西安交大概率论2012017期末精彩试题解答

1、实用标准概率论与数理统计试题20162017第一学期(期末)试题解答一、完成下列各题(每小题 4分，共24分)111 .设随机事件A, B, C相互独立，P(A) =P(B) =，P(C)=，分别求出P(AUBUC) 24及P(ABC)的值。解：P(A)=1P(A), P(B)=1 -P(B), P(C) =1-P(C): A,B,C相互独立所以A,B,C也相互独立P(AB) -P(A)P(B), P(AC) -P(A)P(C), P(BC) -P(B)P(C )P(A B C) =P(A) P(B) P(C) - P(AB) -P(AC) - P(BC) P(ABC)15一 16P(A-BC

2、)=P(A BC) = P(A (B C) = P(A B) (A C)= P(A B) P(A C) 一 P(A B C)P(A)P(B) P(A)P(C) -P(A)P(B)P(C)_7_一 16相关知识： P(A) =1P(A), P(aU B) = P(A)+P(B) P(AB)_ (书 P11)事件的相互独立性：A,B相互独立 u P(AB) = P(A)P(B)四对事件A, B, A, B, A, B,A,B中有一对是相互独立的， 则另外三对也相互独立，此结论可推广至 n个事件的情形。(书 P20)事件的差：A-B=A BDe Morgan 律：AB=aUb文案大全实用标准2.房间

3、内有5个人，每个人在一年中（按 12个月计算）每个月出生的概率相等，求人中至少有两个人生于同一个月的概率。解：设事件A = 5人中至少两人生于同月则A =5人中无人同月出生P(A)=则P(A)=55C152 A555_51214489-1 - P(A)1445人中至少两人生于同月概率P（A）=89144相关知识:正难则反：发现某件事情的概率很难求时，可以考虑其对立事件的概率，再应用P(A) =1 -P(A)来求解。乘法原理：做一件事需经过 n个不同的步骤，而第i步有mi种方法，则完成它有n口 mi种不同的方法。3.解:设随机变量 X P（九），且P（X 1） =4P（X =2）,求P（X之3）

4、的值。2e-P(X 0,若 P(X 1) =e ,求 P(min( X,Y) 2)的值。-bo解：P(X A1)=f (x)dx = eX|1M = e/= e： 则九=31P(min( X,Y)三2) =1P(min(X,Y) 2) =1 - P(X 2)P(Y 2)因为X , Y同分布-be所以 P(X 2) = P(Y 2) = f(x)dx = e文案大全实用标准所以 P(min( X,Y) 2) =1 -e12相关知识：二维随机变量函数的概率分布(书本P62P67)-bo-boZ=X Y fz(z) = f(x, z-x)dx= f(z-y, y)dyX X Z=T fz(z) =

5、|y|f(yz,y)dy 丫二二M =max(X,Y), m =min(X,Y)Fm(z) =Fx(z)Fy(z) Fm(z) =1 -(1-Fx(z)(1-Fy(z)6.设总体X服从二项分布b(m, p), x1,x2，xn是来自x的简单随机样本。试求参数p的矩估计量p2的无偏估计量。1 n解：二 1 二E(X)=mp A = Xin i 11由矩估计法可行，？1 = m?(x1 , x2 - xn)n1 ,所以有？=(x1 ,x2x，-xn)mn2 = mp(1 - p) = D(X) 1n o -o上的无偏估计量是Sn = (Z Xi2 -nX2) n - 1 i 1?2 =mm?2 =

6、 x Xi2n X2n -1 i wn -1承上题，m?的无偏估计量是Xn所以 X -m?2 = x Xi2 - -X2n -1 i dn -d1(2nsiX2 m nFn -1文案大全实用标准相关知识：若 X B(m, p),则 E(X) =mp; D(X) =mp(1 p)。求 E(X2):D(X) =E(X2) -E2(X); E(X2) =D(X) E2(X)无偏估计量的定义：若 E(g =日，则称?是日的一个无偏估计量。(书本 P153)矩估计法：(书本 P145)二、已知某批产品中 90%是合格品，检查时，一个合格品被误认为次品的概率是0.05 ,次品误认为是合格品的概率是 0.0

7、2，试求：一个产品经检查后被认为是合格品的概率。一个经检查后被认为是合格品的产品确是合格品的概率。解：设B1 =某产品是合格品；B2 =某产品是次品；A =某产品被认为是合格品。则Bi, B2构成一个互斥完备事件组。则 P(Bi)=0.9 P(B2)=0.1P(A|Bi)=0.95 P(A|B2) -0.02P(A) =P(Bi)P(A|Bi) P(B2)P(A|B2)= 85.7%所以某产品被认为是合格品的概率P(A) =85.7%承上题，即求P(B | A)则 P(Bi | A)=P(ABi)P(A)P(Bi)P(A|Bi)P(Bi)P(A|Bi) P(B2)P(A|B2)855855 :

