湖南师范大学考研专业课高等量子力学知识点

1、量子力学的基本假设1、 微观体系的状态被一个波函数完全描述，从这个波函数可以得出体系的所有性质。波函数一般应满足连续性、有限性和单值性。2、 力学量用厄米算符表示。如果在经典力学中有相应的力学量，则在量子力学中表示这个力学量的算符，由经典表示式中将动量P换为。表示力学量的算符有组成完全系的本征函数。3、 将体系的状态波函数用算符的本征函数展开（）：，则在态中测量力学量得到结果为的几率是，得到结果在范围内的几率是。4、 体系的状态波函数满足薛定谔方程： 5、 在全同粒子所组成的体系中，两全同粒子相互调换不改变体系的状态。所谓全同性，是指无法确认两个物体之间的任何差别。在量子体系中，由于态的量子化

2、，两个量子态要么全同，要么全不同，没有中间连续的过渡态。没有态的量子化，就谈不上全同性。反之，全同性又对自然界中的可能出现的量子态给与很严格的限制，即全同粒子系的量子态，对于两个粒子交换，要么是对成的，要么是反对称，二者必居其一。这种对称性导致统计性守恒。矩阵力学与波动力学的关系量子力学本身是在1923-1927年一段时间中建立起来的，两个等价的理论矩阵力学和波动力学几乎同时提出。矩阵力学是在对波尔的旧量子论的批判中产生的。矩阵力学的创始人海森伯的观点是：任何物理理论只应讨论物理上可以观测的物理量，对于建立微观现象的正确理论，尤其要注意这点。他认为旧量子论中引用了一整套没有实验根据的概念，例如

3、，电子轨道的概念，因为没有任何实验支持我们肯定电子有完全确定的轨道。事实上，也没有什么实验证据妨碍我们抛弃电子由精确的轨道的概念。海森伯、波恩与约当的矩阵力学，从物理上可观测量，例如原子辐射的频率及强度出发，赋予每一个物理以一个矩阵，它们的代数运算规则与经典物理量不相同，遵守乘法不可对易的代数。量子体系得各力学量（矩阵）之间的关系（矩阵方程），形式上与经典力学相似，但运算规则不同。另一个理论即薛定谔的波动力学，则从完全不同的观点出发，它来源于德布罗意的物质波思想。德布罗意在研究了力学与光学的相似性之后，企图找到实物粒子与辐射的统一的基础，他提出了下列假定：波动-粒子的两重性是微观客体的普遍性质

4、。他从这概念出发，较自然的导出了量子化条件。薛定谔进一步推广了物质波的概念，找到了一个量子体系的物质波的运动方程薛定谔方程，它是波动力学的核心。与矩阵力学一样，薛定谔用他的波动方程成功的解决了氢原子光谱等一系列重大问题。接着，薛定谔还证明，矩阵力学与波动力学是完全等价的，是同一种力学规律的两种不同的表述。事实上，量子理论还可以有更为普遍地表述出来，这是狄拉克的工作。量子理论的诠释及内部的字恰是在波恩对波函数的统计诠释提出之后才得以解决的。到此，量子力学还是非相对论量子力学。狄拉克的电磁场的量子理论对它作了补充。这样，涉及到非相对论的实物粒子与电磁场作用的问题，原则上都可以解决了。对Bohr互补

5、性原理的理解通常人们所说的“量子力学的哥本哈根诠释”的两大支柱就是海森伯德不确定度原理和Bohr的互补性原理。它们构成了正统的量子力学理论的物理诠释的基础。哥本哈根学派的代表人物是Bohr、Heisenberg、Pauli等人，在长期的量子力学基本概念和物理诠释的长期争论中，坚持Born 的波函数的统计解释，即把微观粒子呈现出的波动性理解为“概率波”，而不同意薛定谔、德布罗意等人的“把物质归结为纯粹的波动现象”的观点。也不赞同爱因斯坦等人坚持的决定论性描述的观点。我们注意到，Bohr与Heisenberg的观点，在早期是有区别的。最初，Heisenberg“不愿意承认波动性概念有什么重要性”，

