2020高考数学(文)刷题首选卷：双曲线(含解析)

1、考点测试 49 双曲线一、基础小题22y x 11已知双曲线 C：a2b21(a>0，b>0)的渐近线方程为 y± 2x，则双曲线 C的离心率 为()A 25 B 5 C 26 D 6答案 B解析 由题意可得 ba 21，则离心率 eca 1 ab2 5，故选 B222已知双曲线 2x y 1 的实轴长为 10，则该双曲线的渐近线的斜率为 ( ) m16 4m 3A± 45 B ± 54 C 45±5 D±335答案解析22由 m2 16 52，解得 m3（ m 3舍去） 所以 a5，b3，从而± ab± 35，

2、故a5选 D3已知平面内两定点A（5，0），B（5，0），动点 M满足| MA| | MB| 6，则点 M的轨迹方程是 ( )22xyA 116 9B2y 1( x4)16 92 x C92161D22xy 1( x3)9 16答案解析由双曲线的定义知， 点 M的轨迹是双曲线的右支， 故排除 A，C；又 c 5，a 3，22222 b2 c2 a2 16xy焦点在 x 轴上，轨迹方程为 9161（x3）故选 D4双曲线y21 的焦点到渐近线的距离为 （ ）A 2 B 3 C 1 D 12答案 C解析 焦点 F（ m 1，0）到渐近线 x± my0 的距离 d|m1±02|

3、1，故选 C1m25已知双曲线C：2a2yb21（ a>0，b>0）的焦距为 10，点 P（2 ，1）在 C的渐近线上，则 C的方程为 （2xA20)2y51B22x522y0212xC8x022y01D22xy 120 80答案解析2xy2ab221的焦距为 10， c5 a2 b2又双曲线渐近线方程为 y± abx，且 P（2 ， 1）在渐近线上， 2ab1，即 a2baa22由解得 a2 5， b 5，则 C的方程为 2x0y51故选 A6已知双曲线22xyC：a2b21(a>0，b>0) 的左、右焦点分别为 F1，F2，点 M与双曲线 C的焦点不重合，

4、点M关于 F1，F2的对称点分别为 A， B，线段 MN的中点在双曲线的右支上，若| AN| | BN| 12，则 a()A3 B 4 C 5 D 6 答案 A解析 如图，设 MN的中点为 C，则由对称性知 F1，F2 分别为线段 AM，BM的中点，所以1 1 1| CF1| 2| AN| ，| CF2| 2| BN| 由双曲线的定义，知 | CF1| | CF2| 2a2(| AN| | BN|) 6， 所以 a 3，故选 A22xy7已知双曲线 C：a2 b2 1( a>0， b>0) 的离心率 e 2，且它的一个顶点到相应焦点的距离为 1，则双曲线 C的方程为 2答案 x2y

5、3 1解析由题意得ca1，cca2，解得 a 1，c2，2则 b 3，故所求方程为 x2y3 1322P 在双曲线上，若点 P 到焦点xy8设 F1，F2 分别为双曲线 1 的左、右焦点，点16 20F1 的距离等于 9，则点 P到焦点 F2的距离为 答案 17解析 解法一：实轴长 2a8，半焦距 c 6， | PF1| | PF2| 8 | PF1| 9，|PF2|1或|PF2| 17又 | PF2|的最小值为 ca64 2， | PF2| 17 解法二：由题知，若 P在右支上， 则| PF1| 2 810>9，P在左支上 |PF2|PF1|2a 8， | PF2| 9817二、高考小

6、题22xy9（2018·全国卷 ） 双曲线 a2b21（ a>0， b>0）的离心率为 3，则其渐近线方程为A y± 2x B y± 3x答案A解析eca 3， ab2 c a2ae21312，ba 2因为该双曲线的渐近线方程为 y± abx，所以该双曲线的渐近线方程为y± 2x，故选 A2x10（2018·全国卷 ）已知双曲线 C： 3 y2 1，O为坐标原点， F为 C的右焦点，过 F3的直线与 C的两条渐近线的交点分别为 M，N若 OMN为直角三角形，则 | MN| （）A 23 B 3 C 2 3 D 4答案 B解

7、析 由题意分析知， FON30°所以 MON 60°，又因为 OMN是直角三角形，1不妨取 NMO90°，则ONF30°，于是 FNOF2，FM2OF1，所以| MN| 3故选 B22 xy 11（2018·全国卷 ）设 F1， F2是双曲线 C：a2b21（a>0，b>0） 的左、右焦点， O是坐标原点过 F2作C的一条渐近线的垂线，垂足为P若|PF1| 6| OP| ，则 C的离心率为A 5 B 2 C 3 D 2 答案 C解析 由题可知 | PF2| b，| OF2| c， | PO| a在 Rt POF2中，cos PF2O

