一元二次不等式及其解法教学讲义

1、ZHI &HI SMU LI SHUJV ZJ CE1)一元二次不等式及其解法教学讲义ZHI SHI SHU LI知识梳理1. 一元二次不等式的解法(1) 将不等式的右边化为零，左边化为二次项系数大于零的不等式ax2 + bx+ c>0(a>0)或ax2 +bx+ c<0(a>0).计算相应的判别式.(3) 当0时，求出相应的一元二次方程的根.(4) 利用二次函数的图象与x轴的交点确定一元二次不等式的解集.a>0 且 b2 4ac<0(x R).a<0 且 b2 4ac<0(x R).2. 三个二次之间的关系判别式= b2 4ac>

2、0= 0A<0二次函数y= ax2 + bx+ c(a>0)的图象r<一兀二次方程ax2 + bx+ c= 0(a>0)的根有两相异实根X1, X2(X1 <X2)有两相等实根bX1 = X2= 务没有实数根ax2 + bx+ c>0(a>0)的解集 XlX>X2 或X<X1x|x R 且 XM X1迟ax2 + bx+ c<0(a>0)的解集x|X1<X<X2?實ZHONG YAO JIE LUN重要结论)1. ax2 + bx+ c>0(a丰0)恒成立的充要条件是:2. ax2 + bx+ c<0(a

3、丰0)恒成立的充要条件是:注意：在题目中没有指明不等式为二次不等式时，若二次项系数中含有参数， 应先对二次项系数为0的情况进行分析，检验此时是否符合条件.3二次不等式解集的“边界值”是相应二次方程的根.4简单分式不等式的解法f x(1) 市>0(<°)? f(x)g(x)>o(<o)；y xf xf x g x > 0 < 0(2) 0( w 0)?.g xg x 工 05.简单的指数与对数不等式的解法(1) 若 a>1, af(x)>ag(x)? f(x)>g(x)； 若 0<a<1, af(x)>ag(x)?

4、 f(x)<g(x).若 a>1, logaf(x)>logag(x)? f(x)>g(x)>0; 若 0<a<1, logaf(x)>logag(x)? 0<f(x)<g(x).rSHUANG JI ZI CE双基自测1不等式(x- 1)(2 - x) > 0的解集为(A )A . x|1w xw 2C. x|1<x<2B. x|xw 1 或 x>2D. xx<1 或 x>2解析由(x- 1)(2 x) > 0可知(x-2)(x- 1)w 0,所以不等式的解集为x|1w xw 2 故选A .

5、1 一 x2 不等式一> 0的解集为(B )2 + xA . - 2,1B . (-2,1C. ( a, 2) U (1,+ )D . ( 3 2 U (1 ,+ )1 - x 2 + x > 0,解析原不等式化为2 + xm 0,x-1 x+ 2 w0即，所以2<xw 1故选B.x + 2工 04. (2018 山东烟台期中)若集合 M = x|x2+ x 12W0 , N= y|y= 3x, x< 1，则集合x|x M 且x?N等于(D )A . (0,3B . 4,3C. 4,0)D . 4,0解析M = 4,3, N = (0,3,x|x M 且 x?N = 4

6、,0，故选 D .5. 若不等式(a 3)x2 + 2(a 3)x 4<0对一切x R恒成立，则实数 a取值的集合为(D )A . ( 3 3)B. ( 1,3)C. 1,3D. ( 1,3解析当a= 3时，一4<0恒成立；a<3,当3时，= 4 a 3 2+ 16 a 3 <0,解得1<a<3.所以1<aw 3.16. (2018 东烟台联考)不等式x>-的解集为(1,0) U (1 ,+3 ).x解析当x>0时，原不等式等价于x2>1，解得x>1 ;当x<0时，原不等式等价于 x2<1，解1得一1<x<

7、;0.所以不等式x>x的解集为(一1,0) U (1,+3).3直动揮究10 DIMI TU 吟 MUT-UV jiyl考点1 一元二次不等式的解法一一多维探究 角度1不含参数的不等式” 例1解下列不等式(1) 2x2 + x+ 3<0 ;(2) x2 2x+ 2>0;2x 13 4x1.分析(1)将二次项系数化为正数， 变为2x2 x 3>0,求方程2/ x 3= 0的根，若无根, 则解集为R，若有根，则按"小于取中间，大于取两边”写出解集；f 移项通分化为g>0的形式，进而化为f(x) g(x)>0求解.9 x解析(1)化2x2 + x+ 3&

