2020-2021高三数学上期中试题(带答案)(4)

1、2020-2021 高三数学上期中试题 （ 带答案）（4）、选择题1如果 A1B1C1 的三个内角的余弦值分别等于A2B2C2的三个内角的正弦值，则AA1B1C1和 A2B2C2 都是锐角三角形A1B1C1和 A2B2C2 都是钝角三角形CA1B1C1是钝角三角形， A2B2C2 是锐角三角形DA1B1C1是锐角三角形， A2B2C2 是钝角三角形2若不等式组y02xy, 2 y0表示的平面区域是一个三角形，则实数 a 的取值范围是（ ）y, aA4,3,B0,1C1,43D0,13已知实数5xx， y满足 2x2y 18 y0 y30，若直线kx0 经过该可行域，则实数 k的最大值是（ABC

2、2D43aa6a 3 的最大值为（ ）9BC323D5在 VABC 中，ABC ， AB42， BC 3，则 sinBAC （ ）A10B10C3 105 D1051056河南洛阳的龙门石窟是中国石刻艺术宝库之一，现为世界文化遗产，龙门石窟与莫高 窟、云冈石窟、麦积山石窟并称中国四大石窟现有一石窟的某处 “浮雕像 ”共 7 层，每上 层的数量是下层的 2倍，总共有 1016个“浮雕像 ”，这些“浮雕像 ”构成一幅优美的图案，若 从最下层往上 “浮雕像 ”的数量构成一个数列 an ，则 log2 a3 a5 的值为（ ）A 8B10C12D1627关于 x的不等式 x2 a 1 x a 0的解集

3、中，恰有 3 个整数，则 a 的取值范围是A3, 24,5B3,24,5C 4,5D8当x1,2时，不等式x2mx2 0 恒成立，则m 的取值范围是A3,B2 2,C 3,D9已知：x0，y 0 ，且2x1 y1，若x 2ym2 2m 恒成立，范围是()A4,2B4U 2,CD24,4,5)2 2,则实数 m 的取值3x6y2,410x, y满足约束条件x0, 若目标函数 zaxby(a 0,b0) 的最大值为12，A则2a2563 的最小值为 (bB2525 C3D11若x，y 满足A12已知等比数列等于 ( )1A2二、填空题anB00 ，则 z的前 n 项和为1B2y 2x 的最大值为(

4、 )C1DSn ， a1 1，且满足1C4Sn,Sn 2,Sn 1成等差数列，则 a31D413设等差数列 an 的前 n项和为 Sn ，Sm 12 ， Sm0，Sm 1 3.其中 m N* 且m 2 ，则 m214已知数列 an 的前 n 项和为 Sn ，且 Sn 2n2 n 1，N , 求 an15设数列 an 中， a1 2,an 1an n 1 ，则通项 an16已知关于 x 的一元二次不等式ax 2+2x+b> 0 的解集为 x|x c，则22a b 7(其中aca+c0)的取值范围为17 已知函数 f xx ax 3 ，xx N* ，在 x 5时取到最小值，则实数 a 的所有

5、取值的集合为1,无解，则 a b 的取值范围是1ax y18设a>0,b>0若关于 x,y的方程组 x by19设 an 是等差数列，且 a13， a2a536 ，则an 的通项公式为 2xy020已知实数x， y 满足约束条件yx，若 z2x y 的最小值为 3，则实数yxbb三、解答题21已知函数f x 3sin xcosx.1）求函数 f x 在 x , 的值域；2（2）在 ABC中，内角 A、 B、 C的对边分别是 a、b、c，若 f A 7 f B 8，求 a的取值范围6 6 3 b22已知a,b,c分别是 ABC的角 A, B, C所对的边，且 c 2,a2 b2 4

6、ab1)求角 C ；2)若 sin2 B sin2 A sin C(2sin 2 A sinC) ，ABCD 中， AB 4 2 ，求 ABC 的面积2）若 DBC 2 2 ， AC4.24已知数列）求数列）令 cn25 等差数列45anbn(an， BAD 90 ，求 CD .2的前 n 项和 Sn 3n 8n ， bn是等差数列，且 anbn bn 1 .的通项公式；(b 12)n .求数列 cn 的前(bn 2)n 项和 Tn .an 中， a2 4 ， a4 a715(1)求数列 an 的通项公式；(2)设 bn 2an 2 n，求 b1 b2 b3b10 的值v v v v26已知函