8、| PF2| | OF2| b，c，在 PF1F2 中，cos PF2O| PF2| 2| F1F2| 2 | PF1| 22| PF2| F1F2|b，c，b2 4c2 6a 2 b 2 22b·2cc? c 3a，e3故选 C22xy12（2018·天津高考 ）已知双曲线 a2b21（a>0，b>0）的离心率为 2，过右焦点且垂直于 x 轴的直线与双曲线交于 A，B 两点设 A，B 到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d1和 d2，且 d1 d2 6，则双曲线的方程为 （ ）2xAx4212122xyB 1x2 y4 12 x Cx32y921D22x9y31

9、答案解析2x 双曲线3a2 ， c22 2 2y 2 b b 2a2 b2 1（ a>0， b>0）的离心率为 2， e21 a2 4， a2 3，即 b2b22 2 2a2b24a2，由题意可设 A（2 a， 3a） ， B（2 a， 3a） ， 23，渐近线方程为ay± 3x，则点 A 与点 B 到直线 3xy0 的距离分别为 d1|2 3a2 3a| 2 32 3a，d2|2 3a 3a| 2 3 32 33 2 3 32 2 2 a，又 d1 d2 6， 2 a 2 a 6，解得 a 3， b2229双曲线的方程为 x3 y91，故选 C22xy13（2018&#

10、183;江苏高考 ） 在平面直角坐标系 xOy中，若双曲线 2 2 1（ a>0，b>0）的右焦 ab点 F（c， 0） 到一条渐近线的距离为 23c，则其离心率的值是 答案 2解析 双曲线的一条渐近线方程为bxay0，则 F（c，0） 到这条渐近线的距离为b 23c，b243c2，又 b2 c2 a2， c24a2，c2214（2017·全国卷 ） 已知双曲线 C：xy a2b21（ a>0，b>0）的右顶点为A，以 A 为圆心，b 为半径作圆 A，圆 A 与双曲线 C的一条渐近线交于 M，N两点若 MAN60°，则 C的离 心率为 答案 233解

11、析 如图，由题意知点 A（ a，0） ，双曲线的一条渐近线 l 的方程为 y bx，即 bx ay a0，点A到 l 的距离 d a2 b 2a2b2又 MAN60°，| MA| | NA| b， MAN为等边三角形，23b，a23b2，c三、模拟小题22x y 2 2 215（2018·河北黄冈质检 ）过双曲线 a2b21（a>0，b>0）的右焦点 F 作圆 x2y2a2的切线 FM（切点为 M） ，交y轴于点 P，若 M为线段 FP的中点，则双曲线的离心率为 （ ）A 2 B 3 C 2 D 5答案 A解析 连接 OM由题意知 OMPF，且| FM| | P

12、M| ，| OP| | OF| ， OFP45°，| OM| | OF| ·sin45 °，即 ac· 2， ec 2故选 A 2a2216（2018·河南洛阳尖子生联考 ）设 F1，F2分别为双曲线 x9 1y6 1 的左、右焦点，过 F1引圆 x2y29的切线 F1P交双曲线的右支于点 P，T为切点， M为线段 F1P的中点， O为坐 标原点，则 | MO|MT| 等于（）A4 B 3 C 2 D 1答案 D1 1 1 1解析 连接 PF2，OT，则有| MO| 2| PF2| 2（| PF1| 2a） 2（| PF1| 6） 2| PF1

13、| 3，| MT| 1 1 2 2 1 1 12| PF1| | F1T| 2| PF1| c 3 2| PF1| 4，于是有 | MO| | MT| 2| PF1| 32| PF1| 4 1，故选 Dy28x 的焦点相同，若以点 F 为圆心， 2 为半径的圆与双曲线C的渐近线相切，则双曲线C的方程为 （A x 1B y 1332222Cy2x1Dx2y212222答案D解析设双曲线C的方程为2x22y22x2a2y2 1（ a>0， b>0） ，而抛物线 by2 8x 的焦点为（2，0），17（2018·哈尔滨调研 ）已知双曲线 C的右焦点 F 与抛物线相切，由2 2

