4-4-3-圆与扇形(三).教师版

1、与扇形研究圆、扇形、弓形与三角形、矩形、平行四边形、梯形等图形组合而成的不规则图形,通过变动图形的位置 或对图形进行分割、旋转、拼补,使它变成可以计算出面积的规则图形来计算它们的面积圆的面积=兀尸；扇形的面积二兀尸乂幺；360圆的周长=2兀厂；扇形的弧长=2ud-360、跟曲线有关的图形元素： 扇形：扇形由顶点在圆心的角的两边和这两边所截一段圆弧围成的图形扇形是圆的一部分.我们经常说的 丄圆、丄圆、丄圆等等其实都是扇形,而这个几分之几表示的其实是这个扇形的圆心角占这个圆周角的几分之 246几那么一般的求法是什么呢?关键是幺360比如：扇形的面积=所在圆的面积X丄360扇形中的弧长部分=所在圆的

2、周长X360扇形的周长=所在圆的周长><£ +2半径（易错点是把扇形的周长等同于扇形的弧长）360 弓形:弓形一般不要求周长,主要求面积般来说,弓形面积=扇形面积-三角形面积.（除了半圆）弯角的面积=正方形-扇形"谷子"的面积=弓形面积2二、常用的思想方法： 转化思想（复杂转化为简单,不熟悉的转化为熟悉的） 等积变形（割补、平移、旋转等） 借来还去（加减法） 外围入手（从会求的图形或者能求的图形入手,看与要求的部分之间的"关系"）板块、曲线型旋转问题【例1】 正三角形ABC的边长是6厘米，在一条直线上将它翻滾几次，使A点再次落在这条

3、直线上，那么A 点在翻滚过程中经过的路线总长度是多少厘米？如果三角形面积是15平方厘米,那么三角形在滚动过程中扫过的面积是多少平方厘米？（结果保留Tr）【考点】曲线型旋转问题【难度】3星【题型】解答【解析】如图所示，A点在翻滚过程中经过的路线为两段120。的圆弧所以路线的总长度为：1202×6××2 = 8 厘米；360三角形在滚动过程中扫过的图形的为两个120。的扇形加上一个与其相等的正三角形，面积为：1707rx6'X二x2 + 15 = 24 + 15平方厘米360【答案】24 + 15【巩固】直角三角形A3C放在一条宜线上，斜边AC长20厘米,宜角

4、边BC长10厘米如下图所示,三角形由 位置I绕A点转动,到达位置IL此时3, C点分别到达耳，G点;再绕耳点转动，到达位置DL此 时A, CI点分别到达码C?点求C点经G到C走过的路径的长.【考点】曲线型旋转问题【难度】3星【题型】解答1 OAO _ QO 气【解析】由于BC为AC的一半所以ZcAB=30。JjBmcq为大圆周长的=-MclC2为小圆周长的丄，而CC1 ÷C1G即为C点经G到G的路径，所以C点经G到G走过的路径的长为 451 5065 Zf-MZX2×20× + 2×10×-= + 5 = （厘*）124 33【答案】y【巩固】

5、如图，一条直线上放着一个长和宽分别为4cm和3cm的长方形I 它的对角线长恰好是5cm让这个 长方形绕顶点B顺时针旋转90。后到达长方形的位置,这样连续做三次,点A到达点E的位置求点 A走过的路程的长.A B C D EA B C D E【考点】曲线型旋转问题【难度】3星【题型】解答【解析】因为长方形旋转了三次,所以A点在整个运动过程中也走了三段路程（如右上图所示）.这三段路程分别是：第1段是弧V ,它的长度是2××4×- （Cm ）；第2段是弧AA2 ,它的长度是2××5×i （Cm）；第3段是弧AE.它的长度是2×

