一个应用的例子，

6、供大家参考。公园大象管理南非的一家大型自然公园放养了大约 11000 头大象，管理部门希望为大象创造一个健康 的生存环境，将大象的总数控制在 11000 头左右。每年，公园的管理人员都要统计当年大象 的总数。过去 20 年里，公园每年都要处理一些大象，以便保持大象总数维持在 11000 头左 右，通常都是采用捕杀或者迁移的方法来实现。统计表明，每年约处理 600-800 头大象。近年来，公众强烈反对捕杀大象行为，而且即使是迁移少量的大象也是不允许的。但是一 种新的给大象打避孕针的方法也被研制成功。一只成年母象打了避孕针后，两年内不再怀孕。公园有一些关于大象的资料，供建模参考：1 几乎不再迁入或

7、迁出大象；2 目前性别比接近 1： 1，采取控制后，也希望维持这个比例；3 初生象的性别比也是大约 1：1 ，生双胎的比例为 1.35%4 母象初次怀孕大约在 10-12 岁 ,一直到 60 岁大约每 3.5 年怀胎一次 ,60 岁后不再受孕 ,怀 孕期为 22 个月；5 避孕针可能引起大象每个月都发情,但不受孕 ,因为大象通常每 3.5 年生育 1 次 ,所以按月循坏的方案是不足取的；6 避孕针对母象没有副作用 ,打了避孕针的母象 2 年内不再受孕；7 初生象存活到 1 岁的比例为 70%-80%, 此后 ,直至 60 岁前 , 存活率都比较均匀 ,大约在 95%以上,大象一般只活到 70

8、岁；8 公园里不存在捕杀行为 ,偷猎可以不考虑； 公园管理部门有一份过去两年移出公园大象的粗略统计,不幸的是没有捕杀或公园大象的具体数据；你的任务是 ,构造一个模型 ,利用模型研究如何采用避孕措施控制公园大象的总数.同时需要完成以下任务：1 建立并利用模型推算 2-60 岁大象可能的存活率 , 以及目前的大象年龄结构；2 估计每年需要避孕多少大象 , 才能保证大象总数控制在 11000 头左右 ,说明数据不确定性 对你的结论的影响 ,评价一下年龄结构的变化以及对旅游的影响,（你可能被要求观察 30-60年）；3 假设每年可以移出 50-300 头大象 ,避孕大象数可以减少多少 , 评价如何根据

9、经济效益平 衡两种方案；4 有一些反对观点认为 ,假如出现疾病或者失控的偷猎 , 使大象总数突然大幅度下降 ,即使停 止避孕 ,也会对大象群的恢复存在不良影响 ,研究并回答这个问题；5 公园公管理部门正在构造模型 , 特别希望批驳那些以缺乏完整数据为由而嘲笑利用模型 指导决策的观点 .希望你的模型包括一份技术报告能给公园管理部门提一些建议，提高公园管 理部门的信心 ,除此之外 ,你的报告 ,还应该包括一个详细的技术流程 （ 最多 3 页 ）回答公共关心的 问题。6 假如非洲其它公园对你的模型感兴趣 ,有意利用你的模型 , 请为公园大象数在 300-25000 头规模的公园提供一份避孕计划 ,顺

10、便考虑一下存活率稍有不同或者可以有迁移的情况.附过去两年的迁出数据年龄 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9总量 1103777170686158 515251母象 150364129313028242229总量 298746961605452595857母象 257343329342827312525年龄10111213141516171819总量 151505148474948474342母象 127272627262528271925总量 260636460635952554950母象 226363830333424302130年龄20212223242526272829总量 1423

11、73941424345484947母象 118161924172521262927总量 253576553565053494340母象 229274023292421262416年龄303132333 43536373839总量 1464244444649 47 48 46 41母象 12422202224 24 2325 2124总量238353733203330292926母象217161818151812171613年龄4041 42434 445464748 49总量 141424338343433303526母象 124192620201516132011总量 21024252221

12、2211212119母象 261114101012811129年龄50 515253545556575859总量12118145446 09 7母象10总量1510 9 7 6母象年龄606162636465666768 69 70总量 母象 总量 母象假设与分析1 大象性别比接近 1：1，初生象的性别比也是大约 1 ：1，采取控制后，也希望维持这个比例；2 过去两年迁出的大象是随机抽样，其结构反映了象群总体的年龄结构；3 避孕是随机的，母象是否避孕是不可识别的，假设各个年龄的母象是等比例避孕的，比 例系数为 k ，仅通过调节 k 来控制公园大象数量；4 母象初次怀孕大约在 10-12 岁 ,

