华师版八年级数学下册知识点

1、第17章分式1-分式A形如一（A. B是整式，且B中含有字母，BHO）的式子，叫做分式。其中A叫做分 B式的分子，B叫做分式的分母。【注】分式中。分母不能为零，否则分式无意义。2. 有理式整式和分式统称为有理式。例题：（1）下列各有理式中，哪些是分式？那些值整式？1 1 / x x 2 x 4x + 9y_，尹+讥，一，门x 23 m -x 兀一3 13（2）当x取何值时，下列分式有意义？厂、1 厂、x 2 厂x + 2 厂、4% 一，2x x + 2 4x +13x-5练习：（1）一件工作，甲独做&小时完成,乙独做b小时完成,则甲、乙两人合作完成需要（）小时。把下列有理式中是分式的代

2、号填在横线上1 111abA. + B.C.D.a baba + ba + b(2)当 a时，分式z有意义。2a + 3作业:3. 分式的基本性质分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变。4. 最简分式分子与分母没有公因式的分式称为最简分式。5. 最简公分母分母所有因式的最高次慕的积例题：（1）约分 - 2"(" + b) 3b(a + b)疋-4xy + 2y（2）通分52xyX2 +x练习:（1）不改变分式亍丄.的值，把分子、分母中各项系数化为整数，结果是（）3x+yA. 215>'B.心yr 6x 15yD. "15，

3、4x+ y2x + 3y4x + 2y4x + 6 vz _ x八亠d + 2a b（2）分式:,4" ，1中，最简分式有（）/cr+ 3cr12（a - b）x-2A.1个 B.2个 C.3个 D.4个6. 分式的运算（1）分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母，如果得到的不是最 简分式，应该通过约分进行化简。（2）分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相除。（3）分式的乘方等于分子分母分别乘方。（4）分式的符号法则：例题：（1）计算2 。 2 耳*尹一严by- Irxbp b*（2）水果店有两种苹果，甲种苹果每箱净重m千克。售a元，乙种苹果每箱净重

4、n千克, 售b元，请问，甲种苹果的单价是乙种苹果的多少倍？X2 -4（1）若分式 J一的值为零，则x的值是（） X _ 2A.2 或-2B.2C.-2D.4（2）计算空+8，）,.土_7 y 3x（4）同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减。 异分母分式相加减,先通分，变为同分母的分式，然后再加减。例题：（1）计算24/- 2 b 厂 23 厂.3 一+ =一一一,a a cr ab x-4 对一16（2）琳琳家距离学校a千米，骑自行车需要b分钟。若有一天她从家出发迟到了 c分钟,则她每分钟应多骑多少千米,才能使到达时间和往常一样? 练习：（1）化简等于（）a-b a+ha2+b2口 (a

5、+ b)2r a2-，n (a + b)2cr -ba +lrcr（2）计算（3）某农场原计划用m天完成a公顷的播种任务，如果要提前b天结束，那么平均每天比原 计划要多播种公顷.计算?47)广 x yx"43" 57x+y x -y f +厂 (x+y) J 亍+丄- 兀_)厂 y-x7. 分式方程（1）分母中含有未知数的方程叫做分式方程。（2）解分式方程，实质上是将方程的两边乘以同一个整式，约去分母，把分式方程转化为 整式方程来解。所乘的整式通常取方程中出现的各分式的最简公分母。（3）增根是指不适合原分式方程的解（或根），因此，解分式方程必须进行检验。（4）解分式方程进行

6、检验的关键是看所求得的整式方程的根是否使原分式方程中的分式的 分母为零。有时为了方便起见，可将它代入最简公分母中，看它的值是否为零，若为零， 则为增根。（1）解方程厂 10030 一 1212 =一=x x-1 x + 3 3-xf-9（2）列方程解应用题2640名学生的成绩由两位程序操作员各向计算机输入，已知甲的输入速度是乙的2倍, 结果甲比乙少用2个小时输完。问这两个操作员呢每分钟各输入多少名学生的成绩？Xnj（1）当呼时，方程=2会产生增根。x 3x 3（2）若关于x的方程ax=3x-5有负数解，则a的取值范围是（）A. a<3B. a>3C.aM3D aW3（3）解分式方程