6、15;3×l （Cm）；4所以A点走过的路程长为：2××4×- + 2××5×-!- + 2××3×- = 6 （Cm ）. 444【答棄】6K【例2】 草场上有一个长20米.宽10米的关闭着的羊圈、在羊圈的一角用长30米的绳子拴着一只羊（见如 图）问:这只羊能够活动的范围有多大？（圆周率取3.14）【解析】如图所示r羊活动的范围可以分为A r B f C三部分，其中A是半径30米的。个圆，SC分别是4半径为20米和10米的丄个圆4所以羊活动的范围是×302 x- + x202 

7、15;l + ×102×l444311=× 302 ×- + 202 ×- + 102×-I 444丿= 2512【答案】2512【巩固】一只狗被拴在底座为边长3m的等边三角形建筑物的墙角上（如图），绳长是4m,求狗所能到的地方 的总面积（圆周率按3.14计算）【考点】曲线型旋转问题【难度】3星 【题型】解答【解析】如图所示，羊活动的范围是一个半径4m,圆心角300°的扇形与两个半径Im ,圆心角120°的扇形之 和.所以答案是43.96m2 .【答案】4 3.96 【例3】 如图是一个直径为3cm的半圆,让这个半

8、圆以A点为轴沿逆时针方向旋转60。,此时点移动到Zr点，求阴影部分的面积（图中长度单位为cm,圆周率按3计算）【考点】曲线型旋转问题【难度】3星【题型】解答【解析】面积=圆心角为60°的扇形面积+半圆-空白部分面积（也是半圆）=圆心角为60。的扇形面积 = -××32 =- = 4.5（cnr）3602【答案】4. 5【例4】 如图所示,宜角三角形A3C的斜边AB长为10厘米，ZABC = 60。,此时BC长5厘米.以点B为中 心，将A肚顺时针旋转120。,点八C分别到达点。D的位置求AC边扫过的图形即图中阴影 部分的面积（兀取3）【考点】曲线型旋转问题【难度】3

9、星【题型】解答【解析】注意分割、平移、补齐.如图所示将图形移补到图形的位置，因为ZEBD = 60。，那么ZABE = I20°,则阴影部分为一圆坏的*所以阴影部分面积为×r×（AB2-C2） = 75 （平方厘米）【答案】75【巩固】如右图，以OA为斜边的宜角三角形的面积是2 4平方厘米，斜边长1 0厘米，将它以O点为中心旋 转90%问：三角形扫过的面积是多少？（Tr取3）【考点】曲线型旋转问题【难度】3星【题型】解答【解析】从图中可以看出，直角三角形扫过的面积就是图中图形的总面积，等于一个三角形的面积与四分之 一圆的面积之和圆的半径就是直角三角形的斜边Q4 因

10、此可以求得，三角形扫过的面积24 + l×10×10 = 24÷25 = 99 （平方厘米）4【答案】99【巩固】（“学而思杯”数学试题）如图,直角三角形ABC中，M为直角,且3C = 2厘米，AC = 4厘米,则在 将ABC绕C点顺时针旋转120。的过程中，AB边扫过图形的面积为 （ = 3.14）【考点】曲线型旋转问题【难度】3星【题型】解答【解析】如右上图所示,假设ABC旋转120。到达A,B C的位置.阴影部分为AB边扫过的图形从图中可以看出,阴影部分面积等于整个图形的总面积减去空白部分面积，而整个图形总面积等于扇 形Aar的面积与ABC的面积之和,空白部

11、分面积等于扇形BCX的面积与M B C的面积，由于 AABC的面积与M B C的面积相等，所以阴影部分的面积等于扇形AGr与扇形BCF的面积之差, 2××42-××22=4 = 12.56 （平方厘米）360360【答案】12. 5 6【例5】 如下图,磁是一个等腰直角三角形,直角边的长度是1米。现在以C点为圆点,顺时针旋转90度, 那么边在旋转时所扫过的面积是平方米o （ " 314）【考点】曲线型旋转问题 【难度】3星【题型】解答【解析】边扫过的面积为左下图阴影部分,可分为右下图所示的两部分。因为r2+r2=l2 ,所以r=lo2所求面积为

