2020-2021学年高三年级第一学期第一次五校联考五校联考试卷(定稿)

1、2020-2021学年高三年级第一学期第一次五校联考数学试题一、单项选择题(本大题共8小题，共40.0分)1. 函数(x) = 1=T + lg(3x - 1)的左义域为()D (0,i)A(決B(0,lC. (-,)2已知log2>log2b,则下列不等式一泄成立的是()D. 2'b < 1B. Iog2( -b)> 0 C. Qy V ($A (0,3已知f(%)是左义在R上的偶函数，且在0, +)上是增函数，/(2) = 0,则不等 /(log2%) > 0的解集为()B. (4,+8)C(-,1) U (4, ÷)D- (0,-) U (4,

2、+)4.我国著名数学家华罗庚先生曾说：数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般 好，隔裂分家万事休.在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也 常用函数的解析式来琢磨函数的图象的特征，如函数/(X)= (C -I)SIn v在区间e +15已知X > Ofy > 0,lg4x + lg2y = lg8> 则£ + ?的最小值是()A. 3D.96 已知函数/() = +sinx, X R,=/(Iog2 3)f b = f IOgl 2 , c = /(2*2)3/则a,b,c的大小为()A. a>b>cB. a>c>bC.

3、 c>b>aD. b>a>c第11贞，共12页7 已知命题Vx R , nvc2 + 2 > 0：命题 q： 3x R > x2 -2mx + 0 若 P、q都为真命题，则实数山的取值范圉是()A1,F)B. (Yo,一1C. (-oo,-2D一 1,18. 已知函数f(%) = X(InX - x)有两个极值点，则实数U的取值范囤是()A. (-8,0)B(0，DC. (0,1)D. (0,+)二、不定项选择题(本大题共4小题，共20.0分，每小题全对得5分，部分对得3分, 有错得零分)9. 若直线y = x+ b是函数f(x)图象的一条切线，则函可以是(

4、)A. /(x)=扌B. /(x) = X4C. f(x) = SinX D. f(x) = ex10. 设正实数加、八满足m + 7 = 2.则下列说法正确的是()A. 上+二的最小值为3B.的最大值为1In nC. ym +>/«的最小值为2 n2 +n2的最小值为211. 下列命题中正确命题的是()A.已知"，b是实数,则“(a v(b”是“10g3Q>10g3b”的充分而不必要条件:F.3x(-,0),使 2* V 3"：C. = 8是函数f(x) = 3sinx - CoSX的一个极值点，贝IJSZn2 + 2cos2 = ->D.若角

5、的终边在第一象限，则詈| +禽Ii的取值集合为-2,2.12髙斯是徳国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米徳、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命需的“髙斯函数”为：设hWR, 用刃表示不超过X的最大整数，贝IJy= x称为髙斯函数，例如:-3.5=-4, 2.1 = 2.已知函数产(切=£一则关于函数9仗)=门幻的叙述中正确的是()A. 9(切是偶函数B. /(%)是奇函数C. f(x)在R上是增函数D. g(x)的值域是-1,0,1三、填空题(本大题共4小题共20.()分)13已知扇形的圆心角为年，半径为5,则扇形的而积S=S14已知函/(x) =

6、 lg(PTT + %) + ,且f(Zn3) + /(In = 1,贝IJa=15. 已知三个函数力(X) = X2 2ln Xtf(X) = h ' (%) Sln X SZn 2，g(x)=力(X) +2lnx-bx+4. (0,l, x2 1,2,都 gx2)成立，求实数方的取值范 围16. 设f(x)是定义在/?上的偶函数，Kf(2 + x)=(2-x),当X -2,0时，/(X)=- 1,若在区间(-2,6)内关于X的方程f(x) IOga(X + 2) = 0( > 0)有3个不同的根，则“的范围是四、解答题(本大题共6小题，共70()分)17. (本题共10分)已

7、知角为第一象限角，RSina =(I) 求cosa9 tana 的值:的值.(2、寸3s 淤(7r-)-2cg(+)I 丿"COS(Pa)18. (本题共 12 分)已知集合4 = xy = Iog2(-4x2 + 15x 一 9)fx e R,B = xx-m IfX R(1) 求集合A；(2) 若“：XEA, <7： XEB.且”是§的充分不必要条件，求实数加的取值范围.19. (本题共 12 分)已知函f(X) = ax2 +2x + c. (,c )满足:/(1) = 5；6 V 7(2) <11.(1) 求函数f(E的解析式；(2) 若对任意的实数xw