7、丄+ 丄 =分以下四步，其中，错误的一步是（）x + x-1 厂一1A.方程两边分式的最简公分母是衣-1） （x+1）B方程两边都乘以（x-l） （x+1）,得整式方程2（x-l）+3（x+1）二6C. 解这个整式方程，得x=lD. 原方程的解为x=l 作业：（1）当*时，分式上1的值为负数2-x（2）甲、乙两个工程队共同完成一项工程,乙队先单独做1天，再由两队合作2天就完成全 部工程，已知甲队与乙队的工作效率之比是3:2,求甲、乙两队单独完成此项工程各需多 少天？8. 零指数幕与负整指数幕（1）任何不等于零的数的零次幕都等于1。【注】0的零次幕没有意义。（2）任何不等于零的数的-n （n为正

8、整数）次幕，等于这个数的n次慕的倒数。旷=召（dHO/是正整数）例题：（1）计算 3-2xlO-1（2）计算下列各式，并把结果化成只含有正整指数幕的形式（巧仙（xf 2）2（3）用小数表示下列各数 IO-1 2.1x10-5练习：（1）计算（一 1尸+（* -5-（2004-）°的结果是°（2）若 x=y/2-l,则 x+x_1=.计算（ 、一2 5,0-254®-（2m2n_3）3（-mn-2）_2 4丿9. 利用10的负整指数幕，用科学记数法表示一些绝对值较小的数，即将它们表示成"xl（T”的形式，其中11是正整数，15问10。（1）用科学记数法表示

9、 0.00003 -0. 0000061201000000（2）个纳米粒子的直径是35纳米，它等于多少米？练习：(1) 用10的负整指数幕填空1亳克二千克1平方厘米二平方米®1纳米二微米二亳米二 厘米二分米二米(2) 把下列各数用科学记数法表示10000000. 0000001-11200000-0.00000112自然界隐含着许多规律，一立质量的理想气体，当温度保持不变时，它的压强P与体积V的乘积也保持不变。现在它的压强P =1.01X105帕时，体积K二2立方米，若这些气体加压到“2 =3.03x10$帕时,求这些气体的体积"已知卩，也巴满足牛卸第18章函数及其图彳1.

10、 变量与函数(1) 变量：在某一变化过程中，可以取不同数值的量，叫做变量。(2) 一般的，如果在一变化过程中，有两个变量，例如x和y,对于x的每一个值，y都 有唯一的值与之对应，我们就说x是自变量，y是因变量。此时也称y是x函数。2、对函数概念的理解，主要抓住三点：(1)有两个变量；(2) 一个变量的数值随另一个变 量的数值的变化而变化；(3)自变量每确定一个值，因变量就有一个并且只有一个值与其 对应。3表示函数关系的方法1) 解析法(关系式法)：两个变量之间的关系，有时可以用一个含有这两个变量的等式 表示，这种方法叫解析式法。2) 列表法3) 图像法(4) 在问题的研究过程中,还有一种量，它

11、的取值始终保持不变，我们称之为常量。例题：写岀下列各问题中的函数关系式，并指岀常量与变量。 圆的周长C与半径r的函数关系式。 火车以60 km /时的速度行驶，它驶过的路程s与所用时间的函数关系式。®n边形的内角和的度数S与边数n的函数关系式。(5) 求函数自变量的取值范围1. 实际问题中的自变量取值范围按照实际问题是否有意义的要求来求。2. 用数学式子表示的函数的自变量取值范围(1) 解析式为整式的，x取全体实数；(2)解析式为分式的，分母必须不等于0式子才有意义;(3) 解析式的是二次根式的被开方数必须是非负数式子才有意义；(4)解析式是三次方根的, 自变量的取值范围是全体实数。

12、3. 函数值：指自变量取一个数值代入解析式求出的数值，称为函数值；实际上就是以前学的求代数式的值。例题：（1）求下列函数自变量X的取值范鬧 y=3x+l y = 2x2 +1 y = y = Jx - 2x + 2（2）已知等腰三角形的而积是20设它的底边长是x （米），求底边上的髙y （米）关于X的函数关系式，并写出自变量的取值范围。练习：（1）求下列函数自变量X的取值范围6x 一 y = -2x-5x2y =:y = J2x-1 x + 3（2）分别写出下列问题中的函数关系式，指出自变量和因变量，以及自变量的取值范用。 寄一封重疑为20克以内的市内平信，需邮资0.60元，求寄n封这样的信所

13、需邮资y （元）与n间的函数关系式。 如果一个直角三角形中一个锐角是那么求另一个锐角的度数B与«之间的函数关 系式。2.函数的图像（1）宜角坐标系1）在平面上画两条原点重合.互相垂直且具有相同单位长度的数轴，这就建立了平面 直角坐标系。通常把其中水平的一条数轴叫做X轴或横轴，取向右为正方向；铅直的数轴 叫做y轴或纵轴，取向上为正方向；两数轴的交点0叫做坐标原点。2）在平面直角坐标系中，任意一点都可以用一对有序实数来表示。例如点P分别向x 轴和y轴作垂线，垂足分别为M和N。这时，点M在x轴上对应的数字是m,称为点P的横 坐标；点N在y轴上的坐标为n,称为点P的纵坐标，得到一对有序实数（