12、F/rx； l'x； +（F尸）心：=莘一；+ £ = 0.6775 （平方米）42丿' 74428【答案】0.67 75【例6】 如图3 014,将长方形ABCD绕顶点C顺时针旋转90度,若ABm BC=3 ,AC =5,求AD边扫过 部分的面积.（兀取3 1 4）【考点】曲线型旋转问题【解析】如下图所示，【难度】3星 【题型】解答人'DX如下图所示，端点A扫过的轨迹为AA,端点D扫过轨迹为DDffDt 而AD之间的点，扫过的轨迹 在以A、D轨迹,AD, ATy所形成的封闭图形内，且这个封闭图形的每一点都有线段AD上某点扫过, 所以AD边扫过的图形为阴影部分

13、.显然，有阴影部分而积为S；询MQC +S41形心,-Sma -Smfr，而直角三角形ADC . ACDM积相等.S直角SArD,C +S呦形AGV S直角MCD " JfiCDDACAr 一'型形CDrD=AC2- CD2 = -(52 -42) = - = 7.065(平方厘米) 36036044即AD边扫过部分的面积为7. 065平方厘米【答案】7065【例7（祖冲之杯竞赛试题）如ABCD是一个长为4,宽为3,对角线长为5的正方形,它绕C点按顺时针 方向旋转90。，分别求出四边扫过图形的面积【考点】曲线型旋转问题 【难度】3星【题型】解答【解析】容易发现,DC边和BC边

14、旋转后扫过的图形都是以线段长度为半径的圆的丄，如图:BDCB'因此DC边扫过图形的面积为4, BC边扫过图形的面积为42、研究AB边的情况.在整个初边上，距离C点最近的点是B点,最远的点是A点，因此整条线段所扫过部分应该介于这 两个点所扫过弧线之间,见如图中阴影部分：DCBl下面来求这部分的面积.观察图形可以发现，所求阴影部分的面积实际上是：扇形CA'面积+二角形A'B C面积-二角形ABC面积一扇形BCB'面积=扇形ACA'面积一扇形BCF面积=4443、研究An边扫过的图形.由于在整条线段上距离C点最远的点是A ,最近的点是D ,所以我们可以画出AD

15、边扫过的图形,如图 阴影部分所示：用与前面同样的方法可以求出面积为:字一害吟旋转图形的关键r是先从整体把握一下变化过程，即它是通过什么样的基本图形经过怎样的加减次序得到的先不去考虑具体:走要把思路捋清楚最后你会发现,所有数据要么直接告诉你,要么就"藏"在那儿,一定会有可以进一步思考,比如平行四边形的旋转问题、一般三角形的旋转问题等等,此类问题的解决对提 高解决几何图形问题的能力是非常有益的【答案】(1) BC边扫过图形的面积为罕4(2) AB边扫过图形的面积为4(3)A£边扫过图形的面积为4(4 ) DC边扫过图形的面积为4兀【例8(华杯赛初赛)半径为25厘米的小

16、铁环沿着半径为5 O厘米的大铁环的内侧作无滑动的滚动,当小 铁环沿大铁环滚动一周回到原位时，问小铁环自身转了几圈？【考点】曲线型旋转问题【难度】3星【题型】解答【解析】对于这类问题,可以在初始时在小环上取一点A ,观察半径OA f如图，当小环沿大坏内壁滚动到 与初始相对的位置即滚动半个大圆周时,如图,半径OA也运动到了与初始时相对的位置这时OA 沿大环内壁才滚动了半圈继续逬行下半圈,直SJOA与初始位置重合，这时04自身转了 1圈，因此 小铁环自身也转了 1圈. 【总结】对于转动的圆来说J当圆心转动的距离为一个圆周长时J这个圆也恰好转了一圈所以本题也可以考 虑小铁环的圜心轨迹,发现是一个半径与