13、简化假设大象初孕时间为 11 岁，当前状态下，成年象的 成活率为 s ，生育母象率为 r ，老年象的成活率是线性逐渐递减的，因此其成活率可表示为si s(70 i) /10,(60 i 70)设初生象活到 1 岁的存活率为 s0 。5 避孕针对母象没有副作用 , 打了避孕针的母象 2 年内不再受孕；且无论打避孕针前母象 是否怀孕，一旦打了避孕针，母象就被避孕或中止怀孕，平均每年有 比例的母象处于避孕状 态；每年母象的避孕率为 ，每年的避孕方案时瞬时完成的。6 假设大象的年龄结构是稳定的。数据处理与分析(1 )2-60 岁大象的存活率与年龄结构母象生育率为r =1/3.5+(1+0.0135)/

14、2=0.1448头/ 年12 岁的母象生育母象的生育率为 r /6 。由题设知道存活率 s (0.95,0.99) 。以下是第一年迁移出 0 至 70 岁大象数据x1=103, 77,71,70,68,61,58,51,52,51,51,50,51, 48,47,49,48,47,43,42,42,37,39,41,42,43 ,45,48,49,47,46,42,44,44,46,49,47,48,46,41,41,42,43,38,34,34,33,30,35,26,21,18,14,5,9,7,6,0,4, 4, 4 ,3,2,2,1,3,0,2,1,0,2 ;以下是第二年迁移的 0-7

15、0 岁大象数据53 57x2=98,74 69 61 60 54 52 59 58 57 60 63 64 60 63 59 52 55 49 5065 53 56 50 53 49 43 4038 35 37 33 20 33 30 29 29 26 10 24 25 22 21 22 11 21 2119 15 5 10 9 7 6 5 4 7 02 3 0 2 0 2 0 1 0 0 0 ;x=x1+x2;x0=x/norm(x,1);以下是第一年迁移的 0-59 岁母象数据y1=50 36 41 29 31 30 28 24 22 29 27 27 26 27 26 25 28 27

16、19 25 18 16 19 24 1725 21 26 29 27 24 22 20 22 24 24 23 25 21 24 24 19 26 20 20 15 16 13 20 11 10 98 4 4 4 3 0 3 2;以下是第二年迁移的 0-59 岁母象数据y2=57 34 33 29 34 28 27 31 25 25 26 36 38 30 33 34 24 30 21 30 29 27 40 23 2924 21 26 24 16 17 16 18 18 15 18 12 17 16 13 6 11 14 10 10 12 8 11 12 9 6 4 5 4 42 3 2 4

17、 0;考虑到有些数据较小及抽样的随机性，我们取两次抽样的平均值作为分析的基本数据。 t1=x1(2:11);t2=x2(2:11);tt=t1+t2;tt1=tt(1:9);tt2=tt(2:10);tn=tt2./tt1;mean(tn)ans =0.9672t1=x1(12:21);t2=x2(12:21); tt=t1+t2; tt1=tt(1:9);tt2=tt(2:10);tn=tt2./tt1; mean(tn)ans =0.9820t1=x1(12:31);t2=x2(12:31); tt=t1+t2; tt1=tt(1:19);tt2=tt(2:20);tn=tt2./tt1;

18、 mean(tn)ans =0.9859t1=x1(12:41);t2=x2(12:41); tt=t1+t2; tt1=tt(1:29);tt2=tt(2:30);tn=tt2./tt1; mean(tn)ans =0.9765t1=x1(12:51);t2=x2(12:51); tt=t1+t2; tt1=tt(1:39);tt2=tt(2:40);tn=tt2./tt1; mean(tn)ans =0.9771t1=x1(12:60);t2=x2(12:60); tt=t1+t2;tt1=tt(1:48);tt2=tt(2:49);tn=tt2./tt1; mean(tn)ans =0.

