两角和与差的正弦余弦正切公式教学设计

1、两角和与差的正弦、余弦、正切公式?教学设计一、教学分析1. 两角和与差的正弦、余弦、正切公式是在研究了两角差的余弦公式的根底上,进一步研究具有“两角和差关系的正弦、余弦、正切公式的.在这些公式的推导中,教科书都把对照、比拟有关的三角函数式,认清其区别,寻找其联系和联系的途径作为思维的起点,如比拟cos a - 3 与cos a +.,它们都是角的余弦只是角形式不同,但不同角的形式从运算或换元的角度看都有内在联系,即a+ 3 =a - 3 的关系,从而由公式 C推得公式C + W,又如比拟sin也-3 与cos也-3 ,它们包含的角相同但函数名称不同,这就要求进行函 数名的互化,利用诱导公式5

2、6即可推得公式 S%、&+W等.2. 通过对“两角和与差的正弦、余弦、正切公式的推导,揭示了两角和、差的三角函数与这两角的三角函数的运算规律,还使学生加深了数学公式的推导、证实方法的理解.因此本节内容也是培养学生运算水平和逻辑思维水平的重要内容,对培养学生的探索精神和创新能力,发现问题和解决问题的水平都有着十分重要的意义3. 本节的几个公式是相互联系的,其推导过程也充分说明了它们之间的内在联系,让学生深刻领会它们的这种联系,从而加深对公式的理解和记忆.本节几个例子主要目的是为了练习学生思维的有序性,逐步培养他们良好的思维习惯,教学中应当有意识地对学生的思维习惯进行引导,例如在面对问题时, 要注

3、意先认真分析条件,明确要求,再思考应该联系什么公式,使用公式时要具备什么条件等 .另外,还要重视思维过程的表述,不能只看最后结果而不顾过程表述的正确性、简捷性等,这些都是培养学生三角恒等变换水平所不能无视的.二、三维目标1. 知识与技能：在学习两角差的余弦公式的根底上,通过让学生探索、发现并推导两角和与 差的正弦、余弦、正切公式 ,了解它们之间的内在联系,并通过强化题目的练习,加深对公式的理解,培养学生的运算水平及逻辑推理水平,从而提升解决问题的水平2. 过程与方法：通过两角和与差的正弦、余弦、正切公式的运用,会进行简单的求值、化简、 恒等证实,使学生深刻体会联系变化的观点, 自觉地利用联系变

4、化的观点来分析问题, 提升 学生分析问题解决问题的水平 .3. 情感态度与价值观： 通过本节学习,使学生掌握寻找数学规律的方法,提升学生的观察分析水平,培养学生的应用意识,提升学生的数学素质三、教学重、难点教学重点：两角和与差的正弦、余弦、正切公式及其推导教学难点：灵活运用所学公式进行求值、化简、证实 四、教学用具三角板,彩色粉笔,幻灯片五、教学方法教法：引导探究,归纳总结学法：合作讨论,自主学习六、教学过程1. 导入新课(问题导入)教师出示问题,先让学生计算以下几个题目,既可以复习回忆上节所学公式,又为本节新课作准备.假设 sin a =5 , a (0, 2 ) , cos 3 =1 ,

5、3(0, 2 ),求 cos( a -3 ),cos( a + 3 )的值.学生利用公式 C(“ )很容易求得cos (a ),但是如果求 COS (a+ 6)的值就得想法转化为公式C(.)的形式来求,此时思路受阻,从而引出新课题,并由此展开联想探究其他公式.2. 推进新课提出问题 还记得两角差的余弦公式吗？请一位同学到黑板上默写出来 在公式C：)中,角6是任意角,请学生思考角a - 6中6换成角-.是否可以？此时观察角a +.与a -(- 3 )之间的联系,如何利用公式C %)来推导cos( a + 3 )=? 分析观察 C +6)的结构有何特征？ 在公式 G%)、C% + 6)的根底上能否

6、推导 sin( a +3 )=?sin( a - 3 )=? 公式S(“ )、S( + 6)的结构特征如何？ 比照分析公式 C %)、G % + 6)、S()、S( %+6),能否推导出 tan( a - 3 )=? tan (a + 6 ) = ? 分析观察公式 T( % )、T( % +6)的结构特征如何？ 思考如何灵活运用公式解题？活动：对问题,学生默写完后,教师播放幻灯片,然后引导学生观察两角差的余弦公式, 点拨学生思考公式中的a, 6既然可以是任意角,是怎样任意的？你会有些什么样的奇妙想法呢？鼓励学生大胆猜测,引导学生比拟 cos( a - 3 )与cos( a +.)中角的内在联系

