立体几何二面角问题

1、实用标准文案立体证明题(2)1 .如图，直二面角 D- AB- E中，四边形 ABC比正方形，AE=EB F为CE上的点，且 BFX平面ACE(1)求证：AEX平面BCE(2)求二面角 B-AC- E的余弦值./2 .等腰 ABC中，AC=BC=, AB=2, E F分别为AG BC的中点，将 EFC沿EF折起，使 得C至ij P,得到四棱锥 P- ABFE且AP=BP=.(1)求证：平面 EFP1平面 ABFE(2)求二面角 B-AP- E的大小.精彩文档实用标准文案3.如图，在四棱锥 P- ABCD43,底向是止方形，侧面返PA=PD=2ad,若E、F分别为 PC BD的中点.(I) 求证

2、：EF/平面PAD(n) 求证：EFL平面PDCABPADL底向ABCD且4.如图：正 ABC与Rt BC所在平面互相垂直，且/ BCD=90 , / CBD=30 .(1)求证：AB，CD(2)求二面角 D- AB- C的正切值.5.如图，在四棱锥 P- ABCD43,平面PADL平面ABCD PAD是等边三角形，四边形 ABCD是平行四边形，/ ADC=120 , AB=2AD(1)求证：平面 PADL平面 PBD(2)求二面角 A- PB- C的余弦值.精彩文档实用标准文案6 .如图，在直三棱柱 ABC- ABC中，/ ACB=90 , AC=CB=CC2, E是AB中点.(I)求证：A

3、B,平面AiCE(n)求直线 AiG与平面AiCE所成角的正弦值.7 .如图，在四棱锥 P ABCD, PAL平面 ABCD / DAB为直角，AB/ CD AD=CD=2AB=2E, F分别为PC, CD的中点.(I )证明：AB,平面BEF;(n )若PAa求二面角E- BD- C.58.如图，在四棱锥 P- ABCD43, PA1平面 ABCD PA=AB=AD=2 四边形 ABCD1 足 AB± AD, BC/ AD且BC=4,点M为PC中点.(1)求证：DML平面PBC精彩文档实用标准文案(2)若点E为BC边上的动点，且 BE = K,是否存在实数入，使得二面角P-DE-

4、B的余EC弦值为2?若存在，求出实数入的值；若不存在，请说明理由.3BEC9.如图，ABED长方形,T® ABEDLT®(I) 求证：AML平面BEC(n) 求二棱锥B-ACE的体积；(出)若点Q是线段AD上的一点，且平面%c10.如图，直角梯形 ABCM等腰直角三角形AB=2CD=2BC EA! EB(1)求证：EA1平面EBC(2)求一面角 C- BE- D的余弦值.ECDABC AB=AC=5 BC=BE=6 且 M是 BC的中点QECL平面BEC求线段AQ的长.ABE所在的平向互相垂直，AB/ CD AB± BC精彩文档实用标准文案11 .如图，在四棱锥

5、P-ABCM,底面 ABCM直角梯形，AD/ BC, / ADC=90 ,平面 PAD，底面 ABCD。为AD中点，M是棱PC上的点，AD=2BC(1)求证：平面 POBL平面 PAD12 .如图，三棱柱 ABC- A1B1C中，侧棱 AAL平面ABC ABC为等腰直角三角形，/BAC=90 ,且 AB=AA, E、F 分别是 CC, BC的中点.(1)求证：平面 ABF，平面 AEF;(2)求二面角 B1 - AE- F的余弦值.13.如图，在菱形ABCD43, / ABC=60 ,AC与BD相交于点 O, AEX平面 ABCD CF/ AE,AB=AE=2(I )求证：BD1平面ACFE(

6、II )当直线FO与平面BD即成的角为45。时，求二面角B- EF- D的余弦角.精彩文档实用标准文案14 .如图所示，该几何体是由一个直三棱柱ADE- BCF和一个正四棱锥 P-ABCD&合而成,ADL AF, AE=AD=2(1)证明：平面 PADL平面 ABFE(2)求正四棱锥 P- ABCD勺高h,使得二面角 C- AF- P的余弦值是 工返.315 .如图，已知斜三棱柱 ABC ABC, / BCA=90 , AC=BC=2 A在底面 ABC上的射影恰为AC的中点D,且BA1XAG.(I)求证：AC,平面A1BC;(II)求二面角 A- AiB- C的平面角的余弦值.精彩文档