17、小铁环相等的圆,所以小铁环的圆心转过的距离等于自己的 圆周长，那么小铁环转动了1圈.【答案】1圈【巩固】如果半径为25厘米的小铁环沿着半径为50厘米的大铁环的外侧作无滑动的滚动,当小铁环沿大铁环 滚动一周回到原位时，问小铁环自身转了几圈？【考点】曲线型旋转问题【难度】3星【题型】解答【解析】如图伺样考虑小圆的一条半径OA ,当小圆在大圆的外侧滚动一周,即滚动了大圆的半周时,半径OA 滚动了 540。，滚动了一圈半,所以当小圆沿大圆外侧滚动一周时,小圆自身转了 3圈也可以考虑小圆圆心转过的距离小圆圆心转过的是一个圆周，半径是小圆的3倍,所以这个圆的周长 也是小圆的3倍,由于小圆的圆心每转动一个自

18、身的周长时，小圆也恰好转了一圈，所以本题中小 圆自身转了 3圈.【答案】3圈【巩固】如图所示,大圆周长是小圆周长的"(7>1)倍,当小圆在大圆内侧(外侧)作无滑动的滾动一圈后又回 到原来的位置,小圆绕自己的圆心转动了几周？【考点】曲线型旋转问题【难度】3星【题型】解答【解析】为了确走圆绕圆心转动几周首先要明确圆心转动的距离.设小圆的半径为"单位1" I则大圆的半径为在内测滚动时如图所示因为圆心滚动的距离为2×(j-l) 所以小圆绕自己的圆心转动了:1 (圈2图(1)在外侧滚动时如图所示 因为圆心滚动的距离为2×(n + l)所以小圆绕自己

19、的圆心转动了:害M團.【答案】nl和n+1【例9】 如图，15枚相同的硬币排成一个长方形L个同样大小的硬币沿着外圈滚动一周,回到起始位置问: 这枚硬币自身转动了多少圈？【考点】曲线型旋转问题【难度】3星【题型】解答【解析】当硬币在长方形的一条边之内滚动一次时由于三个硬币的圆心构成一个等边三角形，所以这枚硬币 的圆心相当于沿着半径为硬币2倍的圆旋转了 180o-6(r-60o = 60o 而硬币上的每一点都是半径等于 硬币的圆旋转，所以硬币自身旋转了 120° 当硬币从长方形的一条边滚动到另一条边时,这枚硬币的圆心相当于沿着半径为硬币2倍的圆旋转 了 360o-60o-60o-90o

20、= 150o.而硬币上的每一点都是半径等于硬币的圆旋转,所以硬币自身旋转了 30 0°.长方形的外圈有12个硬币其中有4个在角上,其余8个在边上,所以这枚硬币滚动一圈有8次是在 长方形的一条边之内滚动4次是从长方形的一条边滚动到另一条边.120。X 8 + 300。X 4 = 216( .所以这 枚硬币转动了 2 1 60。,即自身转动了 6圈另解：通过计算圆心轨迹的长度每走一个2即滚动了一周.【答案】6圈【巩固】12个相同的硬币可以排成下面的4种正多边形(圆心的连线)用一个同样大小的硬币,分别沿着四个正多边形的外圈无滑动地滚动一周问：在哪个图中这枚硬币 自身转动的圈数最多最多转动了

21、多少圈？【考点】曲线型旋转问题 【难度】3星【题型】解答【解析】对于同样是12个硬币，所转动的圆心轨迹其实分为两部分,一是在"角”上的转动,一是在"边"上的滚动抓住关键方法：圆心轨迹长度一2 =自身转动圈数.结论：一样多渚B是6圈【答棄】一样多；都是6圈【例10 一枚半径为1 Cm的圆形硬币相互紧靠着平放在桌面上,让-枚硬币沿着它们的外轮廓滚过后回到原 来的位置,那么与原A点重合的点是硬币自己转动，硬币圆心的运动轨迹周长为【考点】曲线型旋转问题【难度】3星【题型】解答【解析】先计算轨迹的长度：三个半径为2的半圆,l×（2×2）×3 =