7、,学生 有的会发现a - 6中的角6可以变为角-6 ,所以a -(- 3 )= a + 3也有的会根据加减运算关系直接把和角a + 6化成差角a -(- 3 )的形式.这时教师适时引导学生转移到公式C )上来,这样就很自然地得到cos( a + 3 )=cos a -(- 3 ) =cos a cos(- 3 )+sin a sin(- 3 )=cos a cos 3 -sin a sin 3 .所以有如下公式：cos( a + 3 )=cos a cos 3-sin a sin 3我们称以上等式为两角和的余弦公式,记作G +6 ).对问题,教师引导学生细心观察公式C +6)的结构特征,可知“

8、两角和的余弦,等于这两角的余弦积减去这两角的正弦积,同时让学生比照公式 G)进行记忆,并填空：cos75=cos()=.对问题,上面学生推得了两角和与差的余弦公式,教师引导学生观察思考,怎样才能得到两角和与差的正弦公式呢？我们利用什么公式来实现正、余弦的互化呢？学生可能有的想到利用诱导公式来化余弦为正弦(也有的会想到利用同角的平方和关系式sin 2也+cos2也=1来互化,此法让学生课下进行),因此有sin( a + 3 )=cos 2_(也 +.)】=cos (乏-也)-=cos(乙-a )cos 3 +sin( l - a )sin 3=sin a cos 3 +cos a sin 3 .

9、在上述公式中,6用-6代之,那么sin( a - 3 )=sin a +(- 3 ) =sin a cos(- 3 )+cos a sin(- 3 )=sin a cos 3 -cos a sin 3 . 因此我们得到两角和与差的正弦公式,分别简记为S( a + 6)、S( a ).sin( a + 3 )=sin a cos 3 +cos a sin 3 ,sin( a -3 )=sina cos (3 -cosa sin 3 .对问题,教师引导学生观察公式的结构特征并结合推导过程进行记忆,同时进一步体会本节公式的探究过程及公式变化特点,体验三角公式的这种简洁美、对称美 .为强化记忆,2行

10、5汗一 5/rcos + cos sm 教师可让学生填空,如sin( 0 +力)=, sin ?77 =.对问题,教师引导学生思考,在我们推出了公式C)、G“+w、J + 6)、8“)后,自然想到两角和与差的正切公式,怎么样来推导出tan( a - 3 )=?,tan( a + 3 )=?呢？学生很容易想到利用同角三角函数关系式,化弦为切得到.在学生探究推导时很可能想不到讨论,这时教师不要直接提醒,让学生自己悟出来siiiS + 向 sin cos当 cos( a +3 )丰 0 时,tan( a + 3 )= g + 的&迎书如果cos a cos 6乒0,即cos a乒0且COS.乒0时,

11、分子、分母同除以 COS a COS.得tan fl + tantan( a +3 )=1一启就,据角八.的任意性,在上面的式子中,.用 -.代之,那么有tan&+tan(-问 _ taniT-tantan( a - 3 )=l-tandtan(-) H-tanatan由此推得两角和、差的正切公式,简记为Ts )、T( % + 6).tan cr+tan Rtan(也 +3 )=1-皿tan a- tan fitan( a - 3 )=1 + tanat犯应对问题,让学生自己联想思考,两角和与差的正切公式中a、6、a 6的取值是任意的吗？学生回忆自己的公式探究过程可知,a、.、a6都不能等于2

12、 +k兀(k Z),并引导学生分析公式结构特征,加深公式记忆.对问题,教师与学生一起归类总结,我们把前面六个公式分类比拟可得G % +6)、& % +6 )、T( % +6)叫和角公式；8“ )、C( % )、T( %)叫差角公式.并由学生归纳总结以上六个公式的推导过程,从而得出以下逻辑联系图.可让学生自己画出这六个框图.通过逻辑联系图,深刻理解它们之间的内在联系,借以理解并灵活运用这些公式.同时教师应提醒学生注意：不仅要掌握这些公式的正用,还要注意它们的逆用及变形用.如两角和与差的正切公式的变形式tan a +tan 3 =tan( a + 3 )(1-tan a tan 3 ) , tan