6、“波动力学只不过是一个有用的数学工具”，而Bohr认为“波动概念必须与粒子概念一道纳入量子理论的基本假设之中”。Bohr认为：“波动与粒子描述是两个理想的经典概念，每个概念都有一个有限的适用范围。在特定的物理现象的实验探索中，辐射和实物均可以展现其波动性和粒子性。但这两种描述中的任何单独一个，都不能对所涉及的现象给出完整的说明”。这两种描述中的任何一个都是不充分的。尽管它们彼此不相容，但为了说明所有可能的实验现象，又都是必需的。为了表示这种彼此不相容，而为了完整描述又都是必要的逻辑关系，Bohr提出了“互补性”这个术语。从量子力学的最新进展来看，除了Bohr强调过的波动-粒子两相性这一对互补概

7、念之外，互补性原理的更深刻的含义还有待探讨。如连续性和离散性，概率性和决定论性在量子力学中的并存等。 波函数的统计解释波函数可以给出对体系进行各种测量的结果出现的概率的预期值。处理测量问题，对于一个自洽的理论体系来讲，应该把测量装置与待测体系看成一个复合体系。但人们通常只对待测体系的测量结果有兴趣，此时人们就应把待测体系看成复合体系的一个子体系，由约化密度矩阵去描述结果。叠加原理与纠缠态当体系处于某力学量F的若干本征态的叠加态时，就导致测量F的结果的不确定性，这完全是一种量子力学效应。量子态的叠加原理是波的叠加性与波函数完全描述一个体系的量子态两个概念的概括。量子态的叠加性源于微观粒子“波粒二

8、象性”的波动“相干叠加性”（一个以上的信息状态累加在同一个微观粒子上的现象）；量子纠缠态指的是两个或多个量子系统之间的非定域、非经典的关联，是量子系统内各子系统或各自由度之间关联的力学属性（一个以上的微观粒子因微观系统内特性相互交缠在一起的现象。）量子态可以叠加的物理特性是实现量子并行计算的基础。量子态能够纠缠是实现信息高速的不破译通信的理论基础。它们都是量子信息理论中特有的概念。量子态的纠缠是量子系统各子系统或各自由度之间关联的属性。经典系统内也有此关联，但它表现在概率不相乘上，而量子态的纠缠却反映在概率幅不相乘上。概率幅的纠缠将对量子干涉产生重要的影响。当量子比特的叠加态无法用各量子比特的

9、张量乘积表示时，这种叠加态就称为量子纠缠状态。量子纠缠状态是量子信息理论中的特有的概念。尽管处于纠缠的两个或多个量子系统之间不存在实际物质的联系，但不同的量子位却因为纠缠而彼此影响。正是由于“纠缠”的神秘性，使得一个量子态的状态将与另一个量子态相关，似乎在它们相互之间的关联性上比紧密结合的原子的关联性还强。EPR佯谬爱因斯坦等于1935年发表了一篇简短而重要的文章对量子力学描述的完备性和理论的自洽性提出了尖锐的批评。EPR 一文中提出了两个论断：（1）量子力学对于 “物理实在”的描述是不完备的。这主要是针对于波函数的统计解释。认为“上帝并不掷子”。他们相信，应该存在所谓的“隐变量”可以对物理实

10、在给出更加完备的描述。（）、量子力学理论是不自洽的。这个问题的实质是涉及多粒子体系（或多自由度体系）的纠缠概念的澄清。而在坐标表象中就表现为量子力学中的“非定域性”。解决EPR佯谬的关键是对于一个复合体系进行的测量，是一个不完备的测量，因而对它的任何一个子体系的量子态的描述，必须用约化密度矩阵来描述。因此，EPR佯谬一文对量子力学正统理论提出的指责是不成立的。另外，一个多粒子（或多自由度）体系的量子态采用一个表象展开时，其基矢必须是多粒子体系的一组力学量完全集的共同本征态（完备，正交），波函数的统计解释才能赋予展开系数（是一个数）的模方以测量力学量完全集的相应的某一组本征值出现的概率的物理意义