14、2 2 b 即 F（2 ， 0） ， 4a2b2又圆 F：（ x 2） 2 y2 2 与双曲线 C的渐近线 y± x a双曲线的对称性可知圆心 F到双曲线的渐近线的距离为 2 2 2， a2 b2 2，故双曲 b2a222xy线 C的方程为 2 21故选 D2218（2018·安徽淮南三校联考 ） 已知双曲线 x4 y2 1 右焦点为 F，P为双曲线左支上一点，点 A（0， 2），则 APF周长的最小值为 （ ）A4 2 B 4（1 2）C 2（ 2 6） D 6 3 2答案 B解析 由题意知 F（ 6，0） ，设左焦点为 F0，则 F0（ 6， 0） ，由题意可知 APF

15、的周长 l 为| PA| | PF| | AF| ，而| PF| 2a| PF0| ，l | PA| | PF0| 2a| AF| |AF0 | | AF| 2a 0 62 202602 0 2 22×2 4 244（ 21） ，当且仅当 A，F0，P 三点共线时取得“”，故选B19（2018·河南适应性测试）已知 F1，F2 分别是双曲线22 xya2b21（ a>0，b>0） 的左、右焦点， P是双曲线上一点，若 | PF1| | PF2| 6a，且 PF1F2的最小内角为 ，则双曲线的渐近6线方程为 （ ）1A y±2x B y± 2x

16、C y± 22x D y± 2x答案 D解析 不妨设 P为双曲线右支上一点，则| PF1|>| PF2| ，由双曲线的定义得 | PF1| | PF2|2c>2a， 2a，又|PF1|PF2|6a，所以 | PF1| 4a，| PF2| 2a又因为4a>2a，所以 PF1F2 为最小内角，故 PF1F26 由余弦定理，可得2224a 2c 2a2·4a·2c3，2，2 2 2 2 c 3a ， b c a2a2? ba 2，所以双曲线的渐近线方程为y± 2x，故选 D22 xy20（2018·山西太原五中月考 ）已知

17、 F1，F2是双曲线 a2b21（a>0，b>0） 的左、右焦点，2过F1的直线 l 与双曲线的左支交于点 A，与右支交于点 B，若| AF1| 2a， F1AF2 3 ，则SAF1F2（SABF2 （112A 1 B C D 233答案 B解析 如图所示，由双曲线定义可知 | AF2| | AF1| 2a又| AF1| 2a，所以| AF2| 4a，21 1 3因为 F1AF2 23 ，所以 SAF1F212|AF1|·|AF2|·sinF1AF212×2a×4a× 232 33 2 2 2a2设| BF2| m，由双曲线定义可知

18、 | BF1| | BF2| 2a，所以 | BF1| 2a| BF2| ，又知| BF1| 2a| BA| ，所以| BA| | BF2| 又知 BAF2 3，所以 BAF2为等边三角形，边长为 4a， 所以 S ABF2 43| AB| 2 43×(4a)24 3a2，所以 SSAAFB1FF222 3a221，故选 B4 4S ABF2 4 3a 222xy21(2018·广东六校联考 )已知点 F为双曲线 E：a2b21(a>0，b>0)的右焦点，直线 ykx( k>0)与E交于不同象限内的 M， N两点，若 MFNF，设 MNF，且 12，6，

19、则该双曲线的离心率的取值范围是 ( )A 2， 2 6 B 2 ， 31C2 ， 2 6 D 2， 31答案 D解析 如图，设左焦点为 F，连接 MF， NF，令| MF| r 1，| MF| r 2，则| NF| | MF| r 2，由双曲线定义可知 r 2r 12a ，点 M与点 N关于原点对称，且 MFNF， 2 2 2 2 2| OM| |ON| OF|c，r21r224c2 ，由得 r 1r 2 2（ c2a2） ，又知 SMNF2SMOF2r1r221 2 2 2 2 2 1 12c·sin2，cac·sin2 ，e1s1in2，又12，6，sin21 3 12

20、，2，e21sin22，（ 31）2 又e>1， e 2， 31 ，故选 D222（2018·河北名校名师俱乐部二调 ）已知 F1， F2分别是双曲线 x2y21（ b>0）的左、 b右焦点， A是双曲线上在第一象限内的点，若 |AF2|2 且 F1AF245°，延长 AF2交双曲线 的右支于点 B，则 F1AB的面积等于 答案 4解析 由题意知 a 1，由双曲线定义知 | AF1| | AF2| 2a2， | BF1| | BF2| 2a 2，|AF1|2|AF2|4，|BF1|2|BF2|由题意知 | AB| | AF2| | BF2| 2| BF2|， |