13、 a -tan 3 =tan( a - 3 )(1+tan a tan 3),在化简求值中就经常应用到, 使解题过程大大简化, 也表达了数学的简洁美.对于两角 和与差的正切公式,当 tan a , tan.或tan (a6 )的值不存在时,不能使用 T(“b)处理某些有关问题,但可改用诱导公式或其他方法,例如：化简 tan( 2 - & ),由于tan 2的值不存在,所以改用诱导公式tan( 2 - 6 )=?来处理等.应用例如37T仃k 例1 sin a = 5 , a是第四象限角,求 sin(-a ),cos( 4 + a ),tan( 4 - a )的值.活动：教师引导学生分析题目中角的

14、关系,在面对问题时要注意认真分析条件,明确要求.再思考应该联系什么公式,使用公式时要有什么准备,准备工作怎么进行等.例如本 题中,要先求出cos a,tan a的值,才能利用公式得解,此题是直接应用公式解题,目的是 为了让学生初步熟悉公式的应用,教师可以完全让学生自己独立完成-W二in七- 7解：由sin a = 5 , a是第四象限角,得 cos a =*、.-tan a =7T 47T 把 4 很,3、7 心X - uX (= ) 于是有 sin( 4 - a )=sin 4 cos a -cos 4 sin a = 252510汗汗k也A ,人也x -x (-j =,cos( 4 + a

15、)=coscos a -sin 4 sin a =252510打tan a - tan 47TJr tan ta -1+ tan a tan 一 tan(-4)=,. =1 二点评：本例是运用和差角公式的根底题,安排这个例题的目的是为了练习学生思维的有序性,逐步培养他们良好的思维习惯.变式练习11. 不查表求cos75 ,tan105.的值.解：cos75 =cos(45 +30 )=cos45 cos30 -sin45 sin30 Vi 75 72 1 福-瑚X , Xj =_-_ I,tan 60 + tan 45n 右 士1= I tan105 =tan(60 +45 )=1 迅一二=-

16、(2+ ).37T2. 设 a (0, 2 ),假设 sin a = 5 ,那么 2sin( a +# )等于()7_7A. 5B. ：C.-D.4答案：A2 开33站 例 2 sin a = 3 , a ( 2 ,兀),cos 3 = 4,. (兀,己),求 sin( a - 3 ),cos( a + 3 ),tan( a + 3 ) .活动：教师可先让学生自己探究解决,对探究困难的学生教师给以适当的点拨,指导学生认真分析题目中条件和所求值的内在联系.根据公式 & 、6 + 6 、Ts +6 应先求出cos a、sin 6、tan a、tan.的值,然后利用公式求值,但要注意解题中三角函数值

17、的 符号.2解：由 sin a = 3 , a ( 2 ,兀),得卜异-笠 Scos a =寸1 汕.=-Y 3=3 , tan a =-137V 又由 cos 3 = 3,.(兀,2). .tan 3 =3 . 二 sin( a - 3 )=sin a cos 3 -cos a sin 3I Y (一务峥=学 =3 x( 4)-(412.够 3 2 1 cos( a +6 )=cos a cos 3 -sin a sin 3 =(3 )x ( 4)-3 x (4 )tan tan 只1 ten cr tan - tan( a +6 )=25 x 7753- 6 焰 + 5yf?点评：此题仍是

18、直接利用公式计算求值的根底题,其目的还是让学生熟练掌握公式的应用,练习学生的运算水平.变式练习2引导学生看章头图,利用本节所学公式解答课本章头题,增强学生的应用意识30解：设电视发射塔高 CD=x米,/ CAB或,贝U sin a =& ,工+ 30在 Rt ABD中,tan(45 + a )= 如 tan a .30tan(45十 a) 于是x=t如&,30 F602又- sin a =&7 , a (0, 2), . cos 61 ,tan a 土.14-11 + 01 CL 0 期- 1- tan a . 11 tan(45 +a )=3,30x3. x= 2-30=150(米).答：这座电视发射塔的高度约为150米.3例 3 在 ABC中,sinA= 5(0 A45 ),cosB=(45 B90 ),求 sinC 与 cosC 的值.活动：此题是解三角形问题,在必修5中还作专门的探究,这里用到的仅是与三角函数诱导公式与和差公式有关的问题,难度不大,但应是学生必须熟练掌握的.同时也能加强学生的