11、。在EPR佯谬一文的分析中，把一个复合体系的量子态按照它的一个子体系的某一组力学量的完全集来展开，而把系数（是一组体系的某一组力学量完全集的本征态失）与子体系的那组力学量出现的概率联系起来，这一错误导致了量子力学多年的争论。 Bohr 对应原理在大量子数极限情况下，量子体系的行为将渐近于与经典力学体系相同。Bohr的思想对于原子物理和量子理论的发展有极深的影响。Bohr早期的量子论为经典物理学通往微观世界的心理学的国度铺设了一座桥梁。1925年德国年轻物理学家海森伯正是通过Bohr的对应原理最终建立了微观体系的新力学矩阵力学。Bohr的量子论的主要贡献有两点：（1） 光谱学中的德拜-李兹组合原

12、则是量子关系式的表现。（2） 频率，当量子数很大时（，将趋近于经典频率的倍。这正是Bohr对应关系的体现。Bohr 理论的核心思想有两条：一是原子具有能量不连续的定态概念，二是两个定态之间的量子跃迁概念和频率条件。Poisson括号与正则量子化从经典力学到矩阵力学的过渡，在于把经典力学中的连续变量换成遵守一定代数法则的矩阵。量子泊松括号：按正则量子化程序，经典力学中的正则方程将代之为：一般力学力量随时间的演化遵守下列方程注：密度算符随时间的演化为：经典力学与量子力学的关系（1）一般讨论当一个物理的运动速度时，相对论效应便可忽略，相对论力学就回到牛顿力学。形式上，就可以表述为：在的极限情况下，相

13、对论力学牛顿力学。量子力学与经典力学的关系，亦可以形式的表述如下：在普朗克常数的情况下，量子效应便可以忽略，量子力学就回到了经典力学。这一点是狄拉克首先提出的，它比波尔的对应原理更能准确地反映量子力学与经典力学的关系。实际上，普朗克常数。其表现之一是：某些力学量的本征值是量子化的，相邻本征值之差是h的高阶小量。只有这个差别可以忽略时，才能得出经典力学中“所有力学量的变化都是连续的”这一结论。这正是大量子数极限的情况（Bohr的对应原理）。但有些现象，例如测不准关系，纯属量子效应。并不与某些力学量的本征值的不连续性有关。当时，粒子的坐标与动量就可以同时取确定值。此时经典轨道运动概念就完全适用了。

14、（2）泊松括号与运动方程在经典力学中，任何两个力学量的乘积是满足交换律的，即AB-BA=0。而量子力学中，表达力学量的算符则遵守不可对易代数运算规则。狄拉克首先指出，在的极限下。因此，量子力学中的海森伯方程在在的极限下，将回到经典力学的正则方程（3） 薛定谔方程与雅可比-哈密顿方程的关系设粒子在势场中运动，薛定谔方程为： （1）试把波函数的模与相角分开，令（R，S为实数）代入（1）式，分别令实部=实部，虚部=虚部得 （2A） (2B)(1) 与（2）式完全等价。（2A）式就是连续性方程。在的极限下，（2B）变成了，它与经典的雅可比-哈密顿方程相同。*量子力学与经典流体力学的相似性*量子力学与光

15、学的相似性WKB近似考虑粒子在势场中的运动，薛定谔方程为 （1）令，为复函数，代入（1），得到满足的方程： （2）量子效应是用普朗克常数来表征的。 当时，量子力学就回到了经典力学。WKB近似处理问题的精神在于：把按的幂级数作渐近展开，然后按问题要求的精确程度，逐级近似求解。令： （3）代入（2）得： （4） 比较同幂次项，得： （5a） (5b) (5c) 从（5a）可以求出零级近似解： （6）利用（5a）,由（5b）式得：，两边积分得： （7）因此，在准确到的近似下，薛定谔方程的解为；（a）的情况（经典允许区） （8）式中，与（或与）由具体问题的边界条件及归一化条件确定。（b）的情况（经典禁