14、m, n）,称为点 P的坐标，可记为P （m, n）。3）在平面直角坐标系中，两条坐标轴把平面分成I、II、皿、IV四个区域，分别称为 第一、二、三、四象限，坐标轴上的点不属于任何一个象限。4）在平面直角坐标系中的点和有序实数对是一一对应的。yR P 1Lm1 平面直角坐标系 坐标平面内的点与对应.根据点所在位置填图x轴上的点坐标为0, y轴上的点坐标为0.ai尺P(x,y)关于x轴对称的点坐标为,关于y轴对称的点坐标为，关于原点对称的点坐标为.例题：在直角坐标系中描出点A (2,3),分別找出它与x轴、y轴及原点的对称点，并写出这 些点的坐标，说出这些点分别在第几象限？练习：在如图所示的国际

15、象棋棋盘中，双方四只马的位置分别是A (b, 3)、B (d, 5)、C (f, 7)、D (h, 2),请在图中描出它们的位置匚(2)函数的图像1) 一般来说，函数的图像是由直角坐标系中的一系列点组成。图像上的每一点的坐标 G, y)代表函数的一对对应值，它的横坐标X表示自变量的某一个值，纵坐标y表示与它对应的函数值。2) 画函数图像的方法：描点法。即列表、描点、连线三步。rar(1)画出y=0. 5x的图像X-3-2-10123y(2)爷爷和小强去爬山，小强让爷爷先上，然后追赶爷爷.两人都爬上了上顶，图中两条 线段分别表示小强和爷爷离开山脚的距离(米)与爬山所用的时间(分)的关系看图回答问

16、 题：小强让爷爷先上了多少米？山顶离山脚的距离有多少米？谁先爬上山顶?练习：(1)画出下列函数图像，并判断大括号里的点是否在该图像上。 (Dy=3x-b (0, -1), (-2, -7) (L -2), (2.5, 6.5) ,(x>0),(0,2>(2,|(3,1)-(2) 周末小李8时骑自行车从家里出发，到野外郊游，16时回到家里，他离家的距离s (千 米)与时间t (时)的关系可以用图中的曲线表示，根据这个图像回答下列问题。 小李到达离家最远的地方是什么时候？ 小李何时第一次休息？ 10时到13时，小李骑了多少千米？ 返回时，小李的平均车速是多少？3. 一次函数(1)函数的

17、解析式都是用自变量的一次整式表示，我们称它们为一次函数。 一次函数通常可以表示为y=kx+b的形式，其中k、b是常数，kHO。 特别的，当b二0时，一次函数尸kx (常数kHO),也叫做正比例函数。(2) 一次函数的图像一次函数y=kx+b (k、b是常数，k*0)的图像是一条直线，通常也称为直线y=kx+bo 特别的，正比例函数尸kx (k*0)的图像是经过原点(0, 0).对于直线y=kx+b (k、b是常数，kHO), k表示直线的倾斜程度。b是直线与y轴交 点的纵坐标。(3) 次函数的图象：函数y=kx+b(k. b是常数，kHO)的图象是一条直线.过点(0, b) 且与直线y=kx平

18、行(1) 在同一个坐标系内画出下列函数图像，并说出它们有什么关系？ y=-2x®y=-2x-4(2) 将直线y=-2x+3向下平移5个单位，得到直线. 直线y=5x4-7可以看作是由直线y二一5x-l向_平移个单位得到的。(3) 求函数y = -x-3与x轴、y轴的交点坐标，并求这条直线与两坐标轴帀成的三角形2的面积。(4) 写出一条与直线y=2x-3平行的直线练习：（1） 直线y=-x+2与x轴的交点坐标是,与y轴的交点坐标是2直线y二土X 2与x轴的交点坐标是,与y轴的交点坐标是3（2）直线y=2x-3可以由直线y=2x经过单位而得到；直线y=-3x+2可以由直线y=-3x经过而

19、得到；直线y二x+2可以由直线y=x-3经过而得到.（3）写出一条与直线y=2x-3平行，且经过点（2, 7）的直线（1）直线y=4x-3过点（, 0）、（0,）：直线y =丄兀+ 2过点（,0）、3（0, ）.（2）一次函数y=3x+b的图象与两坐标轴用成的三角形而积是24,求厶（3）次函数的性质设 y=kx+b（kH0）,则当k>0时，y随x的增大而增大：当k<0, y随x的增大而减小.当b>0时，直线交y轴于正半轴：当bVO时，直线交y轴于负半轴：当b二0时，直线 过原点正比例函数的图象：函数y=kx（k是常数，kHO）的图象是过原点及点（l,k）的一条直线. 当k&g