7、实用标准文案试卷答案1.【考点】与二面角有关的立体几何综合题；直线与平面垂直的判定.【分析】（1）由已知中直二面角 D- AB- E中，四边形 ABC比正方形，且 BF，平面ACE 我们可以证得 BFXAE, CB± AE,进而由线面垂直的判定定理可得AE!平面BCE（2）连接BD与AC交于G,连接FG设正方形ABCD勺边长为2,由三垂线定理及二面角 的平面角的定义，可得/ BGF是二面角B- AC- E的平面角，解 RtBFG即可得到答案.【解答】证明：（1） BF，平面ACE BFXAE- 二面角 D- AB- E为直二面角，且 CBL AB, .CBL平面 ABE .-.CB&

8、#177; AE-.AEL平面 BCE解：（2）连接BD与AC交于G连接FG设正方形 ABCM边长为2,BG± AC, BG=/2,BF垂直于平面 ACE由三垂线定理逆定理得FGL AC丁./ BGF是二面角 B- AC- E的平面角由（1） AE1平面 BCE彳导AE! EB, ,. AE=EB BE=/.在 RtBCE中，EC寸b（?+BE工农，由等面积法求得BF智卡普则,.在 RtBFG中,故二面角B- AC- E的余弦值为近.3精彩文档实用标准文案E2.【考点】二面角的平面角及求法；平面与平面垂直的判定.【分析】(1)用分析法找思路，用综合法证明.取 EF中点O,连接OP O

9、C等腰三角形 CEF中有COL EF,即OPL EF.根据两平面垂直的性质定理，平面 PEF和平面ABFE的交线 是EF,且POL EF,分析得POL平面ABFE故只需根据题中条件证出POL平面ABFE即可利用面面垂直的判定定理证得平面EFP1平面ABFE(2)根据第一问分析空间位置关系，可建立空间直角坐标线求得平面ABP和平面AEP的法向量的所成角，利用向量角和二面角关系，确定二面角大小.【解答】解：(1)证明：在 ABC中，D为AB中点，。为EF中点.由 AC=BC=/, AB=2 E、F分别为AG BC的中点， EF 为中位线，得 CO=OD=1COL EF，四棱锥 P- ABFE中，P

10、OL EF,？分 . ODL AB, AD=OD=1，AO=G又 apM，op=i,，四棱锥 P- ABFE中，有 AF2=AO+OP,即OPL AQ 4分又 AOH EF=O EF、AC?平面 ABFE OP，平面 ABFE 5 分又OP?平面EFP, 平面EFP1平面ABFE 一6分(2)由(1)知OD OF, OP两两垂直，以 O为原点，建立空间直角坐标系(如图)：则 A (1, 1, 0) , B (1,1, 0) , E (0,0) , P (0, 0, 1)7 分& 二q, U，o),命a,1, f 1),设定(篁，y，Z),左(/，/ , K )分别为平面AER平面ABP

11、的一个法向量，精彩文档则,竺必?:PA_L IT实用标准文案-y=0_取 x=1 ,得 y=2, z= - 1-z=0於a, 2, i)9分同理可得三二(1,D， ii分由于.尸0,所以二面角 B- AP- E为90° .12分3.【考点】空间中直线与平面之间的位置关系.【专题】证明题.【分析】对于（I）,要证 EF/平面PAD只需证明EF平行于平面PAD内的一条直线即 可，而E、F分别为PG BD的中点，所以连接 AC EF为中位线，从而得证；对于（n）要证明 EH平面PDC由第一问的结论，EF/ PA,只需证PA1平面PDC即可,已知PA=PD= 'AD,可得PA! PD

