SISIRSIS-模型同名10024

1、传染病模型求解二、实验目的和要求a求解微分方程的解析解b.求解微分方程的数值解三、实验内容问题的描述各种传染病给人类带来的巨大的灾难，长期以来，建立传染病的数学模型来描述传染病的的传播过程，分析受感染人数的变化规律，探索制止传染病蔓延的手段等，一直是各国有关专家和官员关注的课题。不同类型传染病有各自不同的特点，在此以一般的传播机理建立几种3模型。分别对3种建立成功的模型进行模型分析，便可以了解到该传染病在人类间传播的大概情况。模型一(SI模型)：(1)模型假设1 .在疾病传播期内所考察地区的总人数N不变，人群分为健康人和病人，时刻t这两类人在总人数中所占比例为s (t)和i (t)。2 .每个

2、病人每天有效接触的平均人数是常数a, a成为日接触率，当病人与健康者有效接触时，可使其患病。(2)建立模型根据假设，每个病人每天可使 as (t)个健康人变成病人，t时刻病人数为Ni (t),所以每天共有aNs (t) i (t)个健康者被感染，即病人的增加率为：Ndi/dt=aNsi又因为 s (t) +i (t) =1再记时刻t=0时病人的比例为i0则建立好的模型为：dt i(0)=i0(3)模型求解syms a i t i0(代码、计算结果或输出结果)% a：日接触率，i：病人比例，s：健康人比例，i0：病人比例在t=0时的值 i=dsolve('Di=a*i*(1-i)'

3、;,'i(0)=i0','t');y=subs(i,a,i0,0.3,0.02);ezplot(y,0,100)figurei=str2double(i);i=0:0.01:1;y=0.3*i.*(1-i);plot(i,y)SI模型的it曲线SI模型的di/dt-i曲线(4)结果分析由上图可知，在i=0:1内，di/dt总是增大的，且在i=0.5时，取到最大值，即在 t->inf时，所有人 都将患病。上述模型显然不符合实际，为修正上述结果，我们重新考虑模型假设，建立SIS模型模型二(SIS模型)(1)模型假设假设条件1.2与SI模型相同；3.每天被治愈的

4、病人数占病人总数的比例为常数u,成为日治愈率，病人治愈后成为仍可被感染的健康者。显然1/u是平均传染期。(2)模型建立病人的增加率： Ndi/dt=aNsi-uNi且 i (t) +s=1 ;则有：di/dt=ai(1-i)-ui在此定义k=a/b,可知k是整个传染传染期内每个病人有效接触的平均人数，成为接触数。 则建立好的模型为：didi-aii (1 1/k)dti(0)=i0;(2)模型求解(代码、计算结果或输出结果)>> syms a i u t i0% a：日接触率，i:病人比例，u:日治愈率，i0 :病人比例在t=0时的值>> dsolve('Di=

5、a*i*(1-i)-u*i','i(0)=i0','t')> > syms k> > k=a/u;>> i=dsoke('Di=-a*i*i+a*i*(1-1/k)','i(0)=i0','t')%给k、a、i0指定特殊值，作出相关图像> > y=subs(i,k,a,i0,2,0.3,0.02);> > ezplot(y,0,100)>>pause> > gtext('1/k')%求用u表示的it解析式%

6、k：接触数%求用k表本的i-t解析式外女"的情况，以k=2为例%作it图，分析随时间t的增加,i的变化>>legend('k>1 本例中 k=2')>>figure> > i=str2double(i);> > i=0:0,01:1;%作di/dt-i的图像为女力的情况，以k=0.8为例%作i t图，分析随时间t增加，i的变化> > y=-0.3*i.*i-1/2;> > plot(i,y)> > gtext('1-1/k,在止匕图中为 0.5')> >

7、; legend('k=2') >> y=subs(i,k,a,i0,0.8,0.3,0.02);> > ezplot(y,0,100)> > legend('k<1 本例中 k=0.8')>>figure> > i=str2double(i);> > i=0:0.01:1;> > y=-0.3*i.*i-(1-1/0.8);> > plot(i,y)> > legend('k=0.8')> > gtext('k&