20、t;0时，图象过原点及第一、第三象限：当kVO时，图象过原点及第二、第四象 限.正比例函数的性质：设y二kx（kHO）,则当k>0时，y随x的增大而增大；当kVO时, y随x的增大而减小.（2）、求一次函数y =与x轴、y轴的交点坐标与x轴的交点坐标：令y = 0,求x；与y轴的交点坐标：令x - 0,求y当k>0时，y随x的增大而增大，这时函数的图像从左到右上升。当k<0时，y随x的增大而减小，这时函数的图像从左到右下降。当k>o, b>o时，函数经过I、u、in象限。当k>0, b<o时，函数经过I、皿、IV象限。当k<0, b>o时，

21、函数经过I、U、IV象限。当k<o, b<o时，函数经过u、m、iv象限。（1）画出函数产-202的图象，结合图象回答下列问题。 随着、的增大，y将 （填“增大”或“减小”） 它的图象从左到右（填“上升”或“下降”） 图象与x轴的交点坐标是,与y轴的交点坐标是 这个函数中，随着x的增大,y将增大还是减小?它的图象从左到右怎样变 化？ 当X取何值时，尸0?当x取何值时,y>0?（2）某个一次函数的图象位宜大致如下图所示，试分别确左k、b的符号，并说出函数的性（3）已知一次函数 y =（2m-l）x+m+5,当m取何值时,y随x的增大而增大？ 当m取何值时,y随x的增大而减小？

22、（1）已知一次函数y=（l-2m）x+m-l,若函数y随x的增大而减小，并且函数的图象经过二、三、四象限，求m的取值范围。（2）若a是非零实数，则直线y=ax-a 一定（）A.第一、二象限B.第二、三象限C.第三、四象限D.第一、四象限（3）如图，表示一次函数尸mx+n与正比例函数y=mnx （m,n为常数，且mn工0）图象的是（）（1）在下列四个函数中，y的值随x值的增大而减小的是（）A . y=2xB. y=3x-6 C. y二一2x+5D y=3x+7（2）已知一次函数y = kx + b的图象不经过第三象限.也不经过原点，那么£、b的取值范Hl 是（）A. k >0KZ

23、?<0B £>0且bvOC . k<0且b>0D k<0且bvO（3）直线y = ntx + n如图所示，化简：.（4）如图所示，已知正比例函数y = kx伙HO）的函数值y随x的增大而增大，则一次函数y = £的图象大致是（）A.B.C.D.（4）求一次函数的关系式待定系数法：先设待求函数关系式（其中含有未知数的系数），再根据条件列出方程或方程 组，求出未知系数，从而得出所求结果的方法，叫做待定系数法。一设 y =二代（将点的坐标代入解析式，构造待泄系数的方程或方程组,）（用已知等量关系或几何条件，构造待定系数的方程或方程组）三解（解方程或方

24、程组） 四还原（将解出来的系数代入所设的函数解析式）例题：已知函数y=kx+b的图像经过点（-1,1）和点（1, -5）求这个一次函数的关系式，并求 当x二5时,函数y的值。练习：（1）根据下列条件写出相应的函数关系式。直线y=kx+5经过点（-2, 1）。（2）小李暑假去旅游，当地山区海拔每增加100米，气温下降0.69,小李在山脚看了一 下随身带着的温度计，气温为34°C,乘缆车到山顶发现温度为32. 2C,求山高。酒精的体积随温度的升髙而增大，在一上范用内近似于一次函数关系。现测得一泄量的 洒精在0°C时的体积为5. 250升，在40°C时的体积是5. 48

25、1升，求这些酒精在10°C, 30°C 时的体积各是多少？一次函数的图象正比例函数和一次函数的图象都是一条直线，所以对于其解析式也称为“直线y=kx+b,直 线y二也”。因为一次函数的图象是一条宜线，所以在画一次函数的图象时，只要描出两个点, 在通过两点作直线即可。1、画正比例函数y二kx（kH0的常数）的图象时，只需要这两个特殊点：（0, 0）和（1, k） 两点：2、画一次函数y二kx+b（k、b为常数，kHO）的图象时，只需要找岀它与坐标轴的两个交点即b可。一次函数与X轴的交点坐标是：（0, b）,与y轴的交点坐标是：（£, 0）4. 反比例函数（1）一般的