7、数 f x a b，其中 a 2cos x, 3sin2x ,b cos x,1 ,x R1）求函数 y f x 的单调递增区间；2）在 ABC中，角 A, B,C所对的边分别为 a,b, c, f A 2,a 7，且 b 2c，求 ABC的面积参考答案】 * 试卷处理标记，请不要删除、选择题1D 解析： D 【解析】 【分析】 【详解】A1B1C1 的三个内角的余弦值均大于 0，则A1B1C1 是锐角三角形，若A2B2C2 是锐角三角A2A1形，得 B2B1 ，那么， A2B2 C2 2 ，矛C2C1盾，所以A2B2C2 是钝角三角形，故选 D.2D解析： D解析】 分析】y0要确定不等式组

8、2x y, 2 表示的平面区域是否一个三角形，我们可以先画出x y0x y, ay02x y, 2，再对 a值进行分类讨论，找出满足条件的实数 a 的取值范围 x y0详解】y0不等式组 2x y, 2 表示的平面区域如图中阴影部分所示 x y0由 2yx2得B1,0 y0x y a中a的取值范2x y, 2若原不等式组 表示的平面区域是一个三角形，则直线x y0x y, a4围是 a 0,1 U ,3故选： D【点睛】平面区域的形状问题是线性规划问题中一类重要题型，在解题时，关键是正确地画出平面 区域，然后结合分类讨论的思想，针对图象分析满足条件的参数的取值范围3B解析： B【解析】【分析】

9、 先根据约束条件画出可行域，再利用直线 kx y 2 0过定点 0,1 ，再利用 k 的几何意 义，只需求出直线 kx y 1 0 过点 B 2,4 时， k值即可 【详解】直线 kx y 2 0 过定点 0,1 ， 作可行域如图所示，当定点0,14 1 3和 B 点连接时，斜率最大，此时 k ，2 0 23则 k 的最大值为：2故选： B【点睛】本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题4B解析： B【解析】【分析】根据 3 a a 6【详解】9是常数，可利用用均值不等式来求最大值因为 6 a 3 ，所以 3 a 0,a60由均值不等式可得：(3 a)(a 6)当且仅当

10、 3 a a 6，即 a3 时，等号成立，2故选 B.【点睛】本题主要考查了均值不等式，属于中档题5C解析： C解析】试题分析：由余弦定理得 b2 2cos4 5,b5 .由正弦定理得BAC 3 101035sin BAC ，解得 sinsin4考点：解三角形 .6C 解析： C 【解析】 【分析】数列 an是等比数列，公比为2，前 7 项和为1016，由此可求得首项 a1 ，得通项公式，从而得结论【详解】Q 最下层的浮雕像 ”的数量为 a1 ，依题有：公比得 a1 8，则 an 8 2n 1 2n 2 1 n 7,n Na1 1 272,n 7,S7 11016 ，解7 1 2， a3 2

11、,a5 2 ，从而5 7 12 12a3 a52527212,log2a3a5log221212 ，故选 C【点睛】 本题考查等比数列的应用数列应用题求解时，关键是根据题设抽象出数列的条件，然后 利用数列的知识求解7A解析： A【解析】【分析】 不等式等价转化为 (x 1)(x a) 0，当 a 1时，得 1 x a ，当 a 1时，得 a x 1，由此根据解集中恰有 3个整数解，能求出 a 的取值范围。【详解】关于 x 的不等式 x2 a 1 x a 0， 不等式可变形为 (x 1)(x a) 0 ，当 a 1时，得 1 x a ，此时解集中的整数为 2，3，4，则 4 a 5； 当 a 1

12、时，得 a x 1，此时解集中的整数为 -2， -1，0，则 3 a 2 故 a 的取值范围是 3, 2 4,5 ，选： A 。【点睛】 本题难点在于分类讨论解含参的二次不等式，由于二次不等式对应的二次方程的根大小不 确定，所以要对 a和 1的大小进行分类讨论。其次在观察 a的范围的时候要注意范围的端 点能否取到，防止选择错误的 B 选项。8D 解析： D 【解析】由x1,2 时， x2 mx 2 0 恒成立得 m2x 对任意 x 1,2 恒成立，即x2x 取得最大值 2 2, m 2 2 ， m 的取 x2m x ,Q 当 x 2 时，xmax值范围是 2 2, ，故选 D.【易错点晴】本题