19、9719n1=zeros(1,71);n1(1)=1;n1(2)=0.75;for i=3:61n1(i)=n1(i-1)*0.98;endn1;for i=62:71n1(i)=n1(61)*(1-(i-61)/10);endn1;N1=n1(12:50);xx=x(12:50);xx=100*xx/norm(xx,1);N1=100*N1/norm(N1,1);t=1:39;plot(t,N1,t,xx);axis(10,40,0,5);title(' 图 1')实用文案图14.543.532.521.510.501025 30通过以上分析大致可以得到， 1-60 岁大象的

20、存活率约为 0.98 。 0-70 岁年龄结构向量见 图 2 。y0=100*x0/norm(x0,1);图2a=0:70; bar(a,y0,'stacked'); title(' 图 2')面我们取 s0 0.75, s1 s2 0.98。m1=zeros(1,71);m1(1)=1; m1(2)=0.75/1.029;for i=3:61m1(i)=m1(i-1)*0.977/1.029;endm1;for i=62:71m1(i)=m1(61)*(1-(i-61)/10);endm1;m1=100*m1/norm(m1,1);bar(a,m1,'

21、stacked');title(' 图 3 稳定的年龄结构 ')plot(a,m1,'r-',a,y0,'b-.');title（' 图 4 年龄结构当前状态与稳定状态比较 '）polyfit(y0,m1,1) ans =0.1981 -0.0694从所给的数据来看，象群的年龄结构还没有达到相对稳定的状态。 根据以上数据，大体可以得到l=zeros(71,71); l(1,13)=0.1448/6;l(2,1)=0.75;for i=14:61l(1,i)=0.1448;endl;for j=3:61l(j,j-1)=0.

22、98;end; l;for k=62:71l(k,k-1)=0.98-0.98*(k-61)/10;endl;eig(l);矩阵的唯一正特征值为 1.0322 。对于不同的存活率，得到的唯一正特征值为：s0 0.75, s 0.97, p 1.023;s0 0.75,s 0.98, p 1.0322; s0 0.75, s 0.99, p 1.042.下面我们估计每年处于避孕状态母象的比率 。此时，女性生育率为 0.1448(1 ) 。 记s0 0.75, s1 s2 0.9813 0.1448(1 ) s0s111 / 6, i 0.1448(1 )s0s111L si2 12(14 i 6

23、1)由( 6)式得q(1) 13 14 L 61 1解得110.1448s0s1111/ 6 s2(1 s248) /(1 s2) 0.376, 0.6241-1/(0.1448*0.75*0.9811*(1/6+(0.98-0.9849)/0.02) ans =0.6240即每年应该有 62.4% 的母象处于避孕状态。为了保证有 62.4% 的母象处于避孕状态，下面分析每年应该打避孕针母象的比例 。在假设 3 和假设 5 的前提下，如果每年打避孕针母象比例为 。母象可以分成 3 类：即 当年被打避孕针而上一年没有被打避孕针或上一年被打避孕针而本年没有被打避孕针,比例为22 (1 ) ；连续两

24、年被打避孕针2 ；连续两年没有被打避孕针。只有最后一类母象具有生育能力。因此，只需要 满足方程2 (1 ) 21-sqrt(0.376)ans =0.3868ans =0.38680.3868*5500ans =2.1274e+003解得 0.387 ，即每年大约需要给 2127 头母象打避孕针。 在方案实施过程中，实际上根本不需要打这么多针，因为许多小象还是可以识别的。可 以采取随机抽样的打针方式，对于抽到的小象只计数不打针，直至计满 2127 头母象，就算完 成当年任务。采取打避孕针的方案对象群的年龄结构是由一些影响的，下面给出了打与不打避 孕针情况下稳定的象群年龄结构与各你阿爸年龄段象群

25、数的比较。m1=zeros(1,71);m1(1)=1;m1(2)=0.75/1.0322;for i=3:61m1(i)=m1(i-1)*0.98/1.0322;end; m1;for i=62:71 m1(i)=m1(61)*(1-(i-61)/10);end; m1;n1=zeros(1,71);n1(1)=1;n1(2)=0.75;for i=3:61 n1(i)=n1(i-1)*0.98;end; n1;for i=62:71n1(i)=n1(61)*(1-(i-61)/10);end;n1;subplot(1,2,1)a=0:70; plot(a,m1,'r-',a

26、,n1,'b-');title(' 图 5 年龄结构比较 '); axis(0,70,0,1);M1=5500*m1/norm(m1,1);N1=5500*n1/norm(n1,1); a=0:70;subplot(1,2,2)plot(a,M1,'r-',a,N1,'b-')图 5 年 龄 结 构 比 较300250200150100500图 5 各 年 龄 段 大 象 数 比 较 图title(' 图 5 各年龄段大象数比较图 ') axis(-0,70,0,300)10.90.80.70.60.50.40.3

