《4.4对数函数》公开课优秀教案教学设计(高中必修第一册)

1、【新教材】442对数函数的图像和性质（人教 A版）教初分析本节课在已学对数函数的概念，接着研究对数函数的图像和性质，从而深化学生对对数函数的 理解，并且了解较为全面的研究函数的方法，为以后在研究函数增长类型打下基础。另外，我们日 常生活中的很多方面都涉及到了对数函数的知识，例如溶液酸碱度的测量，所以学习这一节具有很 大的现实价值。卫学目标与核心常养课程目标1、掌握对数函数的图象和性质，培养学生实际应用函数的能力；2、通过观察图象，分析、归纳、总结对数函数的性质；3、在对数函数的学习过程中，体验数学的科学价值并养成勇于探索的良好习惯数学学科素养1. 数学抽象：对数函数的图像与性质；2. 逻辑推理

2、：图像平移问题；3. 数学运算：求函数的定义域与值域；4. 数据分析：利用对数函数的性质比较两个函数值的大小及解对数不等式；5. 数学建模：通过由抽象到具体，由具体到一般的数形结合思想总结指数函数性质教学重难点重点：对数函数的图象和性质；难点：对底数的分类，如何由图象、解析式归纳对数函数的性质.課前准备教学方法：以学生为主体，采用诱思探究式教学，精讲多练。教学工具：多媒体。教学过程情景导入请学生用三点画图法画y log 2 x, y log 1 x图像，观察两个函数图像猜测对数函数有哪些性质?2要求：让学生自由发言，教师不做判断。而是引导学生进一步观察.研探.二、预习课本，引入新课阅读课本13

3、2-133页，思考并完成以下问题1. 对数函数的图象是什么，通过图象可观察到对数函数具有哪些性质？2. 反函数的概念是什么？要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。三、新知探究1. 对数函数的图象及性质a的范围Ov a v 1a> 11图象rIVid.o)1帼"u1a的范围Ov av 1a > 1性质定义域(0, )值域R定点(1,0)，即 x= 1 时，y= 0单调性在(0,+s )上是减函数在(0,+s )上是增函数点睛底数a与1的大小关系决定了对数函数图象的“升降”：当a>1时，对数函数的图象“上升”；当Ov av 1时，对数函数的

4、图象“下降”.2. 反函数指数函数y= ax和对数函数y= logax(a> 0且1)互为反函数.四、典例分析、举一反三题型一对数函数的图象例1函数y= Iog2x,y= Iog5x,y=lg x的图象如图所示(1) 说明哪个函数对应于哪个图象 ，并说明理由； 在如图的平面直角坐标系中分别画出y=logx,y=loglx,y= log丄x的图象;2510(3)从(2)的图中你发现了什么？【答案】见解析【解析】(1)对应函数y=lg x,对应函数y=log5x,对应函数y=log2x.这是因为当底数全大于1时,在x=1的右侧，底数越大的函数图象越靠近x轴. 在题图中的平面直角坐标系中分别画

5、出y=log1x,y=log1x,y=log1x的图象如图所示.2510$31/X=(吧 jc£-2$7=3 片 X从的图中可以发现：y=lg x与y=log1 x,y= log5X与y= log1x,y=log2x与yhogpx的图象分别关于 x1037轴对称.解题技巧：(对数函数图象的变化规律)1.对于几个底数都大于1的对数函数，底数越大，函数图象向右的方向越接近x轴；对于几个底数都大于0且小于1的对数函数，底数越大，函数图象向右的方向越远离x轴.以上规律可总结成x>1时“底大图低”.实际上，作出直线y=1,它与各图象交点的横坐标即为各函数的底数的大小，如图所示.32.牢记

6、特殊点：对数函数1y=logax(a>0,且 a1)的图象经过(1,0)，佝1)，(?头1).跟踪训练1、作出函数y=|lg(x-1)| 的图象，并根据图象写出函数的定义域、值域以及单调区间【答案】其定义域为(1,+ g),值域为0,+ g),单调递减区间为(1,2,单调递增区间为(2,+ g).【解析】先画出函数 y=lg x的图象(如图).再将该函数图象向右平移1个单位长度得到函数y=lg(x-1)的图象(如图).图图图最后把y=lg(x-1)的图象在x轴下方的部分对称翻折到x轴上方(原来在x轴上方的部分不变),即得出函数y=|lg(x-1)| 的图象(如图).由图易知其定义域为(1

7、,+ g),值域为0,+ g),单调递减区间为(1,2,单调递增区间为(2,+ g).题型二比较对数值的大小例2比较下列各组数中两个值的大小:(1) log23.4, log28.5;(2) log0.3I.8, log0.32.7;(3) Ioga5.1, Ioga5.9(a>0,且 a丰 1).【答案】(1)Iog23.4v Iog28.5 (2) logo.3l.8> logo.32.7(3) 当 a> 1 时，Ioga5.1v Ioga5.9; 当 0v av 1 时，Ioga5.1> Ioga5.9.【解析】 考察对数函数y= Iog2x,因为它的底数2>