8、lt;0 为 2x2 x 3>0,3(x+ 1)(2x 3)>0，即(x+ 1)(x 2)>0,3x>2或 x< 1,3 原不等式的解集为(r 1)u q,+g).因为A<0，所以方程x若a> 0，原不等式等价于(x )(x 1)v 0. a 2x+ 2 = 0无实数解，而y= x2 2x+ 2的图象开口向上，可得原不等式x2 2x+ 2>0的解集为R.2x 16x 43x 2化> 1为 > 0,即卩 < 0,3 4x3 4x4x 33233(3x 2)(4x 3)w 0，且 xm 4,即(x R(x0(且 4)23原不等式的解

9、集为x|§w x<4.名师点拨 ？解一元二次不等式的一般步骤(1) 化：把不等式变形为二次项系数大于零的标准形式.(2) 判：计算对应方程的判别式.(3) 求：求出对应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程有没有实根.(4) 写：利用“大于取两边，小于取中间”写出不等式的解集.角度2含参数的不等式" 例2解下列关于x的不等式：(1) ax2 (a+ 1)x + 1<0(a R);(2) / 2ax+ 2w 0(a R)；分析(1)因二次项系数含有字母，故需对其符号分类求解，即讨论 a与0的关系，并注意1根的大小关系，即讨论 -与1的关系，故需分a<0,

10、a= 0,0<a<1 , a= 1, a>1五种情况求解; a(2)由于系数中含有字母，故需考虑对应的方程有无实根，以及有根时根的大小关系；解析(1)若a = 0，原不等式等价于x+ 1v 0，解得x> 1.1 1若av 0，则原不等式等价于(x p(x 1)> 0,解得xva或x> 1.1 1 当 a= i时，i, (x?(x i)vo无解；iii 当 a> 1 时，av 1,解(x a)(x 1)v 0 得avxv 1 ；aaa111 当 Ov av 1 时，：1，解(x )(x 1) v 0 得 1 v xv .aaa1综上所述：当av 0时，解

11、集为xx va或x> 1；当a = 0时，解集为xx> 1;当Ov av 1 a1 1时，解集为x|1 vxv# ；当a = 1时，解集为？；当a> 1时，解集为x：vxv 1.对于方程 x2 2ax+ 2 = 0，因为= 4a2 8,所以当 Av 0，即一. 2v av 2时，x2 2ax +2= 0无实根又二次函数 y= x2 2ax+ 2的图象开口向上，所以原不等式的解集为？；当A= 0,即卩a= ±2时，x2 2ax+ 2= 0有两个相等的实根，当a= ,2时，原不等式的解集为x|x= 2,当a=2时，原不等式的解集为x|x= .2；当A> 0,即卩a

12、> .2或av 2时，x2 2ax+ 2= 0有两个不相等的实根，分别为 X1 = a "a2 2,x2= a+，a2 2,且 X1< X2,所以原不等式的解集为 x|a a2 2< x< a + " a2 2. 综上，当 a> 2或 av 2时，解集为x|a " a2 2<x<a +”. a2 2;当 a = . 2时，解集 为x|x= ,2;当 a = .2时，解集为x|x= ,2;当一,2v av . 2时，解集为？.名师点拨？含参数的不等式的求解往往需要分类讨论(1) 若二次项系数为常数，可先考虑分解因式，再对根的

13、大小分类讨论(分点由X1 = X2确定)；若不易分解因式，且判别式符号确定，可考虑求根公式，以便写出解集，若判别式符号不能确定，则需对判别式分类讨论(分点由A= 0确定).(2) 若二次项系数为参数，则应先考虑二次项系数是否为零，然后讨论二次项系数大于零、小于零，以便确定解集形式.(3) 解简单分式不等式是通过移项、通分化为整式不等式求解，要注意分母不能为零.(4) 解简单的指数、对数不等式时，若底含有参数，则需对其是否大于1分类求解，注意对数 的真数必须为正.变式训练1(1) (角度1)(2018陕西部分学校摸底检测)已知集合U = Z ,集合A=x Z|3W x<7 , B = xZ