12、,只需再证明 PAI CD而这需要再证明 CDL平面2PAD由于ABC虚正方形，面 PADL底面ABCD由面面垂直的性质可以证明，从而得证.精彩文档实用标准文案PAB【解答】证明：（I）连接 AC贝U F是AC的中点，在 CPA中，EF/ PA （3分） 且PA?平面PAD EF?平面PAD .EF/平面 PAD （6 分）（n）因为平面 PADL平面 ABCD平面 PADH平面 ABCD=AD又CD! AD所以 CDL平面 PAD .CD，PA （9 分）又 PA=PD=AD,2所以 PAD等腰直角二角形，且/ APD=,即PAX PD （12分）而 Cm pd=d.PAU 面 PDC 又

13、EF/ PA,所以 EF,平面 PDC （14 分）【点评】本题考查线面平行的判定及线面垂直的判定，而其中的转化思想的应用值得注 意，将线面平行转化为线线平行；证明线面垂直，转化为线线垂直，在证明线线垂直时， 往往还要通过线面垂直来进行.4.【考点】与二面角有关的立体几何综合题；空间中直线与直线之间的位置关系.【分析】（1）利用平面 ABCL平面BCD平面AB平面BCD=BC可得DCL平面ABC利 用线面垂直的性质，可得 DCLAB;（2）过C作CE! AB于E,连接ED,可证/ CED二面角D- AB- C的平面角.设 CD=a则BC=三;=叱3曰，从而 EC=BCsin60°-r

14、,在 RtDEC中，可求 tan Z DEC tanJUz【解答】（1）证明：: DC! BC,且平面ABCL平面BCD平面AB3平面BCD=BC DC，平面 ABC又AB?平面ABC .DC，AB.（2）解：过 C作CELAB于E,连接ED,精彩文档实用标准文案. ABL CD AB± EC, CDA EC=C AB，平面 ECD又 DE?平面 ECD - AB± ED, / CED是二面角 D- AB- C的平面角,设 CD=a 贝U BC= tan30=小，.ABC是正三角形,EC=BCsin60°在 RtDEC中，=3a2，DC _ a _2tan / D

15、EC亚这涪【考点】MT二面角的平面角及求法；LY:平面与平面垂直的判定.【分析】（1）令AD=1,求出BD=/s，从而AD± BD,进而BDL平面PAD由此能证明平面PADL平面 PBD（2）以D为坐标原点，DA为x轴，DC为y轴，过D作垂直于平面 ABCD勺直线为z轴，建 立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角A- PB- C的余弦值.【解答】证明：（1）在平行四边形ABCD43,令AD=1,贝u bd=Ad2+AbN-2XADXABXcqs60 二正在4ABD中，AD2+BD2=AB . . AD, BD又平面PADL平面ABCD .BDL平面 PAD BD?平面 PBD 平面

16、PADL平面PBD解：（2）由（1）得AD± BD,以D为坐标原点，DA为x轴，DC为y轴，过D作垂直于平面 ABCD勺直线为z轴，建立空间直角坐标系，令 AD=1,则 A （1, 0, 0） , B （0,蓝,0） , C （- 1,加，0） , P （3, 0,晔），精彩文档实用标准文案凝=(1，/,0)，同=(如、吗),设=(T, °, °)设平面PAB的法向量为；=(x, v, z),AB*n=-x+V3y=0则, 一 -1芯，取 y=1,得；=(«, 1, 1),| PB-n=-x-H/3V-22=0设平面PBC的法向量涓(a, b, c),n

17、BC=-a=0,取 b=1,得 n= (0, 1, 2),由图形知二面角 A- PB- C的平面角为钝角,面角A- PB- C的余弦值为-6.【考点】直线与平面垂直的判定；直线与平面所成的角.【分析】(I)由 ABG- ABC是直三棱柱，可知 CCAC, CC, BC / ACB=90 , ACLBC建立空间直角坐标系 C-xyz .则A, Bi, E, A,可得，7b,而，三耳可知， 根据函 CE =O, 西, 西二C,推断出ABXCE, ABLCA,根据线面垂直的判定 定理可知 ABL平面AiCE(n)由(I)知AB是平面AiCE的法向量，CA =CA= °，°),进而

