一元二次方程知识点及其应用

1、一、相关知识点1 .理解并掌握一元二次方程的意义未知数个数为1,未知数的最高次数为 2,整式方程，可化为一般形式；2 .正确识别一元二次方程中的各项及各项的系数2 一一、一(1)明确只有当二次项系数 a 0时，整式方程ax bx c 0才是一兀二次方程。(2)各项的确定(包括各项的系数及各项的未知数 ).(3)熟练整理方程的过程3 . 一元二次方程的解的定义与检验一元二次方程的解4 .列出实际问题的一元二次方程二.解法1 .明确一元二次方程是以降次为目的，以配方法、开平方法、公式法、因式分解法等方法为手段，从而 把一元二次方程转化为一元一次方程求解；2 .根据方程系数的特点，熟练地选用配方法、

2、开平方法、公式法、因式分解法等方法解一元二次方程；3 .体会不同解法的相互的联系；4 .值得注意的几个问题： (1)开平方法：对于形如 x2 n或(ax b)2 n(a 0)的一元二次方程，即一元二次方程的一边是含有未知数的一次式的平方，而另一边是一个非负数，可用开平方法求解形如x2 n的方程的解法：当 n 0 时，x n ；当 n 0 时，x1 x2 0 ；当n 0时，方程无实数根。(2)配方法：通过配方的方法把一元二次方程转化为(x m)2 n的方程，再运用开平方法求解。配方法的一般步骤：移项：把一元二次方程中含有未知数的项移到方程的左边，常数项移到方程的右边;2(x m) n的形式;“系

3、数化1”：根据等式的性质把二次项的系数化为1;配方：将方程两边分别加上一次项系数一半的平方，把方程变形为求解：若n 0时，方程的解为x m 石，若n 0时，方程无实数解。(3)公式法：一元二次方程2ax bx c 0(a 0)的根 xb b4ac2a当b2 4ac 0时，方程有两个实数根，且这两个实数根不相等；2b当b 4ac 0时，方程有两个实数根，且这两个实数根相等，写为 x x22a当b2 4ac 0时，方程无实数根.公式法的一般步骤：把一元二次方程化为一般式；确定 a,b,c的值；代入b2 4ac中计算其值，判断方程是否有实数根；若 b2 4ac 0代入求根公式求值，否则，原方程无实数

4、根。(因为这样可以减少计算量。另外，求根公式对于任何一个一元二次方程都适用，其中也包括不完全的一 元二次方程。)(4)因式分解法：因式分解法解一元二次方程的依据：如果两个因式的积等于0,那么这两个因式至少有一个为0,即:若 ab 0,贝U a 0或b 0；因式分解法的一般步骤：若方程的右边不是零，则先移项，使方程的右边为零；把方程的左边分解因式；令每一个因式都为零，得到两个一元一次方程；解出这两个一元一次方程的解可得到原方程的两个解。(5)选用适当方法解一元二次方程对于无理系数的一元二次方程，可选用因式分解法，较之别的方法可能要简便的多，只不过应注意二次根式的化简问题。方程若含有未知数的因式，

5、选用因式分解较简便，若整理为一般式再解就较为麻烦。(6)解含有字母系数的方程(1)含有字母系数的方程，注意讨论含未知数最高项系数，以确定方程的类型；(2)对于字母系数的一元二次方程一般用因式分解法解，不能用因式分解的可选用别的方法，此时一定不要忘记对字母的取值进行讨论。三、根的判别式1. 了解一元二次方程根的判别式概念，能用判别式判定根的情况，并会用判别式求一元二次方程中符合题意的参数取值范围。1 1)= b2 4ac(2)根的判别式定理及其逆定理：对于一元二次方程2ax bx c 0 ( a 0)当方程有两个不相等的实数根；当a00时方程有两个相等的实数根；)当a方程无实数根;方程有实数根;

6、从左到右为根的判别式定理；从右到左为根的判别式逆定理。2 .常见的问题类型(1)利用根的判别式定理，不解方程，判别一元二次方程根的情况(2)已知方程中根的情况，如何由根的判别式的逆定理确定参数的取值范围(3)应用判别式，证明一元二次方程根的情况先计算出判别式(关键步骤)；第2页共7页用配方法将判别式恒等变形；判断判别式的符号；总结出结论.（4）分类讨论思想的应用：如果方程给出的时未指明是二次方程，后面也未指明两个根，那一定要对方程进行分类讨论，如果二次系数为0,方程有可能是一元一次方程；如果二次项系数不为0, 一元二次方程可能会有两个实数根或无实数根。（5） 一元二次方程根的判别式常结合三角形