26、，形如y = £伙ho*是常数）的函数叫做反比例函数。（1）已知矩形的而积为15平方厘米，设它的长为x厘米，宽为y厘米，那么y与x之间的 函数关系式是 。（1）已知 -6=0,则y是的（）。2（A）正比例函数（B）反比例函数（C） 一次函数（D）不成函数关系2 R1（3）若函数尸 + （”-4）是y关于x的反比例函数，贝9 m二3牙（1> 一台抽水机每小时灌田10公顷，用若干台抽水机灌田300公顷，用解析法表示抽水机 的台数n和完成任务所需的时间t （时）之间的函数关系为。(A ) 4xy=l（2）在下列式中，不是反比例函数关系的是（）(B) -=2 y(C) y二mxT (m

27、HO)(D) y=X作业：（1）若y与z成正比例，z与x成正比例，则y与x成:若y与z成反比例，z与x成匸比例，则y与x成 ；若y与z成反比例，z与x也成反比例，则y与x成.（2）反比例函数的图像是双曲线。（3）反比例函数的性质1）当k>0时，函数的图像在第I、in象限，在每个象限内，曲线从左向右下降，也就是 在每个象限内y随X的增大而减小。2）当k<0时，函数的图像在第U、IV象限，在每个象限内，曲线从左向右上升，也就是 在每个象限内y随x的增大而增大。5. 反比例函数（1）反比例函数的图象：函数y = - （0）是双曲线.x当&>0时，图彖在第一.第三象限：当&a

28、mp;V0时，图象在第二、第四象限.反比例函数的性质：设y = -（0），贝IJx当£>0时，在每个象限中，y随x的增大而减小： 当&V0时，在每个象限中，y随X的增大而增大.反比例函数y二土中k的意义：x如图，过反比例函数y =纟伙H 0）图象上任一点P作x轴、 xy轴的垂线PM . PN ,则所得的矩形PMON的而积S = PMPN =卜| 凶=|期二冏 例题:(1) 如图：反比例函数y=£的图象经过点八，则k的值是() x四象限，则k的取值范国是(D) -22)(1»一511(4) 在函数y = 一的图象上有三点(-1, *)、y) ( ，y)

29、 则函数值 * 咒、 X42y,的大小关系是()(A)%<y心<B) 3rs<y3<yi(C) jri<y3<y：(D) yKyKys(1) 已知反比例函数的图象经过点(1，2),则它的图象也一立经过()(A ) (-1. -2) (B) (-1, 2)(C) (b -2)(D) (-2, 1)(2) 在函数y二-丄的图象上有三点A、B. C,过这三点分别向x轴、y轴作垂线，过每一点所x作的两条垂线段与X轴、y轴用成的矩形的而积分别为弘S：.弘 则()(A ) Sx>S：>S3(B) Si<S：<S3(C) SKSKS：(D) SfS

30、：=S32 已知y是x的反比例函数，且当x=3时，y二8求y是x的函数关系式。求当x=2-3时，y的值。当x取何值时,y=1.5o5.二元一次方程组的图像解法画出方程组对应的两个一次函数的图像，找出它们的交点，这个交点的坐标就是二元 一次方程组的解，这种解方程的方法叫做二元一次方程组的图像解法。利用图像解下列方程组2x- y = 2 、x+y = _56. 一次函数与一元一次不等式使一次函数y=kx+b （k#0）的函数值y>0的自变量的所有的值，就是一元一次不等式 kx+b>0的解集。（1）画出函数y=l. 5x+3的图像,指出 x取何值时，y>0?x取何值时，y<0

31、?（2）学校准备去春游，甲乙两家旅行社原价为每人60元，且都表示对学生优惠，甲旅行社表示：全部8折收费：乙旅行社表示：若人数不超过30人则全部9折收费，超过30人全部 按7折收费。 试分别写出甲乙两家旅行社实际收取的总费用y关于春游学生人数x的函数关系式。 讨论选择哪家旅行社较优惠； 在同一坐标系中画出题的函数的图像，并根据图像解释题讨论的结果。第19章全等三角形1. 命题判断它是正确的或是错误的句子叫做命题。正确的命题叫做真命题，错误的命题叫假 命题。命题可以写成“如果，那么”的形式。（1）把下列命题写成"如果，那么”的形式，并指岀它的题设和结论。 全等三角形的对应边相等。 平行四