8、g,都有/(x) -2mx<l成立，求实数加的取值范围.第11贞，共12页20. (本题共12分)已知函数门幻=Wi是泄义在R上的奇函数.(1) 求"的值：(2) 判断并证明函数f(x)的单调性，并利用结论解不等式：/(x2-2x)+(3x-2)<0;(3) 是否存在实数斤，使得函数f(x)在区间m,n±的取值范由是缶,缶?若存在，求出实 数£的取值范帀：若不存在，请说明理由.21. (本题共12分)如图，公园内直线道路旁有一半径为10米的半圆形荒地(圆心O在 道路上，AB为直径)，现要在荒地的基础上改造岀一处景观.在半圆上取一点C,道路 上B点的右边

9、取一点D，使OC垂直于CD,且OD的长不超过20米.在扇形区域AoC 内种植花卉，三角形区域OCD内铺设草皮.已知种植花卉的费用每平方米为200元， 铺设草皮的费用每平方米为IOO元.(1) 设COD = x(单位：弧度)，将总费用y表示为X的函数式，并指出X的取值范围：(2) 当X为何值时，总费用最低？并求出最低费用22. 已知函数f (幻=4x- alnx 一 x2 一 2,其中a为正实数.(1) 若函数y=f(%)在兀=1处的切线斜率为2,求"的值；(2) 求函 = /(x)的单调区间；(3) 若函数y = /*(%)有两个极值点S X2求证:/(%) + f(x2) V 6

10、Ina.五校联考试卷精选一、选择题(本大题共8小题，共40分)1. 函数f(x) = 1 -X + lg(3x - 1)的立义域为()A(討 B. (0,1C. (-,) D(,p【答案】A2. 已知log2>log2b,则下列不等式一定成立的是()A.扌 > fB. log2( -b)>0 C. () < Gy D. 2b < 1【答案】C3. 已知f(x)是圧义在R上的偶函数，且在0,+8)上是增函数，/(2) = 0,则不等 /(log2x) > 0的解集为()A. (0,B. (4,+)C. (-, 1) U (4, ÷)D. (0,-)

11、U (4, ÷)【答案】D4. 我国箸名数学家华罗庚先生曾说：数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般 好，隔裂分家万事休.在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也 常用函数的解析式来琢磨函数的图象的特征，如函数= (C I)SInA-在区间e +1上的图象的大致形状是()2 2B.X【答案】A5已知x>0,y> OJg4x + lg2y = lg8,则 + ;的最小值是()A. 3B. -C. -D.9415【答案】A6.已知函数 f(x) = x+sinx9 XWR ,若 = (log23), b = f IOgl 2<3>c=f(22

12、)则a c的大小为()第11贞，共12页A a>b>c【答案】BB. a>c>bC. c>b>aD. b>a>c7 已知命题/儿 VX R , HVC + 2 > 0：命题 q： 3x R > x2 -2 + 1 O ,若 P、Q都为真命题，则实数加的取值范弗I是()B(Y一1C. (-oo,-2【答案】A8. 已知函= X(InX 一 x)有两个极值点，则实数U的取值范圉是()A. (-8,0)B.(63)C. (0,1)D. (0, +)【答案】B【解答】解：因f(X)=X(InX-ax)9 所以f(x) = lnx-2ax+l.

13、 由题可知尸(X)在(0,+8)上有两个不同的零点，令尸(咒)=0,则2仏=IIlU q1令 g(r)二InLr +1则讥心)=-IrEr所以P(X)在(Oj)上单调递增，1(+)上单调递减, 又因为当X从右边趋近于0时，g()-8, 当X +时，g(x) 0,而g(x)ma = (1)= 1»所以只需O <2a< 1,即O VaV扌.故选B.二、不定项选择题(本大题共4小题，共200分)9. 若直y = X+b是函数f(x)图象的一条切线，则函数f(x)可以是()A. /(x) = FB. /(x) = x4 C /(x) = SinX D /(x) = ex【答案】B

14、CD10. 设正实数加、满足m+n = 2,则下列说法正确的是()a. - + r的最小值为3In HB. Inn的最大值为1C. ym +>Jn的最小值为2D +n2的最小值为2【答案】ABD11.下列命题中正确命题的是()A. 已知 C 是实数，则aa<b"是“10嘶>】。勿肘的充分而不必要条件:B. 3x(-,0)> 使 2x < 3x:C设兀=&是函数f(%) = 3sinx - COSX的一个极值点，贝sin2 + 2cos2 => aaD. 若角的终边在第一象限，则F暑+等的取值集合为-2,2.【答案】CD【解析】解：对于A ,

15、若" <，贝怙>b,若"Iog3>log3ht,贝IJa >b>0.所以尸< b "，是TOg3Q >10勿b”的必要不充分条件.所以A不正确；对于B,由指数函数的单调性可得XG (-8,0),使2乂<3不正确，所以B不正确： 对于C. ,(x) = 3cosx + Sin%, 7(0) = 3cos0 + sin = 0 tan0 = 3, sin2 + r " sin20+2cos20 2tan+222cos-B = = _ _cos-+sin-0l+tan-S对于D,角的终边在第一象限，贝呻G(g后+