21、BA| BF1| ， BAF1为等腰三角形， F1AF245°， ABF190°， BAF1 为等腰直角三角形 | BA| | BF1| 22| AF1| 22×42 2SF1AB12| BA| ·|BF1| 12×2 2×2 2 4一、高考大题本考点在近三年高考中未涉及此题型二、模拟大题22 xy 1（2019·河北武邑中学月考 ）已知? m R，直线 l ：y xm与双曲线 C：2 b21（ b>0）恒有公共点（1） 求双曲线 C的离心率 e 的取值范围； 1（2） 若直线 l 过双曲线 C的右焦点 F，与双曲线交

22、于 P，Q两点，并且满足 FP 1FQ，求yxm，（1） 联立 x2 y2 2 1，2 b2 1，5 双曲线 C 的方程消去 y，整理得 （b22）x24mx2（m2b2） 0b22，m0 时，易知直线 l 是双曲线 C的一条渐近线，不满足题意，故b22，易得 e 2当b22时，由题意知 16m28（b22）（m2b2）0，即 b22 m2，故 b2>2，2 2 2 22 c a b 2 b 则 e 2 2 >2， e> 2 a a 2综上可知， e 的取值范围为 （ 2， ）yxc，（2） 由题意知 F（ c，0） ，直线 l ：yxc，与双曲线 C的方程联立， 得 x2

23、y2 2b21，消去 x，化简得 （ b2 2） y2 2cb2y b2c22b20，当 b22 时，易知直线 l 平行于双曲线 C的一条渐近线，与双曲线 C只有一个交点，不 满足题意，故 b22设 P（x1，y1） ，Q（ x2，y2），2cb2 y1y2 b22 ， b2c2 2b2 y1y2 b2 2 ，因为 FP51FQ， 所以 y1 15y2， 由可得cb2 y13 b22 ，5cb2 y2 3 b2 2 ，代入整理得2 2 2 25c2b29（ b2 2）（ c22） ，又 c2b22，所以 b2 722所以双曲线 C的方程为 x2y7 122xy 2（2018·惠州月考

24、 ） 已知双曲线 C： 2 21（a>0，b>0）的一条渐近线的方程为 y 3 abx，右焦点F 到直线 x a 的距离为 3 c2（1） 求双曲线 C的方程；（2） 斜率为 1且在 y 轴上的截距大于 0的直线 l 与双曲线 C相交于 B，D两点，已知 A（1 ，0），若 DF·BF1，证明：过 A， B， D三点的圆与 x轴相切 解 （1） 依题意有 b 3， c a 3 ，a c 22 2 2 2 a b c ， c 2a， a 1， c 2， b 3，2双曲线 C的方程为 x2y3 1（2） 证明：设直线 l 的方程为 yxm（ m>0），B（x1，x1m）

25、，D（ x2，x2 m） ，BD的中点为 M，yxm，2x2y31，得 2x22mxm2 30，x1x2m， x1x2m23又 DF· BF 1，即（2 x1）（2 x2）（x1m）（ x2m） 1， m0（ 舍）或 m2，7 x1 x22， x1x2 2，M点的横坐标为x1x21， DA·BA （1 x1）（1 x2） （x1 2）（ x22） 5 2x1x2x1x257 20，ADAB，过 A，B， D三点的圆以点 M为圆心， BD为直径，点 M的横坐标为 1， MA x 轴，1| MA| 2| BD| ，过 A， B， D三点的圆与 x 轴相切22 xy 3(2019

26、·山西太原一中月考 )已知直线 l ：yx2 与双曲线 C： 2 21( a>0，b>0) ab相交于 B，D两点，且 BD的中点为 M(1 ，3) (1) 求双曲线 C的离心率；(2) 设双曲线 C的右顶点为 A，右焦点为 F，| BF| ·|DF| 17，试判断 ABD是否为直角 三角形，并说明理由解 （1） 设 B（x1，y1），D（ x2，y2）22x把 yx 2 代入 2a并整理得 （b2a2）x24a2x4a2a2b20，2 2 2 24a4a a b则 x1 x2 22， x1x2 2 2 b ab a由 M(1 ， 3) 为 BD的中点，得x1x222a2b2a21，即 b23a2，故 c a2 b2 2a， 所以双曲线 C的离心率 e c2a22(2) 由 (1) 得 C的方程为 x2 y 21，a 3aA（ a， 0） ，F（2 a，0），x1x22，x1x2243a22<0，不妨设 x1 a， x2a，则|BF| x12a 2 y21 x12a 23x123a2 a 2x1，|DF| x22a y2 x2 2a 3x2 3a 2x2 a，22所以| BF| ·|DF| （ a 2x1）（2 x2a）2a（x1x2） 4x