32、边形的对应边相等。（2）指岀下列命题中的頁命题和假命题。 同位角相等，两直线平行。 多边形的内角和等于180° o2. 公理数学中有些命题的正确性是人们在长期实践中总结出来的，并把它们作为判断其他命 题真假的原始依据，这样的真命题叫做公理。3. 定理数学中有些命题可以从公理或其他真命题出发，用逻辑推理的方法证明它们是正确的， 并且可以进一步作为判断其他命题真假的依据，这样的真命题叫做定公理。例题：(1) 把下列命题写成"如果，那么”的形式，并指出它的题设和结论。并用逻辑 推理的办法证明题 同旁内角互补，两直线平行。 三角形的外角和等于360°。(2) 判断下列命题

33、是真命题还是假命题，若是假命题，举一个反例加以证明。 两个锐角的和是直角。 两条直线被第三条直线所截，同位角相等。试证明'如果两条宜线呢垂宜于同一条直线，那么这两条直线平行。”即，已知：如图, AB丄MN,CD丄MN,垂足分别是E,F求证：ABCD。MEFN4. 全等三角形的判定一般三角形SSS SASASA AAS直角三角形SSS SAS ASA AAS HL例题1:如图:点0是平行四边形ABCD的对角线的交点,AAOB绕点0旋转180°，可以与厶合，这说明AOBA>这两个三角形的对应边是A0与, 0B与, BA与,对应角是ZAOB与 , ZOBA与 , ZBAO与

34、。练习1：如图：AE是平行四边形ABCD的髙，将AABE沿AD方向平移，使点A与点D重合，点E和点F重合，则ZXABE > ZF= o如图：点D是等腰直角三角形ABC内的一点，AB二AC,将AABD绕点A逆时针旋转90° , 点D与点E重合.则AABD, AD=,BD二。E竺雪两个三角形有两边及其夹角分别对应相等，那么这两个三角形全等。（SAS） 例题2：（1）点H是等腰梯形ABCD底边AB的中点，求证 AMDABMCo(2) AB二AC, AD=AE, AB丄AC, AD丄AE° 求证：(1) ZB二ZC, (2) BD二CE练习2：已知 DF二CE, AD二BC,

35、 ZD二ZC。求证：ZkAED竺 ABFC。作业2：已知：ACEF, AC二EF, AE二BD, 求证：AABCAEDFo（3）如果两个三角形有两个角及其夹边分别对应相等，那么这两个三角形全等。（ASA） 例题3：如图：AABC是等腰三角形，AD、BE分别是ZBAC, ZABC的角平分线，求证 ABDABAEc练习3：已知：A. B、C、D 四点在同一直线上.AC二DB, BECF, AEDF。求证：ABE9ADCF。在AABC 和ZkDBC 中，Z1=Z2, Z3=Z4, P 是 BC 上任一点。求证：PA二PD°练习4：已知:ZBAC二ZDAE, ZABD二ZACE, BD二CE

36、。求证：AB二AC。AE作业4：已知 AB 与 CD 相交于 0, ZA=ZD, CO二B0,求证 AOC ADOBo(5)如果两个三角形的三边对应相等,那么这两个三角形全等。 例题5：已知：AB二DC. BE二CF, AF二DE。求证：ABEZkDCF。练习5已知：AB二CD, AE二DF, CE二FB, 求证：AF二DE。(6)如果两个直角三角形的斜边和一条直角边分别对应相等，那么这两个直角三角形全等。(HL)o例题6：在AABC 中.BD二CD,DE丄AB,DF丄AC,E、F 为垂足，DE二DF,求证 BEDACFDo练习6：如图：AD二BC, DE丄AC 于 E, BF丄AC 于 F,

37、 DE二BF。求证：(1) AF二CE, (2) ABCD。作业6：如图：AB二AC, BD二CE。求证：OA 平分ZBACo5. 尺规作图只有使用圆规和没有刻度的宜尺这两种工具去作几何图形的方法称为尺规作图。(1) 作一条线段等于已知线段(2) 作一个角等于已知角(3) 作已知角的平分线(4) 经过一已知点(直线上.直线外)作已知直线的垂线(5) 作已经线段的垂直的平分线 例题：(1) 任意画岀两条线段AB,CD,在作一条线段，使它等于AB+2BD.(2) 任意画出两个角Z1,和Z2,使Z1>Z2,再做一个角，使它等于Z1-Z2(4) 如图，过点P作Z0两边的垂线。(5) 四等分已知线