14、|x2 7x+ 10>0，贝U A A (?uB)= ( A )A . 3,4,5B . 2,3,4,5C. 4,5D. 2,3,4x一 11(2) (角度1)不等式2w 1的解集为x|x> 2或XW- 2.(3) (角度 2)解不等式 x2 (a+ 1)x+ a<0(a R)解析(1) '/A= 3,4,5,6 , B = x Z|x>5 或 x<2 , a?ub= 2,3,4,5 , ：4 A (?UB) = 3,4,5, 故选A .x 1x 1 x 2x+ 2(2) < 1? 1w 0?w 0?> 0.2x+12x+ 12x+12x+1x

15、+ 2x + 2 2x+ 10,10?解得x|x> 3或 xw 2.2x+ 12x+ 1工 0,2由 x? (a + 1)x + a= 0,得(x a)(x 1) = 0,'X1= a,X2 = 1, 当 a>1 时，x2 (a+ 1)x+ a<0 的解集为x|1<x<a, 当a= 1时，x2 (a + 1)x+ a<0的解集为？, 当 a<1 时，x2 (a+ 1)x+ a<0 的解集为x|a<x<1.考点2三个二次间的关系一一师生共研(1)(2018重庆模拟)关于x的不等式x2 2ax 8a2<0(a>0)的解

16、集为(X1, X2),且X2 X1= 15,贝V a = ( A )15215C "4T若不等式x2+ ax 2>0在区间1,5上有解，则a的取值范围是(A )a .(y，+m)C. (1 ,+s )23B. ( 23，D. ( g.12?分析(1)思路一：禾U用根与系数的关系求解思路二：因为a>0，可解方程x2 2ax 8a2=0，得两根X1 , X2,代入X2 X1= 15求解；令f(x) = x2 + ax 2, = a2 + 8>0恒成立，又两根之积为负值，所以只要f(1) > 0或f(1)<0且f(5)>0，于是得解；思路二："

17、正难则反”，求 x2 + ax 2< 0在区间1,5上恒成立的a的 取值集合，只需f(5) < 0，再求其补集即可；思路三：分离参数.解析 解法一：由题意知 xi, X2是方程x2 2ax 8a2= 0的两根，则xi + X2= 2a, xix2 =158a2.又 X2 xi= 15,.(x2 xi)2= (xi + X2)2 4x1x2= 4a2 + 32a2= 36a2= 152.a>0 ,a6 =52故选A.解法二：由 x2 2ax 8a2 = (x + 2a)(x 4a)<0,Ta>0,.不等式的解集为(2a,4a).5又不等式的解集为 (xi, x2),

18、 xi = 2a, X2= 4a. -><2 xi= 4a ( 2a) = 6a = 15,.a =，故选令f(x) = x2 + ax 2，贝U = a2 + 8>0, 方程f(x) = 0,有两个不等实根， 又两根之积为负,方程有一正根和一负根.解法不等式x2+ ax 2>0在区间1,5上有解，只要f 1 <0,f(1) > 0 或f 5 >0.解得a> 1或f(5)w 0,即卩 25+ 5a 2< 0,解得 a<数的值或范围，为简化讨论注意数形结合，如本例变式训练2中对应的二次函数图象过点(0, 2).、 1 1 、(1)已知不

19、等式ax2 bx 1 > 0的解集是, 3，则不等式x2 bx a<0的解集是(A )A (2,3)B . ( s, 2) U (3,+s )C. (3, 2D . ( s, 1 U (2 ,+s )(2018九江模拟)若关于x的不等式x2 4x 2 a>0在区间(1,4)内有解，则实数 a的取值范围是(A )A . ( s, 2)B . ( 2 ,+s )C. ( 6 ,+s )D.( s, 6)1 1 2解析(1)依题意，与3是方程ax2bx 1 = 0的两根,b_1 1a = 2 3， 则1= 1 x 1a 23，b=5a= 6， 即1= 1a= 6，又a<0 ,