16、区）令则 （9）式中，与由具体问题的边界条件及归一化条件确定。由（4）式可以看出（8）、（9）成立的条件为： （10a） (10b)（10a）可以表示为：及，式中，为德布罗意波长，故（10a）也可以表示为： （11）由此可以看出（a） 一级近似解成立的条件为：势场的变化较缓慢，即在粒子的德布罗意波长范围内，的变化比粒子的 “动能”（要小得多。 （b） 在转折点的附近近似条件不成立。相干态（压缩相干态）相干态本身是无穷多个光子数本征态的一种特殊的相干叠加，易于展现光子之间的合作行为。相干态的研究起于薛定谔1926年的工作，他发现谐振子存在这样一种状态，它展现出的运动性质与经典振子很相似。在此状态

17、下，谐振子的能量平均值（零点能除外）与经典振子能量相同，而坐标和动量的平均值（即波包中心的位置和动量）随时间的演化也与经典振子完全相同，并且波包不扩散，（取极小值），这就是谐振子的相干态。 谐振子的相干态可以表示为：（，），可以证明是谐振子淹没算符的本征值。证明：得证。考虑并不是厄米算符，它的本征值不一定是实数，故相干态可以取为：相干态中复参数的变化区域是的全平面。可以证明，与全部值相对应的相干态全体是完备的，即完备性条件为：。这表明，任何物理态均可以用相干态的全体来展开。这使得相干态的全体构成了一个新的表象相干态表象。应该指出的是，作为相干态表象的基矢相干态，虽然各自都归一，但彼此并不正交。

18、这种彼此不正交但总体却完备的态矢集合常称为超完备的。意即集合的完备性“过了头”，仿佛是在三维空间中取了四个不在同一平面上的彼此不相交的单位矢量作为基矢。相干态的思想自20世纪60年代以来有明显的进展。目前，相干态的概念已远超过原先的与经典类比的思考范围，出现了众多的种类。现在关于相干态表象的两条基本要求是：I、它是这样一些态矢的集合，这些态矢关于标号是强连续函数；II、 存在正测度使得下面完备性关系成立，。利用幺正变换，定义算符，为实参数，不难证明满足的对易式与相同，。淹没算符的本征态记为，满足，它具有不同于相干态的一些性质。可以证明，在本征态下，尽管最小不确定度关系还成立。但，依赖于参数的取

19、值，这与相干态下取固定值不同。因此可以调节参数的值，可以使变得很小。这在量子光学和量子通讯中有重要的应用。的本征态称为压缩相干态。路径积分基本思想如果从A点发射出的粒子的动量有一个分布，则粒子有一定的概率经过CK而在B点被观测到。在B点被测得的总概率，其中表示粒子从A点出发，经过孔二在B点被测得的概率。从量子力学的观点来分析，考虑到粒子-波动两重性，按照叠加原理，粒子从A点出发到B点的概率波幅为，其中表示只有孔打开时的情况下粒子在B点出现的概率波幅。按波函数的统计诠释，粒子在B点被测到的概率为。现在设想屏上开的小孔越来越多，最后就等于没有设置这个屏。此时，粒子经过屏上所有各点而到达B点的概率波

20、幅都应考虑进去。设代表从A点到B点的一条可能的道路，则粒子从A出发而在B点出现的概率波幅为，其中代表粒子经过道路而到达B点的概率波幅，表示不同道路贡献的波幅以相同权重相加起来，但相位可以不同，从而出现干涉现象。Feynman路径积分理论的基本假定是如下构造传播子：，其中，代表粒子沿道路从A到B的作用量，L是粒子的拉格朗日量，C是适当的归一化常数。这里的道路并不限于要求作用量S取极值的经典轨道，而是包括从A到B的一切可能的通道。于是，粒子在B点被测到的概率为，实际上，由于各种可能的道路是连续变化的，是不可数的，所以求和应化为对所有连续变化的道路进行积分，这就是路径积分的由来。量子力学中的相位AB