16、扌)，IcWZ,=2,沦第-象限时,+s当扌在第三象限时，则器+ 篇 =一2aCX则ISinq + ICOS勺的取值集合为：2, 2).所以D ll：确；12. 高斯是徳国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和 阿基米徳、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命劣的"高斯函数”为：设R, 用刃表示不超过X的最大整数，则y=x称为髙斯函数，例如:-3.5=-4, 2.1 = 2. 已知函数/XE =W斗则关于函数弘)= V)的叙述中正确的是( )A. g(x)是偶函数B. /(x)是奇函数C. /(x)在R上是增函数D. g(x)的值域是1,0,1【答案】BC【解答

17、】A 一， er 11 + er - L 111解：f3) = E =2 = 2TT定义域R, K/(-) = G-i = - =* 故函数n>)为奇函数.函数g(E = If(X)L 则0(1) = f(-i) = fW = 0,故g(T) Hp(I),显(%)不是偶函数，故A错，B对.er I 1 + M 1 111T 才阿=TTe7 _ = 1 + * 厂厂 TTTF，尸(E = 7I>S故在R上是增函数，C正确;1(04),故>)G(-2A 贝 (X) -0,故 D 错误. 故选BC.三、填空题(本大题共4小题，共20.0分)13.已知扇形的圆心角为警，半径为5,则扇

18、形的而积S= 14已知函= lg(PTT + %) + ,且/(Zn3) + (ln = 1,贝IJa =S第11贞，共12页【答案】I15. 已知三个函数力(兀)=X2 2ln X,/(x) = h Z (%) Sln X 5In 2，g(x) = i(x) + 2lnx-bx+4.若去工(0,1, x2 1,2,都 g(x2)成立，求实数的取值范 围【答案】b8【解答】解：由题知f) = 2x:一 5InX-51n2, P(X) = x2 - bx + 4m = 2+-h2x2-5x+2 _ (x-2)(2x-l)-JU)在(0冲)上单调递增；f(,2)上单调递减, 易知门幻在区间(0,l

19、±的最大值为=一3,3x1 (0,l, Vx2 1,2,都有f(%1) g(%2)成立,解得b8,16. f(X)是定义在 R 上的偶函数,Rf(2 + x)=f(2-x),当 xW-2,0时,f(x) =G)Ar 1.若在区间(-2,6)内关于X的方程f(x) - IOga(X + 2) = 0( > 0)有3个不同的 根，则“的范围是.【答案】(4,8)【解析】【分析】本题考査了函数的零点与方程根的关系，函数的奇偶性及函数的周期性，函数图象的应 用，属于中档题.由已知中可以得到函数f(x)是一个周期函数,且周期为4,根据函数与方程之间的关系， 转化为函数f(x)的图象与函数

20、y = IOgC(X + 2)的图象有3个不同的交点，利用数形结合 即可得到实数"的取值范围.【解答】解：*对于任意的X E R,都f(X 2) = /(2 + x),fa + 4) = f2 + (x + 2)=(x + 2)-2= /(x),函数f(x)是一个周期函数，且T = 4.又当X G 2,0时，/() = ()-i,且函数f()是泄义在R上的偶函数，若在区间(-2,6)内关于X的方程f(x) - IOga(X + 2) = O恰有3个不同的实数解， 则函数y = f(x)与y = IOga(X + 2)在区间(一2,6)上有3个不同的交点，如下图所示:Xf (-2) =

21、/(2) = 1,当O VQV 1时，不合题意，当>l时，则对于函数y = logc(x+2).由题意可得，当x = 2时的函数值小于1,当% = 6时的函数值大于1,8>由此解得:4 V V 8,故答案为：(4,8).四、解答题(本大题共6小题，共70.0分)17. 已知角为第一象限角，且Sina = 求COSaf tana的值:的值°、步 3siM(r-)-2cos(r+ a) I "COS(Aa)【答案】角为第一象限角，ina =5 COSa = 1 sin2 = tana =才.4分5COSa 2(°、3sin(-)-2cos(+) _ 3si

22、na-¥2COSaCOS(J-)Sina 疔=3+丄8分tana2= 3+÷=7. 10 分218. 已知集合 A = xy = log2(-4x2 + 15% - 9),x R. F = (XIIX-Tnl lfxER(1) 求集合A：(2) 若“：XGA, q： XEB,且"是§的充分不必要条件，求实数加的取值范围.【答案】(1) A = xy = log2(-4x2 + 15% -9),x R, -4%2 + ISx-9 >0,贝 IJO 3)(4% 一 3) V 0. < % < 31 >4 = I < % <