20、不等式x2 bx a<0可化为bax1>0,15即6x2 + 6x 1>0,即 x2 5x+ 6<0 ,解得 2<x<3.故选 A .解法一：由函数 f(x) = x2 4x 2 a图象的对称轴为 x = 2.二不等式x2 4x 2 a>0在区间(1,4)内有解？ f(4)>0,即卩a< 2，故选A .解法二：(分离参数法)不等式x2 4x 2 a>0在区间(1,4)内有解等价于 ax2 4x 2)max,令 g(x) = x2 4x 2, x (1,4) ,.g(x)<g(4) = 2,.a< 2.故选 A.考点3 一元

21、二次不等式恒成立问题” 例 4 已知 f(x) = mx2 mx 1.师生共研(1)若对于x R, f(x)<0恒成立，求实数m的取值范围;若对于x 1,3 , f(x)< m+ 5恒成立,求实数m的取值范围;若对于|mS 1, f(x)<0恒成立，求实数x的取值范围.分析(1)二次项系数含有字母 m,应分m= 0和m0讨论求解；(2)数形结合，分类讨论;(3) 把二次不等式转化为含 m的一次不等式，根据一次函数的性质求解.解析(1)要使mx2 mx 1<0恒成立, 若m= 0,显然1<0;m<0,若 m 0,贝U? 4<m<0.= m2 + 4

22、m<0所以m的取值范围为(一4,0.要使f(x)< m+ 5在1,3上恒成立, 只需 mx2 mx+ m<6 恒成立(x 1,3),13又因为 x2 x +1 = (x 2)2+4>o,所以m<x令y=6x2 x+161 23.x 2 + 4因为t= (x *)2 + 3在1,3上是增函数,所以6x2 x+ 1在1,3上是减函数.6因此函数的最小值 ymin = 7.所以m的取值范围是(一R, 67).(3) 将不等式f(x)<0整理成关于 m的不等式为(x2 x)m 1<0.令 g(m)= (x2 x)m 1, m 1,1.2g 1 <0, x

23、 + x 1<0 ,则即g 1 <0x2 x 1<0 ,1 “51+ .5解得一2<x<2，1 yf5 1 + 5 即x的取值范围为(一,).名师点拨 ？一元二次不等式恒成立问题1 .在R上恒成立(1) 一元二次不等式ax2 + bx + c>0(或0)对于一切x R 恒成立的条件是a>0,= b2 4ac<0 或 w 0 .一元二次不等式 ax2 + bx + c<0(或w 0)对于一切 x R 恒成立的条件是注意： ax2 bx c>0 恒成立 ?c>0ax2 bxc<0 恒成立 ?a= b= 0a<0c<

24、02= b 4ac<0a<0，= b2 4ac<0 或 w 0 .2在给定某区间上恒成立(1)当 x m, n, f(x) = ax2 + bx+ c>0 恒成立，结合图象，只需 f(x)min>0 即可；当 x m, n, f(x) = ax2 + bx+ cw 0 恒成立，只需 f(x)maxW 0 即可.3解决恒成立问题一定要搞清谁是自变量，谁是参数一般地，知道谁的范围，谁就是自 变量,求谁的范围,谁就是参数.4."不等式f(x) > 0有解(或解集不空)的参数m的取值集合”是“f(x)<0恒成立的参数 m取 值集合”的补集；“ f(x

25、)>0的解集为？”即“ f(x)w 0恒成立.a= b= 0a>0或= b2 4ac<0；变式训练 3(1)(2018甘肃天水月考)若不等式ax2 + 2ax 4<2x2+ 4x对任意实数x均成立，则实数a的取值范围是 ( B )B. ( 2,2A. ( 2,2)C. ( 3 2) U 2 ,3)D. ( , 2(2018山西忻州第一中学模拟)已知关于x的不等式x2 4x> m对任意的x (0,1恒成立, 则有 ( A )B. m> 3A mw 3C. 3w m<0D. m> 4已知对于任意的a 1,1,函数f(x)= x2 + (a 4)x + 4 2a的值总大于0,则x的取值范 围是 ( B )A x|1<x<3B x|x<1 或 x&g