21、效应量子力学中，无论采取哪种形式，描述荷电粒子在电磁场中的动力学方程中都会出现粒子所在区域的矢势和标势。Aharonov 和Bohm 首先认识到电磁矢势和标势的深刻物理意义。他们指出，在电磁场强度为0的区域中（但矢势和标势并不为零）运动的两束相干的荷电粒子，波函数会发生不同的相位变化。因此，当两束粒子重新会聚后，就会出现干涉现象。不久，在实验中看到了这种干涉现象，后来称之为AB效应。弱等价原理在经典力学中，惯性质量为的粒子的动力学方程为，设万有引力，为万有引力势。则有：，说明在万有引力场中，不管其质量如何，都具有相同的加速度。因此，只要初位置和初速度相同，不因为粒子的质量不同而异。这就是经典力

22、学的弱等价原理。在量子力学中，弱等价原理不适用。量子力学中的相位不定性一、 常数相位不定性在量子力学中对波函数的统计诠释，相对概率是本质，因此，波函数有一个常数因子的不定性和常数相位因子的不定性。即表示同一个态。量子力学中，任何力学量的本征态都有常数相位因子的不定性。二、 本征态的含时相位不变性含时不变量：。设包含在内的一组守恒量完全集的共同本征态记为，含时不变量具有以下特点：（1） 含时不变量的本征值不随时间变化（2）、一般不满足含时薛定谔方程（3）、作为的本征态，视为参数，则有含时相位不定性。设不含对的微商算符，则可作一个含时相位变换， （1）（为实数）。则有，。此时，不妨要求满足含时薛定

23、谔方程， （2）（1） 代入（2）得 （3）左乘，得 （4）当时，（4）左边为零，即要求在给定的的子空间中可以把对角化。 当，（4）式化为，两边积分得 （5）结论是后就满足含时薛定谔方程。由（4）给出，就叫Lewis 相。三、量子绝热近似设的瞬时本征方程为*，是包含在内的一组力学量完全集的共同本征态，是一组完备的量子数，为瞬时能量本征值，一般要随时间变化。作为本征态，具有相位不定性。设体系初态处于 的某一瞬间时本征态，在时刻应该表示成所有的相干叠加（1）上式中表示在时刻测得体系处于态的概率。一般情况下很难求解，需要用近似方法来求，如果随时间变化足够缓慢，则可以用量子绝热定理来处理。量子绝热定理

24、：设体系哈密顿量随时间变化足够缓慢，初态为，则时刻体系将保持在的瞬时本征态上。这就要求（1）中所有项的非常小，即从态到所有态的跃迁可以忽略，因而体系才可能保持在态。绝热近似条件成立的条件是体系的哈密顿量缓慢变化的频率远小于体系的特征频率。两边左乘绝热定理要求所有的项可以略去。可推出条件为：，物理意义是：体系的瞬时本征态随时间变化的频率，比体系的内禀特征频率要小得多。*对微分，得用左乘上式得，（对所有）四、 Berry相设体系随时间变化足够缓慢，能保证绝热近似条件，则有积分得设绝热相，动力学相随时间的变化，往往是由于中所含参量随时间变化而来。随的变化，参数随之变化。如果经历一周期后，在参数空间中

25、画出一条闭合曲线C。可以表示为参数空间中的积分Berry的重要发现是，依赖于参数空间中的的变化过程。对于给定，不同过程相应于不同，由此，他指出是不可积的。是沿参数空间中的闭合曲线C走一圈后的改变，Berry 称之为几何相位改变。后来也称之为几何相位。五、 AA相Aharonov与Anandan放弃了Berry的量子绝热近似假定，他们假定体系的量子态按薛定谔方程周期性演化，周期为，。对量子态作含时变换，则有，令，则，即在经历一周期后没有相位变化。假设满足薛定谔方程，则有 ，左乘，得对积分一周期，得，称为动力学相，称为几何相。从对称性分析全同性原理在量子力学中，如果体系的哈密顿算符在某个变换下保持