23、 3. 6 分(2)B = xx-m IfX GR,由 x ml 可得：% m 1 或 mS1， x m+ IiOcx m 1» B = xx m + lJcx <m-l. 8 分V p：X A, q：x E B.且”是Q的充分不必要条件，力是B的真子集，9分 m 1 3或m + 1 7» m 4或m 一二11分44实数/H的取值范围是(-,- U 4,+8). 12分19. 已知函 f(X) = ax2+2x + c, (a,c G N*)满足：®/(l) = 5； 6<(2)< 11.(1) 求函数>)的解析式；(2) 若对任意的实 ,

24、|,都有/(%) -2mx<l成立，求实数皿的取值范围.? ?系】(1) f (1) = a + 2 + c = 5, c = 3 a 又V 6 </(2) < 11,即6 < 4a + c + 4 < 11,将式代入式，得一扌VaV? 3分第11贞，共12页又Q CGN*, Aa = If c = 2. A /(x) = x2 + 2x + 26分(2)证明：rw期，不等-2mx<l恒成立Q2(l-m)-(x + +扌)在雳上恒成立.8分由 k( + )Jmtn = -故只斋2(1 rn) ；即可. 10 分解得m?12分(注：本题有其它解法酌情给分)42

25、0. 已知函数f (咒)=希是泄义在R上的奇函数求"的值；(2)判断并证明函数f(x)的单调性，并利用结论解不等式:/(%2 - 2x) + f(3x -2)<0:(3) 是否存在实数人使得函数张)在区间mn上的取值范羽是扫却？若存在, 求出实数的取值范用；若不存在，请说明理由.【答案】解：(i) = L是宦义在R上的奇函数,f(0) = 0,从而得出 = l,4x-l . 4-l47Q = I时，©+心)占+肓古+. = l; 4分(不证明扣2分)(2)f(x)是R上的增函数，证明如下： 设任意Xin2 W R且Xj. V X2,9/(r1)-(2) =(1-FTT

26、)-(I-)222_2(4Xl-4x2)42 + 1 4H (4H)(4H)' XI < X2f:. 4”丄 < 4"笃 4心 + 1 > 0,4x + 1 > Of /(%)是在(一8卄8)上是单调增函数.6分 /(x2- 2x) +/(3x-2) < 0,又 f(X)是泄义在R上的奇函数且在(-8, +8)上单调递增， . f(x2 _ 2%) < /(2 _ 3%), X2 2% < 2 3%» 2 < % < 1： 8分(3) 假设存在实数人使之满足题意，由(2)可得函数>)在加,切上单调递增，4机

27、_1_ k 4m + 1 莎 4n - 1 _ Zc , 4n + 1 " 47 .m,n为方程兽=爲的两个根，即方程害=爲有两个不等的实根，4A+ 1 44 + 1 4令4x = t>0,即方程t2-(l + Zc)t-Zc = 0有两个不等的正根，10分>0-3 + 22 <k< O.> O f -k > O存在实数人使得函数张)在n,n±的取值范围是缶屈，并且实数£的取值范囤是(-3 + 2I) 12分(注：本题有其它解法酌情给分)21. 某公园内宜线道路旁有一半径为10米的半圆形荒地(圆心O在道路上，AB为直径)，现 要

28、在荒地的基础上改造出一处景观.在半圆上取一点C,道路上B点的右边取一点D, 使OC垂直于CD,且OD的长不超过20米.在扇形区域AoC内种植花卉，三角形区 域OCD内铺设草皮.已知种植花卉的费用每平方米为200元，铺设草皮的费用每平方 米为100元.设"OD = x(单位：弧度)，将总费用y表示为X的函数式，并指出X的取值范 围：(2)当X为何值时，总费用最低？并求出最低费用.【答案】解：(1)因为扇形AOC的半径为10加，AOC =且OD的长不超过 20 米，当 OD = 20m 时，故 O < x 2 分所以扇形AOC的而积：SoC =-rz' LO- = SO(&

29、#176;vxf在Rt COD 中，OC = IO, CD = IOtanX , 所以 COD的而积SyOD =-OC-CD = 50ta,从而y = IOOSCOD + 200S 册“ =5000(UnC + 2灯-加),0 < % p 6分(2)设 f(±) = ISakX + 2TT 2®, 0 < cos2x+sin2xCOS2X1-2COSSXCOS2X令V) = 0,解得兀=?从而当O G 时，f(x)V0当fv%S? ,(x) >0>因IlV(X)在区间(Ot)上单调递减，在区间(却自上单调递增，10分当X =扌时，fW取得最小值,疋)= 1 + 2Jr-=I + y,所以y的最小值为(5000 + 750OTr)元，答：当x = f时，改造景观的费用最低，最低费用为(5000+ 75OoTr)元. 12分22. 已知函= 4x- alnx - 2 - 2,英