8、lt;=1 时的情况)SIS模型的di/dt-i曲线 (k>1)SIS模型的i-t曲线(k>1)fit Eitd 工工，Jnwrl lanls DsikkspHripnwH占图我时学*二口旬口I 。1 02 0 3 0 4 OS 06 H IB D9 1SIS模型的di/dti曲线 (k<1)SIS模型的it曲线(k<1)(4)结果分析不难看出，接触数 k=1是一个阈值，当k>1时，i (t)的增减性取决于i0的大小，但其极限值 i(oo)=i-i/k随k的增加而增加；当 k<=1时，病人比例i (t)越来越小，最终趋于 0,这是由于传染期 内经有效解除从而

9、使健康者变为的病人数不超过原来病人数的缘故。模型三.SIR模型(1)模型假设1 .总人数N不变，人群分为健康者、病人和病愈免疫的移出者三类，称 SIR模型。时刻t三类人在总人数N中占得比例分别记作s(t)，i(t)和r(t)。2 .病人的日接触率为，日治愈率为(与SI模型相同)，传染期接触数为(2)模型建立s(t) i(t) r(t) 1(1)由假设1显然有对于病愈免疫的移出者而言应有N史dtNi(2)再记初始时刻的健康者和病人的比例分别是 模型的方程可以写作s0(s0>0)和i0(i0>0)(不妨设移出者的初始值r0=0),则SIRdi dt ds dtsi i,i(0) t0s

10、i, s(0)s0(3)(3)模型求解我们无法求出解析解，先做数值计算:设 1,0.3,i(0) 0.02, s(0)0.98,用MATLAB软件编程:function y=ill (t, x) a=1;b=0.3;y=a*x(1)*x(2)-b*x(1), -a*x(1)*x(2)'ts=0:50;x0=0.02,0.98;t,x=ode45('i11',ts,x0);t,xplot(t,x(:,1),t,x(:,2),grid,pauseplot(x(:,2),x(:,1)表1i(t),s(t)的数值计算结果i(t)0.02000.03900.07320.12850

11、.20330.27950.33120.34440.3247s(t)0.98000.95250.90190.81690.60270.54380.39950.28390.2027t91015202530354045i(t)0.28630.24180.07870.02230.00610.00170.00050.00010s(t)0.14930.11450.05430.04340.04080.04010.03990.03990.0398t 012345678i(t),s(t)的图形s图形(相轨线)Mtqt)的图形见左图，is的图形见右图,由上图结合表1可知，i(t)由初值增长至约t(4)结果分析称为相

12、轨线，随着t的增加，(s/)沿轨线自右向左运动。7时达到最大值，然后减少，t 40; s(t) 则单调,s 0.0398进行相轨线分析，可得:si平面称为相平面，相轨线在相平面上的定义域(s,i) D 为D (s,t)|s 0,i 0,s i 1在方程（3）中消去出，并注意到 的定义，可得di 1 i(4)dt s 11s so i0容易求出它的解为1 . s(5)i (a io) s In so在定义域D内，上式表示的曲线即为相轨线1.不论初始条件S0/0如何，病人终将消失，即(6)ds其证明如下，首先，由（3）, dtdr而s0故s存在；由（2）, dt°,而1 ,故r存在,dr

13、再由（1）,对于充分大的t有dt2 ,这将导致，与r存在相矛盾。2.最终未被感染的健康者的比例是s，在（5）式中令i 0得到，s是方程s0i0s在（o/ ）内的根。在图形上,s是相轨线与s轴在（01/ ） 内交点的横坐标。3 .若 s01/ ，则i（t）先增加，当s 1/时，i（t）达到最大值is01i0(1 In %)(8)然后i（t）减小且趋近于0, s（t）则单调减小至s 。4.若% 1/ ，则i（t）单调减少至0, s（t）单调减少至sO如果仅当病人比例 i有-一段增长的时期才认为传染病在蔓延，那么 1/是一个阈值，当s0 " （即1/s0）时传染病就会蔓延。而减小传染期接触数，即提高阈值1/ ，使得s0 1/ （即1/s。），传染病就不会蔓延（健康者比例的初始值So是一定的，通常可认为 s0接近1）。并且，即使So 1/ ，从（7）, （8）式可以看出， 减少时，s增加（通过作图分析），im降低，也 控制了蔓延的程度，我们注意到，在/中，人们的卫生水平越高，日接触率越小；医疗水平越高，日治愈率 越大，于是 越小，所以提高卫生水平