7、、四边形、不等式（组）等知识综合命题，解答时要在全面分析的前提下，注意合理运用代数式的变形技巧（6） 一元二次方程根的判别式与整数解的综合（7） 判别一次函数与反比例函数图象的交点问题四、一元二次方程的应用1 .数字问题：解答这类问题要能正确地用代数式表示出多位数，奇偶数，连续整数等形式。2 .几何问题：这类问题要结合几何图形的性质、特征、定理或法则来寻找等量关系，构建方程，对结果要 结合几何知识检验。3 .增长率问题（下降率）：在此类问题中，一般有变化前的基数（ a）,增长率（X）,变化的次数（n）, 变化后的基数（b）,这四者之间的关系可以用公式 a（i x）n b表示。4 .其它实际问题

8、（都要注意检验解的实际意义，若不符合实际意义，则舍去）。五.实际应用（1）有100米长的篱笆材料，想围成一矩形仓库，要求面积不小于600平方米，在场地的北面有一堵 50米的旧墙，有人用这个篱笆围成一个长40米、宽10米的仓库，但面积只有 400平方米，不合要求，问应如何设计矩形的长与宽才能符合要求呢？（2）读诗词解题（列出方程，并估算出周瑜去世时的年龄）：大江东去浪淘尽，千古风流数人物，而立之年督东吴，英年早逝两位数，十位恰小个位三，个位平方与寿符，哪位学子算得准，多少年华属周瑜？ （36岁）已知：a,b,c分别是 ABC的三边长，当 m 0时，关于x的一元二次方程c（x2 m） b（x2 m

9、） 2max 0有两个相等的实数根，求证：ABC是直角三角形。第3页共7页(4)已知：a,b,c分别是ABC的三边长，求证：方程 b2x2 (b2 c222a )x c。没有实数根。(5)当m是什么整数时，关于x的一元二次方程 mx2 4x 4 0与x224mx 4m 4m 5 0 的根都是整数？ ( m 1)(6)已知关于x的方程x2 2x2m 1 -x 2x 2m0 ,其中m为实数，(1)当m为何值时，方程没有实数根？ ( 2)当m为何值时，方程恰有三个互不相等的实数根？求出这三个实数根。答案：(1) m 2 x 1, 1 2.(二)一元二次方程的解法1.开平方法解下列方程：(1) 5x2

10、 125 0 (x1 5, x25)(2) 169(x 3)2289(Xi56,X21322一)13-2(3) y 3610 (原方程无实根)(4) (1 V3)m2 0 (m1 m20)(5) 方法解方程：(1) x2 2x 5 0(x 1 V6)2(2) y 5y 1 05212(3) 式法解下列方程:(1) 3x2 6x 2(x(2) p2 3 243P( Pi P2 73)4.因式分解法解下列方程：,、1 2(1) _x 9 0（ x 6）42(2) y4 y 45 0 ( y19,y25)- 2一一-13(3) 8x210x30 (xi ,X2)42(4) v7x2 V21x 0 (

11、x1 0,x2 73)5 .解法的灵活运用（用适当方法解下列方程）(1) 2(2x 7)2 属 (x 7 0)2222 2m m 1 2(m2m) (m6.解含有字母系数的方程（解关于x的方程）：(1) x2 2mx m2 n2 0(x1 m n, x2 m n) x2 3a2 4ax 2a 1(x1 3a 1,x2 a 1)（三）一元二次方程的根的判别式1 .不解方程判别方程根的情况：(2) 3(x2 2) 4x (无实数根)1） ） 4x2 x 3 7x （有两个不等的实数根）2） k为何值时，关于 x的二次方程kx2 6x 9 0（1）有两个不等的实数根（k 1且k 0）（2）有两个相等

12、的实数根（k 1）（3）无实数根（k 1）第5页共7页3.已知关于x的方程 4x2 (m 2)x1 m有两个相等的实数根.求m的值和这个方程的根.(m2,xi1 -x2 一或m 10, x12X224.若方程x2一 ，、2一2( a 1)x a 4a 50有实数根,求：正整数a.(a 1, a 2,a 3)5.对任意实数m,求证：关于x的方程(m21)x222mx m0无实数根.6. k为何值时,2万程(k 1)x(2 k 3)x(k 3)0有实数根.7.设m为整数，且4 m 40时，方程x22(2m3)x 4m2 14m 8 0有两个相异整数根,的值及方程的根。(当m=12时，方程的根为x1

13、 16, x2 26 ；当m =24时，方程的根为x1 38, x252 )第6页共7页3.某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可以售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场每天可多售出2件，若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？（20元）4.已知甲乙两人分别从正方形广场ABCD的顶点B、C同时出发，甲由 C向D运动，乙由B向C运动,甲的速度为每分钟 1千米，乙的速度每分钟 2千米，若正方形广场周长为40千米，问几分钟后，两人相距2J10千米？（2分钟后）7.某科技公司研制一种新产品，决定向银行贷款200万元资金，用于生产这种产品，签订的合同上约定两年到期时一次性还本付息，利息为本金的8%,该产品投放市场后由于产销对路，使公司在两年到期时除还清贷款的本金和利息外，还盈余72万元，若该公司在生产期间每年比上一年资金增长的百分数相同，试求这个百分数.（20%）8.如图，东西和南北向两条街道交于O点，甲沿东西道由西向东走