38、段AB.6. 逆命题(1) 对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另外一个命题的结论和条件，那么 这两个命题叫做互逆命题，其中一个命题叫做原命题，另外一个命题叫做原命题的逆命题。(2) 原命题为真，它的逆命题不一定为真。(1) 写岀下列命题的逆命题，并判断这些命题的真假. 如果Z a与ZB是邻补角，那么Za+ZP=180° : 如果一个三角形的两个内角相等，那么这两个内角所对的边相等.(2) 举例说明下列命题的逆命题是假命题： 如果一个整数的个位数字是5,那么这个整数能被5整除： 如果两个角都是直角，那么这两个角相等。7. 等腰三角形的判定(1) 利用定义：两条边相等的三角形叫

39、等腰三角形。(2) 如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等。(等角对等边)。如图，已知P、Q是AABC的边BC上的两点，并且BP二PQ二QC二AKAQ,求ZBAC的大小。(2)已知等腰AABC的底边BC二8cm,且j AC-BC二2cm,则腰AC的长为()A. 10cm 或 6cmB. 10cmC. 6cmD. 8cm 或 6cm如图所示，已知AABC中，AB二AC, BD二BC, AD二DE二EB,求ZA的度数.8. 勾股定理的逆定理如果三角形的一条边的平方等于另外两条边的和，那么这个三角形是直角三角形。(1) 判断由线段a、b、c组成的三角形是不是直角三角形. a二7, b

40、二24, c二25： a二 1. 5, b二2. 5：、521-3丿 a , b1 c o43练习：已知a. b、c是直角三角形的三条边，c是斜边，且a. b. c都是正整数.当a=5时，b、 c只能是12, 13：当圧7时，b, c只能是24, 25；当圧9时，b, c可以是40, 41,也可以是12, 15你能求出当a=15时,b, c可能取的值吗?在AABC中，AC=2a. BC=a2+b AB=a2-b英中a>b AABC是不是直角三角形？如果 是，那么哪一个角是直角？9.角平分线到一个角两边距离相等的点，在这个角的平分线上。例题:如图：已知AABC的外角ZCBD和ZBCE的平分

41、线相交于点F,求证：点F在ZDAE的平 分线。练习:如图：在直线1上找出一点P，使得点P到ZA0B的两边OA、0B的距离相等。 B作业:如下图，AM起AABC的角平分线，N为BH的中点，NEAM,交AB于D,交CA的延长线 于E,下列绍伽A. BM=MCB. AE二B:AM二DED. DN=BN10线段垂直平分线一条线段的两个端点的距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。例题：如图所示，在AABC中，BC的垂直平分线交AC于E,垂足为D, AABE的周长是15cm, BD二6cm,求AABC的周长。DOHit A ABC中，AB=AC, AB的垂直平分线交AB于D,交AC于E, ZEBC=30

42、° ,求ZA的度 数。作业：如下图，RtAABC中，ZC二90° ,斜边AB的垂直平分线交AB于点D,交BC于点E, AE 平分ZBAC,那么下列关系不成立的是（）A ZB二ZCAEB ZDEA二ZCEAC ZB=ZBAE D AC二2EC第20章平行四边形的判定1. 平行四边形的判定（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形。例题1:（1）BD是平行四边形ABCD的对角线，点E、F在BD上，要使四边形AECF是平行四边形， 还需要添加的一个条件是.练习1:如图，在ZABC中，BD平分ZABC, DEBC交AB于点E, EFAC交BC于点F,那么BE二CF, 请你说明理由。

43、竺警对边分别相等的四边形是平行四边形。例题2：如图，平行四边形ABCD中，AF=CH, DE=BG求证：EG和HF互相平分。练习2：如图，已知：E、F是平行四边形ABCD对角线AC上的两点，若AE二CF,求证：四边 形BFDE是平行四边形。竺二对边平行且相等的四边形是平行四边形。例题3：如图：A、B、E在一条直线上，AB二CD, ZC二ZCBE.试证明AD二BC。练习3：在平行四边形ABCD中，E,F分别是对边BC和AD上的两点，且AF二CE,求证：四边形 AECF为平行四边形。作业3：如图，已知：E、F是平行四边形ABCD对角线AC上的两点，若BE/DF求证：四边形BEDF为平行四边形.竺磬

44、对角分别相等的四边形是平行四边形。例题4：（1）下列条件中，能判左四边形是平行四边形的是（）.A、一组对边相等，另一组对边平行：C、一组对角相等，一组邻角互补：B、一组对边平行，一组对角互补：D、一组对角互补，另一组对角相等。（2）如图，在平行四边形ABCD中，已知AE、CF分别是ZDAB、BCD的角平分线，证明四边 形AFCE是四边形。A八FD（5）对角线互相平分的四边形是平行四边形。例题5：（1下而几组条件中，能判上一个四边形是平行四边形的是（）.A. 一组对边相等；B.两条对角线互相平分C. 一组对边平行；D.两条对角线互相垂直（2）已知：如图所示，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相