18、利用向量数量积求得直线 AC与平面ACE所成角的正弦值【解答】(I)证明：. ABC- ABC是直三棱柱，CC1XAC, CCLBC,又/ ACB=90 , 即 AC± BC如图所示，建立空间直角坐标系C- xyz. A (2, 0, 0) , Bi (0, 2, 2) , E (1, 1, 0),精彩文档实用标准文案A （2, 0, 2）,2, 2）,而二（1, 1, o）,蒜= 0, 2）.又因为画，质;0,西.西工，.ABCE, ABXCAi, AB，平面 ACE（n）解：由（I）知，豆"二（一2, 2, 2）是平面ace的法向量，CA:CA =（2, 0 ,。），设

19、直线AG与平面ACE所成的角为。，则 sin 0 =|cos < CA ABj>|=所以直线AC与平面ACE所成角的正弦值为 近.37.【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定.【分析】（I）只需证明 AB± BF. AB± EF即可.（n）以A为原点，以AB, AD AP为x轴，y轴，z轴正向建立空间直角坐标系，求出平面CDB勺法向量为 用工10, 0, 1）,平面EDB的法向量为 ,二（右y,力，设二面角E- BD- C的大小为0 ,则cos 8 - |cos<n1 I="小。2 1 =娓 «1 1 1 I T 口2 I

20、x V10 2【解答】解：（I）证：由已知DF/ AB且/ DAB为直角，故 ABFD矩形，从而AB± BF.又PA1底面 ABCD 平面 PADL平面 ABCD-. AB± AD,故 ABL平面 PAD . . AB, PD在 PCD内，E、F 分别是 PG CD的中点，EF/ PD, z. AB± EF.由此得AB!平面BEF一（n）以A为原点，以AB, AD AP为x轴，y轴，z轴正向建立空间直角坐标系，则二 .;设平面CDB勺法向量为 五二10, 0, 1）,平面EDB的法向量为用二（工，y, Z）,精彩文档实用标准文案,N .而二0尸+2行0_则，a工可

21、取时L通）门之十后二0 |什飞一二0设二面角E- BD- C的大小为0 ,则n _ I F _F- |_ n 1 *n2 V2cosy-|cos<.nj =9> =, =T-r?12 |ni Hln21 ixVio 2所以，e二 48.【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定.【分析】(1)取PB中点N,连结MN AN.由三角形中位线定理可得四边形 ADMN平行四 边形.由 API AD, AB± AD,由线面垂直白判定可得 ADL平面 PAB 进一步得到 AN! MN再 由 AP=AB 彳导 AN! PB,贝U AN1平面 PBC 又 AN/ DM 彳D DM

22、L平面 PBC(2)以A为原点，熊方向为x轴的正方向，蓝方向为y轴的正方向，江方向为z轴的正 方向，建立如图所示的空间直角坐标系.设 E (2, t, 0) (0WtW4),再求得 P, D, B 的坐标，得到 而、靛的坐标，求出平面 PDE的法向量，再由题意得到平面DEB的一个法向量，由两法向量夹角的余弦值得到实数入的值.【解答】(1)证明：如图，取 PB中点N,连结MN AN. . M是 PC中点，MIN/ BC, MN=j-BC=2又 BC/ AD AD=2, MN/ AD, MN=AD四边形ADMN；平行四边形. . API AD, AB± AD, APA AB=A .ADU

23、面 PAB. . AN?平面 PAB, AD± AN,则 ANI± MN . AP=ABAN! PB,又 MNP PB=N .AN:面 PBC. AN/ DM . . DML平面 PBC精彩文档实用标准文案（2）解：存在符合条件的入.以A为原点，亮方向为x轴的正方向，蓝方向为y轴的正方向，菽方向为z轴的正方 向，建立如图所示的空间直角坐标系.设 E (2, t, 0) (0W tW4) , P (0, 0, 2) , D (0, 2, 0) , B (2, 0, 0),则而二(0, 2, -2)，觉二 t-2, 0)Hi ,PD=2y-2z=0 则,一,令 y=2,贝U z