26、不变，则说明该体系具有某种对称性，空间的均匀性，空间的各向同性和时间的均匀性使得孤立体系具有空间平移的不变性，空间旋转的不变性，时间平移不变性。除了空间几何对称性外，量子力学还有一些重要的新的对阵性。其中最重要的是全同粒子的置换对称性，以及相位对称性。这些对称性都是由于量子态的描述与经典力学态的描述有根本性差异而来的， 在物理上则反映微观粒子的波动性。所谓“全同性”，是指无法确定两个物体之间的任何差别。在量子力学中，由于态的量子化，两个量子态，或全同，或全不同，中间无连续的过渡。全同粒子系的量子态，对于交换两个粒子，或者是对称的，或者是反对称的，二者必居其一，这种对称性，导致统计性守恒。在粒子

27、不发生转化或湮没情况下，粒子的统计性是守恒的。全同性是一个可以观测量。特别是全同性将导致粒子之间有一种新型作用力交换力，这是纯粹的量子效应。如果没有这种交换力，世界上原子和分子不可能稳定存在。守恒量与对称性一个体系的量子态随时间演化遵守薛定谔方程，设体系在某种线性变换下（或）体系在变换下的不变性表现为：满足相同的动力学规律，即，可得，用运算（为线性算符，不显含），得，根据不变性要求，两边同左乘，得，该式称为体系的对称变换，这式成立与否，取决于体系的对称性。物理学中的对称变换，总是构成一个群，称为体系的对称性群。 Winger曾经指出：满足量子力学统计诠释要求的连续对称性变换，必为幺正变换。它们

28、的无穷小变量可以表示成，为描述连续变换的无穷小量，为一个线性算符。按照幺正性要求可得，即为线性厄米算符，可用以定义一个可观测量。这样，Hamilton量的不变性条件就化为，F成为体系的一个守恒量。 对于一个体系，设一个变换不改变它的各物理量之间的相互关系，则称为体系的一个对称变换。Winger 根据这一基本原理得出重要结论：对称变换只能是幺正变换或反幺正变换。当一个体系具有一个守恒量，则体系一定具有相应的某种对称性。反之，不一定。守恒量的物理含义：（1） 量子力学中的守恒量并不一定具有确定的值。它在任何态（不一定是定态）下的平均值和测量值的概率分布都保持不随时间变化（与初态相同）（2） 量子力

29、学中并非所有守恒量都可以同时取确定值。（3） 量子力学中的守恒量并不全有经典对应。薛定谔方程与时间反演得不变性时间反演：时间反演态并不意味着真正时间倒流，而只不过是运动方向的倒转，时间都是正向的，因果关系也相同。时间反演对称性并不意味着新的守恒量。（1） 无自旋粒子在实势场中取复共轭：用t代替-t，可见时间反演态也是薛定谔方程的解，这就是薛定谔方程的时间反演不变性。（2） 对于一般情况取复共轭，用t代替-t，假设，则，用U对上式运算，可以看出时间反演态满足薛定谔方程。这就是薛定谔方程的时间反演不变性。时间反演算符的本征值与统计性的关系按照时间反演算符T的物理意义，与是同一个量子态，因而它们最多可以差一个常数因子。令，可以得。对相对论量子力学的理解薛定谔方程是量子力学的基本方程，是非性对论性的。在此方程中，时间与空间坐标显然处于不同等的地位，方程描述的粒子，概率是守恒的。在这里没有粒子的产生和淹没现象，事实表明，方程对于描述原子、分子的绝大多数现象，甚至包括低能核物理的许多现象是很成功的。但在高能领域里，粒子的产生和淹没就是一个普遍的现象。高能现象中不仅涉及到粒子数相同的量子态，还涉及到粒子数不同的量子态。在此领域内，非相对论性的薛定谔方程就不再适用。差不多在薛定谔方程提出的同时，就有人提出了相对论性波动方程，习惯