13、主要考查利用基本不等式求最值以及不等式恒成立问题，属于中档题. 利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正 是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定 和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否 在定义域内，二是多次用 或 时等号能否同时成立） .9A解析： A解析】 【分析】若 x 2y m2 2m恒成立 , 则 x 2 y的最小值大于 m2 2m,利用均值定理及“ 1”的代 换求得 x 2y 的最小值 ,进而求解即可 .【详解】21由题 ,因为1,x0,y0,xy所以 x 2y212

14、x4y24 2 x 4y4 4 8 ,当且仅当 x 4y ,即xyyxyxyxx 4, y 2 时等号成立因为 x 2y m2 2m恒成立 , 则 m2 2m 8,即m2 2m 8 0 ,解得 4 m 2,故选 :A点睛】 本题考查均值不等式中“ 1”的代换的应用 ,考查利用均值定理求最值 ,考查不等式恒成立问 题.10A解析： A【解析】z ax by(a 0,b 0) 何时取最大【分析】先画不等式组表示的平面区域，由图可得目标函数b3)(2a 3b) ，化b2 值，进而找到 a，b 之间的关系式 2a 3b 6, 然后可得a简变形用基本不等式即可求解。不等式组表示的平面区域如图，由【详解】

15、0得点 B 坐标为0B(4,6).由图可知当直线 z ax by经过点 B( 4,6)时， Z取最大值。因为目标函数z ax by(a 0,b 0)的最大值为 12，所以 4a 6b 12,即 2a 3b 6,231 2 316a6b16a6b25所以 ( )(2a 3b) (13 ) (13 2 ) 。ab6 a b6ba6ba66a 6b当且仅当 b a 即 a b 6 时，上式取“ =”号。52a 3b 6所以当 a b 时， 取最小值 。5 a b 6故选 A 。【点睛】利用基本不等式 a b 2 ab 可求最大(小)值，要注意“一正，二定，三相等”。当 a，b都取正值时，( 1)若和

16、 a b取定值，则积 ab 有最大值；( 2)若积 ab取定值时， 则和 a b 有最小值。11D解析： D【解析】xy20作出不等式组 x y 4 0 ，所表示的平面区域，如图所示， y0当 x 0时，可行域为四边形 OBCD 内部，目标函数可化为 z y 2x，即 y 2x z， 平移直线 y 2x可知当直线经过点 D(0,2) 时，直线的截距最大，从而 z最大，此时， zmax 2 ，当x 0时，可行域为三角形 AOD ，目标函数可化为 z y 2x，即 y 2x z，平移 直线 y 2x可知当直线经过点 D(0,2) 时，直线的截距最大，从而 z最大， zmax 2 ， 综上， z y

17、 2 x 的最大值为 2 故选 D 点睛：利用线性规划求最值的步骤：(1) 在平面直角坐标系内作出可行域(2) 考虑目标函数的几何意义，将目标函数进行变形常见的类型有截距型( ax by 型)、 斜率型( y b 型)和距离型( x a 2 y b 2 型)xa(3) 确定最优解：根据目标函数的类型，并结合可行域确定最优解(4) 求最值：将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值 注意解答本题时不要忽视斜率不存在的情形 .12C解析： C【解析】试题分析：由 Sn,Sn 2,Sn 1成等差数列可得， Sn 2 Sn Sn 1 Sn 2，即 11an 1an2an 2 ，也就是an2an1，所以

18、等比数列an的公比 q ，从而222 1 2 1a3 a1q 1 ( ) ，故选 C.24考点： 1.等差数列的定义； 2.等比数列的通项公式及其前 n 项和.二、填空题135【解析】【分析】设等差数列的再由列出关于的方程组从而得到【详解】 因为所以设因为所以故答案为：【点睛】本题考查等差数列前项和公式的灵活 运用考查从函数的角度认识数列问题求解时要充分利用等差数列的前前项 解析： 5【解析】【分析】设等差数列的 Sn An(n m)，再由 Sm1 2，Sm 1 3 ，列出关于 m的方程组，从而得到 m .【详解】因为 Sm 0 ，所以设 Sn An(n m) ，因为 Sm 12，Sm 13，