8、 99.8%857所以经检查后认为是合格品的确实是合格品的概率为P(Bi| A)=竺5定99.8%857相关知识：全概率公式与贝叶斯公式(书本Pi7)全概率公式：若事件B1,B2,Bn构成互斥完备事件组，则P(A)=Z P(Bj)P(A|Bj)。用法：可以将复杂事件概率分解为若干互斥的简单事件的分概率贝叶斯公式:P(Bi)b0P(Bj)P(A|Bj)用法：可以由事情的结果去推测原因文案大全实用标准三、随机变量 X的概率密度f (x) = x1 - (0 x 2)2，令Y = 2X+1,试求其他X的分布函数F(x)Y的概率密度 P(1x3)0(x0)小一X .12解： F(x) = f (x)d

9、x x x (0 _ x _ 2)二41(2 ：二 x)0(x0)1 2所以 F(x)= -x2 x (0 x 2)41 (x :二 2)(y ：二 1)(1 y 5)(5 :： y)02ZFY(y)=P(Y My)=P(X wT) = Fx(1)= 一，16 y -10 (y1)一.y 5所以 fY(y) = FY(y)=一岂十一(1 y 5)8 80 (y 5)G31 P(1 x 二 3) = Fx(3) -Fx(1) =1-4 4一,1所以 P(1 二 x 二 3) =1相关知识：连续型随机变量及其性质。(书本 P37)1四、设随机变量丫,丫2相互独立，都服从参数为P的(0,1 )分布，

10、若 P=,且令2XkY +Y2 =kY1 %二kk =1, 2。求二维随机变量(X1，X 2)的联合分布律。分别求出 (X1,X2)关于X1, X2的边缘分布律。X1, x2是否相互独立？证明你的结论。 01 1解：由题息得，丫，Y2 ； p=U-P PJ2文案大全实用标准P(X1 =1,X2 =1) =P(丫 +、=1 且丫 +Y2 =2)=01则容易得到P(X1 =1,X2 = -1) = P(Y +Y2=1)=_1P(X1 = -1,x2 = -1) = P(Y +y2 于1且Y +y202)=4_L1P(X1 = 1,X2 =1) = P(Y +Y2 于1 且Y +Y2 =2)=_X2

11、1-1P1/43/4X11-1P1/21/2X1，X2不相互独立:4X21-1PjX1101/4-11/21/4由上题，容易求到11P(X1 =1,X2 =1) =0 尸(X1 =1)=二尸(X2 =1)=:24P(X1 =1,X2 =1) =P(X1 =1)P(X2 =1)因此，由事件独立性定义，X1, X2不相互独立。相关知识：二项分布。(书本 P34)事件独立性定义。(书本 P20)y -、,e 0Mx y 五、二维随机变量(X,Y)概率密度为f (x, y)=y。0 其他求边缘密度函数fX(x)及fY(y)。求条件概率密度 fXY(x|y)。令Z = X +Y ,求Z的概率密度函数。业

12、0(x 0)解： fx(x)=f(x,y)dy =一qe(x20)文案大全(y :二 0)(y-0)实用标准注0fY(y) = ff(x,y)dx= qJe条件概率密度fX|Y(x| y) = f (x,y) (y 0) 1fY(y)1 (0 :二 x :二 y)fxY(x|y) =y0 (0 y x)-be fZ(z)= j f (x,z -x)dx当z0),其中日0为未知参数,0 (x0 ,有P(也一叫)=P(| 另E(Z)|)1D4 =1 D(X；n ；1 _P(|g 一吓；)1 所以1 一_ 2D(X )n /2、lim P(|) lim(1_-) 1n .n j 二二n -由夹逼准则

13、知，对 vo0, lim P（|成日|0,如果有 场P（|?-8|名）=1 ,则称夕是8的相合（一致）估计量。切比雪夫不等式： P（|X -E（X）卜：；）1-D毕。文案大全实用标准七、设总体 X, Y相互独立，X N(b,a2),Y N(k2,a|),心 仃；仃;均未知,今分别从两总体中抽取样本,X :24.320.8Y: 18.216.9得到观测值如下:23.720.221.316.717.4利用总体X的样本观测值,求 出的置信度为1 a = 0.95的置信区间。检验假设：H 0： c2H1，I2 =二2 (二=0.05)(已知上侧分位数点:F0.025(4,3) = 15.10,F0.0

14、25(3,4) =9.98,t0.025(4) = 2.776 )解：由题意得，有T = n(X )小1)S在本题中，T二5(X-L)由题意得FS2S1n12二 1S2n22二 2 F(n1 -1,叫 -1)在本题中，FSn1 F (4,3)假设H0为真,2则-2=1 ,二 2F *F(4,3)-1 5Lt(4);X =-x Xi =21.5n y152-2Xi2 -5X2) - 0, t =1,2,，n且满足 a =1。证明Z是。2的无偏估计量,且在仃2的所有形如nZ = aiZi的无偏估计量中Z的方差最 i 1小。求数学期望E(X-N)。解：证明:E(ZJ =E(Xi一二)2 =D(X) = ：;2nCCr2因此E(Z) =4仃2 =仃2 ,故Z是仃的无偏估计量，得证。i 1nD(Z)a：D(Zi);i 1Z X - J 99与=(X-)2 2(1);二2 二Zi1D(T =2 = D(Zi); crti._4D(Zi) =2二n, , , ,4 - 4所以 D(Z) =2。4% ai2 _2:4(a1 a2 -