24、=2, x=t 2,设平面PDE的法向量门广（x, v, z）,门1 ,DE=2s+（t-2）y=0取平面PDE的一个法向量为 同二（2-t, 2, 2）.又平面DEB即为xAy平面,故其一个法向量为 门2=（0，0，1），cos V 口;=nl*n222-t )2+4+4 3解得t=3或t=1 ,入=3或入.9.【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；平面与平面垂直的判定.【分析】（I）推导出 BEX AM Bd AM由此能证明 AML平面BEC（n）由VbacE=Veabc,能求出三棱锥 B- ACE的体积.（山）在平面 QEC内彳QNL EC QN交CE于点N. QN与A研面，设该平面为 a,推

25、导出四边形AMN是平行四方形，由此能求出 AQ.【解答】证明：（I）二.平面 ABEDL平面ABC平面ABE0平面ABC=ABBE! AB, BE?平面 ABED. .BE：面 ABC 又 AM?平面 ABCBE!AM精彩文档实用标准文案又AB=AC M是BC的中点，Bd AM又 BCn BE=B BC?平面 BEC BE?平面 BEC .AM1平面 BEC解：（n）由（I）知，BEX平面 ABC 1- h=BE=6在 Rt ABM43，蝴A B 2:B M 2H5 2 1二 4，又 Sa JxBCXAM J><6X4n2, u乙一%TCE = E-ABC Wf X AABC X

26、hmx 12 X 6=2-（m）在平面 QEC内彳QNL EC QN交CE于点N.平面 QECL平面 BEC平面 QEB平面BEC- EC .QN1平面 BEC 又 AMh平面 BEC，QN/ AMQN与AM面，设该平面为 a, ABED长方形，AQ/ BE,又Q?平面BEC BE?平面BEC AQ/平面 BEC又 AC? a , a A 平面 BEC=MN，AQ/ MN 又 QN/ AM，四边形AMNQ!平行四方形.AQ=MN. AQ/ BE, AQ/ MN ，MN/ BE,又 M是 BC的中点.，m-=3 ,.AQ=MN=310.【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定.【分析】

27、(1)根据线面垂直的判定定理即可证明EA1平面EBC(2)求出平面的法向量，利用向量法进行求解即可.【解答】(1)二.平面 ABE1平面ABCD且AB± BC,BC，平面 ABE EA?平面 ABE,EA! BC,. EAL EB, EBP BC=B.EAL平面 EBC(2)取AB中O,连接EQ DQ精彩文档实用标准文案,. EB=EAEO-L AB. 平面 ABEL平面 ABCD .EO,平面 ABCD . AB=2CD AB/ CD, AB± BC, .DOL AB,建立如图的空间直角坐标系O- xyz如图：设 CD=1,贝U A (0, 1,0), B (0, -1,

28、0), C (1, -1,0), D (1,0,0), E (0, 0, 1),由(1)得平面EBC的法向量为 附 (0, 1, - 1), 设平面BED的法向量为；=(x, v, z),Hn fy+z=O，即 4加BD二0 I武尸0设 x=1,贝U y= - 1, z=1,则：=(1, - 1, 1),则|cos v江,=2=巡IEA 11 m I &3故二面角C- BE- D的余弦值是返3C xt>11.【考点】平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定.【分析】（1）证明四边形 BCDO1平行四边形，得出 OBLAD;再证明BOL平面PAD从而证明平面POBL平面PADpl

29、l（2）解法一：由 =1, M为PC中点，证明N是AC的中点，MM/ PA, PA/平面BMO jiiCPM解法二：由PA/平面BMO证明N是AC的中点，M是PC的中点，得 与二1.MC【解答】解：（1）证明：.AD/ BC, BC今缸,O为AD的中点，四边形BCDO平行四边形，.CD/ BQ精彩文档实用标准文案又. / ADC=90 , ./ AOB=90 ,即 OBL AD;又,平面 PADL平面 ABCD且平面 PADH平面 ABCD=ADB0±¥面 PAD又 BO?平面POB平面POBL平面PAD(2)解法一：即M为PC中点，以下证明：连结AC,交B0于N连结MN1