19、A(m1) (1)2,m 1 2所以m5A(m1) 13,m 1 3故答案为：5.【点睛】本题考查等差数列前 n 项和公式的灵活运用，考查从函数的角度认识数列问题，求解时要 充分利用等差数列的前前 n 项和公式必过原点这一隐含条件，从而使问题的计算量大大减 少.14【解析】分析：根据可以求出通项公式；判断与是否相等从而确定的表达 式详解：根据递推公式可得由通项公式与求和公式的关系可得代入化简得经检 验当时所以所以点睛：本题考查了利用递推公式求通项公式的方法关键是最解析： an4,n 14n 1,n 2解析】分析：根据an Sn Sn 1可以求出通项公式 an；判断 S1与 a1是否相等，从而确

20、定 an的表达式。详解：根据递推公式，可得 Sn 12(n 1)2( n 1) 1由通项公式与求和公式的关系，可得anSnSn 1 ，代入化简得2an 2n n21 2(n 1)2 (n1) 14n 1经检验，当 n1 时， S1 4, a1所以 S1a1所以 an4, n 14n 1,n 2点睛：本题考查了利用递推公式anSnSn1 求通项公式的方法，关键是最后要判断S1与2a1是否相等，确定 an 的表达式是否需要写成分段函数形式。15【解析】将以上各式相加得：故应填；【考点】：此题重点考察由数 列的递推公式求数列的通项公式；【突破】：重视递推公式的特征与解法的选 择；抓住中系数相同是找到

21、方法的突破口；此题可用累和法迭代法等；解析：n n 11解析】a1 2,an 1 an n 1 an an 11，an 1an 2n1，an 2 an 3n 3 1，a3a21，a2a11， a111将以上各式相加得： an1n1nn1故应填nn2 考点】：此题重点考察由数列的递推公式求数列的通项公式； 突破】：重视递推公式的特征与解法的选择；抓住11；2an 1an n 1中 an 1, an系数相同是找到方法的突破口；此题可用累和法，迭代法等；16（ 66+）【解析】【分析】由条件利用二次函数的性质可得ac=1ab=1即 c=-b将转为（ab）+利用基本不等式求得它的范围【详解】因为一 元

22、二次不等式 ax2+2x+b>0的解集为 x|x解析： （， 6 6 ，+）【解析】【分析】22 由条件利用二次函数的性质可得 ac= 1， ab=1, 即 c=-b 将 a b 7 转为（ a b） ac9+ 9 ，利用基本不等式求得它的范围ab【详解】因为一元二次不等式 ax2+2x+b>0 的解集为 x|x ，c由二次函数图像的性质可得 a>0，二 1=4 4ab=0，次函数的对称轴为 x=c，aac=1，ab=1，c= 1 ，a2 2 2a2 b2 7 a b 2 91b=1 ，即ac=-b,ac=（ab）ab9+，abab>0时，9 由基本不等式求得（ ab）

23、 +6，abab<0时，99 由基本不等式求得（ a b）6，即（ ab）+ 6,a b a b22故 a2 b2 ac故答案为（， 【点睛】其中 a+c0）的取值范围为：（，6 6 ， +）66，+），本题主要考查二次函数图像的性质，考查利用基本不等式求最值 . 17【解析】【分析】先求导判断函数的单调性得到函数的最小值由题意可得 取离最近的正整数使达到最小得到解得即可【详解】 当时恒成立则为增函数最小值为不满足题意当时令解得当时即函数在区间上单调递减当时即函数 解析： 20,30【解析】【分析】先求导，判断函数的单调性得到函数的最小值，由题意可得x 取离 a最近的正整数使，解得即可

24、.f x 达到最小，得到 f详解】N，2x2x当 a 0 时，0 恒成立，则 f x 为增函数，最小值为 f xmin1 4 a ，不满足题意，当a0 时，令 fx 0 ，解得 x a ，当0x a 时，即 fx 0 ，函数 f x 在区间0, a 上单调递减，当xa 时，即 f x0 ，函数 f x 在区间a,上单调递增，当x a 时，函数 fx 取最小值，又 x N x 应取离 a 最近的正整数使 f x 达到最小， 又由题意知， x 5 时取到最小值， 5 a 6或 4a 5 ，f 4 ，即 5 a 356a63 且5 a 3 4 a 3，54解得 20 a 30 .故实数 a 的所有取