45、交于点0, EF经过点0并且分 别和AB、CD相交于点E、F,又知G、H分别为0A、0C的中点.求证：四边形EHFG是平行 四边形。练习5：如图，已知：E. F是平行四边形ABCD对角线AC上的两点，若BE丄AC于E, DF丄AC 于F.求证：四边形BEDF为平行四边形作业5：如图，在CABCD中，已知两条对角线相交于点0, E. F、G、H分别是AO、BO、CO、DO 的中点，以图中的点为顶点，尽可能多地画岀平行四边形。2. 矩形的判定（1）有一个角是直角的平行四边形是矩形。例题：（1）平行四边形内角平分线能够围成的四边形是（）A梯形B矩形C正方形D不是平行四边形（2）已知：如图，BC是等腰

46、ABED底边ED上的髙，四边形ABEC是平行四边形.求证：四 边形ABCD是矩形。B 练习：下列说法错误的是（）A.有一个内角是直角的平行四边形是矩形B 矩形的四个角都是直角，并且对角线相等C 对角线相等的平行四边形是矩形D 有两个角是直角的四边形是矩形（2）对角线相等的平行四边形是矩形。如图，矩形ABCD的对角线AC与BD的交点是点0, E、F. G、H分别是AO、BO、CO、DO上的一点，且AE二BF二CG二DH。求证：四边形ABCD是矩形。已知平行四边形ABCD的对角线AC, BD交于点0, AAOB是等边三角形,AB=4cm.平行四边形是矩形吗？说明你的理由，求这个平行四边形的而积。（

47、3）有三个角是直角的四边形是矩形。如图，B0是RtAABC斜边上的中线，延长B0至点D,使B0二D0,连结AD, CD,则四边形ABCD是矩形吗？请说明理由.如图，在AABC中，AB二AC, AD、AE分别是ZA与ZA的外角的平分线，BE丄AE,求证:AB 二 DE。3. 菱形的判定（1）有一组邻边相等的平行四边形是菱形。例题：如图：AD是AABC的一条角平分线，DEZ/AC交AB与点E, DFAB交AC与点F。求证四 边形AEDF是菱形。练习:如图：A ABC中，AB二AC,点D是BC的中点，DE丄AC于E, DG丄AB于G, EK丄AB于K,（1）如图，平行四边形ABCD的两条对角线AC、

48、BD相交于点0, AB二、S , A0二1, 0B二2,则AC、BD的位置关系是,四边形ABCD是菱形的道理是c（2）按图示的虚线折纸，然后连接ABCD可得菱形，由此可以得到的四边形形。1II1B1111Dj:C练习：已知矩形ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD.BC分别交与点E、F,求证四边形AFCE 是菱形。B作业：如图，AABC中，ABAC, AD是角平分线，E为AD延长线上一点，CF/BE交AD于F, 连接BF、CE,求证：四边形BECF是菱形。(3) 四条边都相等的四边形是菱形。在平行四边形ABCD中，血2BC,点E在DA的延长线上，AE二AD,点F在AD的延长线上, DF二AD

49、, CE交AB于点G, BF交CD于点M, CE与BF交于点H,求证：四边形GBCH是菱形。(4) 每条对角线平分一组对角的四边形是菱形。如图，任菱形ABCD中，ZBAD二2ZB,是说明ZkABC等边三角形。练习：如图，DE是CABCD中ZADC的平分线，EF/AD交DC于F。求证：四边形AEFD是菱 形。如果ZA二60° , AD二5,求菱形AEFD的而积。4. 正方形的判定 竺書一组邻边相等的矩形是正方形。在ZkABC中，ZACB二90° , CD平分ZACB, DE丄BC, DF丄AC,垂足分别为E, F°求证: 四边形CFDE是正方形。(2)有一个角是直角

50、的菱形是正方形。已知，点A' , B'、C、D'分别是正方形ABCD四条边上的点，并且AA'二BB'二CC' 二DD'。求证：四边形A' B Cr 是正方形。(3) 有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形。如图：在ZABC中，ZC=90° , ZA. ZB的平分线交于点D, DE丄BC于点E, DF1AC 于点F,求证：四边形CFDE是正方形。5. 等腰梯形的判定 竺密腰相等的梯形是等腰梯形。 例题：如图：矩形ABCD中，点E、F在边AD上，AE二FD,求证：四边形EBCF是等腰梯形。练习：在梯形ABCD中，ADBC.若再加上一个条件： ，则可得到