8、; 1，所以它在(0,)上是增函数，于是Iog23.4v log 28.5.(2) 考察对数函数y= log o.3x,因为它的底数 0v 0.3v 1，所以它在(0, +)上是减函数，于是logo.31.8> logo.32.7.(3) 当 a> 1 时，y= logax 在(0, +)上是增函数，于是 log a5.1v Ioga5.9;当 0vav 1 时，y= logax在(0,+)上是减函数，于是 Ioga5.1>loga5.9.解题技巧：(比较对数值大小时常用的4种方法)(1) 同底的利用对数函数的单调性.(2) 同真的利用对数函数的图象或用换底公式转化.(3)

9、底数和真数都不同，找中间量.(4) 若底数为同一参数，则根据底数对对数函数单调性的影响，对底数进行分类讨论.跟踪训练二1.比较下列各题中两个值的大小:(1) lg 6 , lg 8 ; log 1 2 与 log 1 2;35(2 )Iog0.56, Iog0.54;(4) log 23 与 log 54.9【答案】(1) lg 6 v lg 8 (2) log0.56v log 0.54 (3) log 1 2<log 1 2 (4) Iog23> Iog54.35【解析】(1)因为函数y= lg x在(0,+a)上是增函数，且6v 8，所以lg 6 v lg 8.(2)因为函数

10、y= Iog0.5x在(0, + a)上是减函数，且6>4,所以Iog0.56v log 0.54.11.log251由于 log 1 2 =1，log 1 2=3Iog23511又对数函数y= Iog2x在(0, + a)上是增函数，且3 > 5,1 1二 0> log2 3> Iog2 5,1vlog2311.log25'log 1 2<log 1 2.亍5(4) 取中间值1 ,Iog23>log22 = 1 = Iog55>Iog54,. Iog23>Iog54.题型三比较对数值的大小1例3 (1)已知Ioga2 > 1,求a

11、的取值范围；(2)已知 logo.7(2x)v logo.7(x 1)，求 x 的取值范围.1【答案】 2，1 ;(2) (1, +).1 1【解析】(1)由 loga? > 1 得 loga?Iogaa.1 当a> 1时，有av2，此时无解.1 1 当Ov av 1时，有2< a,从而f a< 1.一 1 a的取值范围是 2，1 .(2) 函数 y= log o.7X 在(0, + 上为减函数，由 logo.72xv logo.7(x 1)2x> 0,得 x 1 >0,解得 x> 1.2x> x 1 , x的取值范围是(1 , + s).解题技

12、巧：(常见对数不等式的2种解法)(1) 形如log ax> logab的不等式，借助y= logax的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a > 1与0v a v 1两种情况讨论.(2) 形如log ax > b的不等式，应将b化为以a为底数的对数式的形式，再借助y= logax的单调性求解.跟踪训练三1.已知loga(3a 1)恒为正，求a的取值范围.【答案】3，3 U (1,+ s)【解析】由题意知loga(3a 1) > 0 = Ioga1.当a> 1时，y= logax是增函数,3a 1> 1,3a 1 > 0,2解得 a>3, a>

13、; 1;3a 1v 1,3a 1 > 0,y= logax是减函数,当0v av 1时,1 2综上所述，a的取值范围是 3, 3 U (1, + s).题型四有关对数型函数的值域与最值问题例4求下列函数的值域.(1) y= log2(x2 + 4); (2)y= log 1 (3 + 2x x2).2【答案】(1) 2 ,+ R);(2) 2,+ R).【解析】(1)y= log2(x2 + 4)的定义域是R.因为 x2 + 4>4,所以 log2(x2 + 4)> log24= 2,所以 y= log2(x2 + 4)的值域为2 , +).(2) 设 u= 3 + 2x x

14、2= (x 1)2 + 4< 4.因为u>0,所以0vuW 4.又y= log 1 u在(0,+ g)上为减函数，2所以 log 1 u> log 1 4= 2,2 2所以 y= log 1 (3 + 2x x2)的值域为2, + g).2解题技巧：(对数型函数的值域与最值)(1) 求对数型函数的值域，一般需根据对数函数的单调性及真数的取值范围求解.(2) 求函数的值域时，一定要注意定义域对它的影响，结合函数的单调性求解，当函数中含有参数时，有时需讨论参数的取值.跟踪训练四1 已知f(x)= 2+ log3x, x 1,9，求函数y=f(x)2+ f(x2)的最大值及此时x的值.【答案】当x= 3时，y取得最大值，为13.【解析】y= f(x)2 + f(x2) = (2 + log 3x)2 + log3x2 + 2= (log 3x)2 + 6log3x+ 6 = (Iog3x+ 3)2 3. f(x)的定义域为1,9,1 w x< 9, y= f(x)2+ f(x2)