30、. AD/ BC, 0为 AD中点，AD=2BC.N是AC的中点，又点M是棱PC的中点，MIN/ PA, PA?平面 BMO MN?平面 BMO .PA一面 BMO解法二：连接 AC,交BO于N,连结MN. PA/平面BMO平面 BMOT平面PAC=MN .PA/ MN又 AD/ BC O为 AD中点，AD=2BC .N是AC的中点， .M是PC的中点，则 罂二1.MC12.【考点】与二面角有关的立体几何综合题；平面与平面垂直的判定.【分析】(1)连结AF,由已知条件推导出面 ABCL面BBC1C,从而AFLB1F,由勾股定理得BF, EF.由此能证明平面 ABFL平面 AEF(2)以F为坐标

31、原点，FA, FB分别为x, y轴建立直角坐标系，利用向量法能求出二面角B - AE- F的余弦值.【解答】(1)证明：连结 AF, F是等腰直角三角形 ABC斜边BC的中点，AFXBC.又三棱柱 ABC- A1B1C1为直三棱柱,面 ABCL面 BBCC,.AFXW BBGC, AF± BF.设 AB=AA=1,则:，Bi精彩文档实用标准文案 BiFOeFb，BiFef.又 AFA EF=F,BF，平面 AEF.而BiF?面ABF,故：平面 ABF,平面 AEF（2）解：以F为坐标原点，FA, FB分别为x, y轴建立直角坐标系如图,设 AB=AA=1,则 F （0, 0, 0）

32、, A （孝 0, 0） , B （0,-坐，1） , E （0, - g）, 2222近二X）,=（-返,返，1）.' 222 7122由（1）知，BFL平面 AEF,取平面 AEF的法向量：彘国二（0,返，1） .-12设平面B1AE的法向量为 二二（宜，-z）,n * AE-一二叶尹二0由*LL-* V2 V2人n AB =2x+2y+ 工二0取 x=3,得%二（3, -1, 272）设二面角B1- AE- F的大小为0 ,由图可知。为锐角，所求二面角B1- AE- F的余弦值为 区.13.【考点】MT二面角的平面角及求法；LW直线与平面垂直的判定.【分析】（I ）只需证明DBL

33、AC, BD±AE,即可得BD±平面ACFE精彩文档实用标准文案（II ）取EF的中点为 M以O为坐标原点，以 OA为x轴，以OB为y轴，以OM为z 轴，建立空间直角坐标系，则 B（0, 仃，0）, D （0,-的，0） , F （- 1, 0, h） , E （1, 0, 2）,则瓦二2的，0），DE=（1,正，2），利用向量法求解 【解答】（I ）证明：在菱形 ABCM,可得DB!AC,又因为 AE!平面 ABCD BDLAE,且 AEn AC=A BDL平面 ACFE（II ）解：取EF的中点为 M以O为坐标原点，以 OA为x轴，以OB为y轴，以OM为z轴，建立空间直

34、角坐标系, 则B（0,痘,0）, D （0,一/，0） , F （ 1, 0, h） , E （1, 0, 2）,则送2晚,0），命（1,疗2）,设平面BDE的法向量3二（X, V，Z）,由.门 1 *DB=2V3y=0一一 ，可取n1 *DE=x+V5y2z=0元工（2, 0, D,|cos 二门.2+h 肥oy+声 2 ' ? h=3故F （ - 1, 0, 3） , BE=（b2）,丽二（T,一a.3）,设平面BFE的法向量为门广（b, c）,n2 BE =a /3b+ 2c=0_由，可取门2二（案，七，一2百），n2 BF=-a-/sb+3c=0DE=（1,近，2）, DF=（

35、-1,形，3）,设平面DFE的法向量为口3二6V，工），由，可取门3二（行，T, 2«）,n? DE = *+V5v+ 2z=0n3 p DF=-x+Vsy3z=0.一 一、 101c0s 口2' 口3'-2倔 乂2倔-4'面角B- EF- D的余弦值为4.4精彩文档实用标准文案A14.【考点】MT二面角的平面角及求法；LY:平面与平面垂直的判定.【分析】(I)证明：AD，平面ABFE即可证明平面 PADL平面 ABFE(II)建立空间坐标系，求出平面的法向量，利用向量法建立方程关系即可求正四棱锥P-ABCD勺高.【解答】(I)证明：直三棱柱AD曰BCF中，AB1平面ADE所以：AB± AD,又 ADL AF,所以：AD1平面 AB