27、0.20.10通过以上两个图的比较，可以发现采取避孕措施，将使幼象、小象数减少，中老年象数增加。 由于采取避孕措施，使得初生小象数减少，因此会不可避免地引起象群年龄结构的改 变，下面分析， 15 年、30 年、 60 年后的象群年龄结构。L=zeros(71,71);L(1,13)=0.1448*0.376/6;L(2,1)=0.75;for i=14:61L(1,i)=0.1448*0.376;end; L;for j=3:61L(j,j-1)=0.98; end; L;for k=62:71L(k,k-1)=0.98-0.98*(k-61)/10; end; L;eig(L);n15=L1

28、5*x0'n30=L15*n15;n60=L30*n30;n15=100*n15/norm(n15,1);n30=100*n30/norm(n30,1);n60=100*n60/norm(n60,1);M15=5500*n15/norm(n15,1);M30=5500*n30/norm(n30,1);M60=5500*n60/norm(n60,1);bar(a,55*y0)title(' 图 6a 避孕前种群量分布 '); axis(0,70,0,250)图 6a 避 孕 前 种 群 量 分 布bar(a,M15)title(' 图 6b 避孕 15 年后种群量

29、分布 ');axis(0,70,0,250)图 6b 避 孕 15 年 后 种 群 量 分 布bar(a,M30)title(' 图 6c 避孕 30 年后种群量分布 ');axis(0,70,0,250)M60=5500*n60/norm(n60,1);bar(a,M60)title(' 图 6d 避孕前种群量分布 ');axis(0,70,0,250)n70=L70*x0'n70=100*n70/norm(n70,1);k1=100*m1/norm(m1,1);图 7 给出了避孕前后年龄结构稳定状态的比较 plot(a,k1,'r-&

30、#39;,a,n70,'b-.');title(' 图 7 避孕前后稳定的年龄结构 ');axis(0,70,0,5)5图 7 避 孕 前 后 稳 定 的 年 龄 结 构4.543.532.521.510.500102030 40506070数据不确定性对结果的影响分别取 s0 0.7,0.8, s1 s2 0.95,0.9911 11 48 0.421, 0.579 0.1448s0s1111/ 6 s2(1 s248) /(1 s2)1-1/(0.1448*0.7*0.9511*(1/6+(0.95-0.9549)/0.05) ans =0.01151-sq

31、rt(1-0.0115)ans =0.0058 1-1/(0.1448*0.8*0.9911*(1/6+(0.99-0.9949)/0.01) ans =0.74661-sqrt(1-0.7466) ans =0.49660.012,0.757每年需避孕的母象比例为 0.6% 49.7%对于每年可以迁移 50-300 头大象及 s0 0.75, s1 s2 0.98 ，下面分析避孕方案的变化 及最经济的方案。设增长率为 p，对于 s00.75, s1s2 0.9813 0.1448(1 ) s0s111 / 6, i0.1448(111 i 12)s0s1 L s2 (14 i61)q(p)1

32、213 / p1314 / pL61 / p60 1令s0's0 / p,s'1s1/ p,s2's2 / p'130.1448(111')s0 ' s111 /6, 14'0.1448(1')s0 '(s')111(s')i212(14i 61)q(p)'13 '14L'61 11'111480.1448s '0s'1111/ 6s'2(1 s'428)/(1 s'2)当p1.01 ，每年的避孕率为28.2%，每年迁出 110 头；

33、当 p 1.02 ，每年的避孕率为16.8% ，每年迁出220 头； 当p 1.025 ，每年的避孕率为 11.3% ，迁出275 头。1-1/(0.1448*0.75*0.9811*(1/6+(0.98-0.9849)/0.02) ans =0.62401-sqrt(0.376)ans =0.3868p=1.01;1-p12./(0.1448*0.75*0.9811*(1/6+(0.98./p-(0.98./p).49)/(1-0.98./p)ans =0.4848 1-sqrt(0.5152)ans =0.2822p=1.02;1-p.12./(0.1448*0.75*0.9811*(1/6+(0.98./p-(0.98./p)49)/(1-0.98/p) ans =0.30801-sqrt(0.692)ans =0.1681 p=1.025;1-p.12./(0.1448*0.75*0.9811*(1/6+(0.98./p-(0.98./p)49)/(1-0.98/p) ans =0.20361-sqrt(0.7864)ans =标准文档p(1令s0'0.1132进一步分析可以知道，对于s0 0.75, s1 s2 0.98 ，如果增长率为p 1.0322, 即每年移