22、 6,6÷2 = 3 ,即为3周,所以答案为A点I 3周,6兀.【答案】A点,3周,6【例11】先做一个边长为2cm的等边三角形，再以三个顶点为圆心，2cm为半径作弧,形成曲边三角形（如 左图）再准备两个这样的图形，把一个固定住（右图中的阴影），另一个围绕着它滚动，如右图那 样,从顶点相接的状态下开始滚动请问此图形滚动时经过的面积是多少平方厘米？（兀= 3.14）【考点】曲线型旋转问题【难度】3星【题型】解答【解析】在处理图形的运动问题时描绘出物体的运动轨迹是解决问题的第一步只有大的方向确走了.才能实 施具体的计算.图图在数学中.本题所作出的这个曲边三角形叫“菜洛三角形"，

23、"菜洛三角形"有一个重要的性质就是它 在所有方向上的克度都相同为了求出"菜洛三角形"滚动时经过的面积可以分2步来思考：第1步：如图所示，当"菜洛三角形"从顶点A的上方滚动到顶点A的左边时.这时阴影"菜洛三 角形"滚动的这部分面积是以A为圆心、2cm为半径、圆心角为60°的扇形.在顶点A、B、C处 各有这样的一个扇形；第2步:如图所示.当"菜洛三角形"在边加上滚动时这时可以把阴影"菜洛三角形"看作是以图 中D点为園心的圆的一部分.这个圆在以C点为圆心的弧AB上滚动，可

24、知此时園心D运动的轨迹 是图中的弧DD.所以此时阴影"菜洛三角形"滚动的这部分面积是以C为圆心、4cm为半径、圆 心角为60。的扇形减去半径为2cm的60°的扇形：综上所述，去掉图中阴影"菜洛三角形"后所形成的组合图形就是要求的面积.滚动时经过的面积是：3X ×2 ×- + 3×l ×42 ×-×22 ×- = 8 = 25.12(cnr).360 J 360360/【答案】25.12【例12】下图为半径20厘米、圆心角为144°的扇形图点C、D、E. F、G、HS

25、J是将扇形的取K弧 线分为8等份的点求阴影部分面积之和.【考点】曲线型旋转问题【难度】3星【题型】解答【解析】如下图做出辅助线， KMA与厶ANG形状相同（对应角相等）大小相等（对应边相等）,有AKMA竺ZANG, SitKMA = SeNG，而厶LMA是两个三角形的公共部分，所以上图中的阴影部分面积相等.所以.GNIVIK与扇形KGA的面积相等用 KG E B的面积为2倍扇形KGA的面积.144°54扇形KGA的圆心角为 ×3= 5 4。I所以扇形面积为X 20° × = 60兀平方厘米.8360那么KGEB的面积为60×2 =12 0;T平

26、方厘米如下图r做出另一组辅助线 J QA与 ARH形状相同（对应角相等几大小相等（对应边相等），有厶JQA幻ZARHS亠© =SE“ =5 A., PQA是两个三角形的公共部分. 所以右图中的阴影部分面积相等.所以.J HRQ与扇形JHA的面积相等那么J HDC的面积为2倍扇形JHA的面积.iii0Z1 扇形JHA的圆心角为 =180° ,所以扇形面积为 ×2× = 20龙平方厘米.8360那么JHDC的面积为20兀X 2 = 40r平方厘米.所以,原题图中阴影部分面积为-SJHDC = 120/r-40% = 80"80x3 . 14=251.2平方厘米 【答案】251.2【例13 10个一样大的圆摆成如图所示的形状过图中所示两个圆心A,B作直线,那么宜线右上方圆内图形 面积总和与宜线左下圆内图形面积总和的比是多少？Ii【考点】曲线型旋转问题【难度