25、值的集合为 20,30 .故答案为： 20,30 .【点睛】 本题考查了导数和函数的单调性关系，以及参数的取值范围，属于中档题 .18【解析】试题分析：方程组无解等价于直线与直线平行所以且又为正数所 以（）即取值范围是考点：方程组的思想以及基本不等式的应用解析： （2, ）【解析】 试题分析：方程组无解等价于直线 ax y 1与直线 x by 1 平行，所以 ab 1且 a b 1又 a ， b 为正数，所以 a b 2 ab 2 （ a b 1），即 a b 取值范围是(2, ) 考点：方程组的思想以及基本不等式的应用 19【解析】【分析】先根据条件列关于公差的方程求出公差后代入等差数列 通

26、项公式即可【详解】设等差数列的公差为【点睛】在解决等差等比数列的运 算问题时有两个处理思路一是利用基本量将多元问题简化为首项与公差(公 解析： an 6 n 3【解析】【分析】 先根据条件列关于公差的方程，求出公差后，代入等差数列通项公式即可 .【详解】设等差数列 an 的公差为 d ，Q a1 3， 3 d 3 4d 36， d 6， an 3 6(n 1) 6n 3.【点睛】 在解决等差、等比数列的运算问题时，有两个处理思路，一是利用基本量，将多元问题简 化为首项与公差(公比)问题，虽有一定量的运算，但思路简洁，目标明确：二是利用等 差、等比数列的性质，性质是两种数列基本规律的深刻体现，是

27、解决等差、等比数列问题 既快捷又方便的工具，应有意识地去应用 .20【解析】【分析】画出可行域由图象可知的最小值在直线与直线的交点处 取得由解方程即可得结果【详解】由已知作可行域如图所示化为平移直线由图 象可知的最小值在直线与直线的交点处取得由解得故答案为【点睛】本题主9解析： 94【解析】【分析】画出可行域，由图象可知， z的最小值在直线 y 2x与直线 y x b的交点 A x0, y0 y0 2 x0 3处取得，由 y0 2x0，解方程即可得结果 .y0 x0 b【详解】 由已知作可行域如图所示，z 2x y化为 y 2x z ， 平移直线 y 2 x z由图象可知， z的最小值在直线

28、y 2x与直线 y x b的交点 A x0, y0 处取得，y02x0 3由 y02 x0，解得 x0339, y03,bx0 b4024y0故答案为9.4.【点睛】本题主要考查线性规划中，利用可行域求目标函数的最值，属于中档题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或 最后通过的顶点就是最优解）；（ 3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.三、解答题121 （ 1） 1,2 ；（ 2） ,3 .3【解析】【分析】（1）利用两角差的正弦公式得出f x 2sin x

29、 ，由 x , 计算出 x 的取6 2 6值范围，再由正弦函数的基本性质可求出函数 y f x 在区间 , 上的值域；2 44（2）根据题中条件得出 sin A sin B ，可得出 sin A sin B ，由 0 sin A 1 ，33sin B1，可求出1 sin B 1 ，利用正弦定理以及不等式的性质可得出3sin Asin B详解】3sin B1 的取值范围 .1）3 sin x3si si 2cosx 2 3sin x 1cosx2sin xcos cos x sin63232sinQx，则 12 sin x1，2，因此，函数在x的值域为 1,2；2）Qf8，即 2sin32sin

30、 B8 ，化简得3sin A sin Bsin Asin B ，由 0 sin A1，sin B1，即3sinsin得13sin由正弦定理得sinAsinB4sinB3sin B3sin B,3a1因此， 的取值范围是 ,3 .b3【点睛】 本题考查正弦型函数值域的求解，同时也考查了三角形中边长比值取值范围的计算，考查 运算求解能力，属于中等题 .23，b4 3 ，c2 ，由勾股定理得，最后根据直角三角形面积公式得22 （ 1） C（2） 2 333【解析】试题分析：（1）由余弦定理得 cosC值，再根据三角形内角范围求角C；（ 2）由正弦定理将条件化为边的关系：b2 c2 a2 4accos

31、A ，再根据余弦定理得 2a b ，代人解得VABC的面积试题解析：解：1）由余弦定理，得 cosCa2 b 2 c2a2 b2 22ab2ab2ab2ab1，2又 C 0, ，22）由 sin B所以 C 32sin A sinC 2sin2A sinC得 sin2B sin2C sin2 A得 sin2 B sin2C sin2 A2sin2 AsinC ，4sinAcosAsinC ，再由正弦定理得 b 2 c 2a24accosA ，所以cosAb22c4ac2a 又由余弦定理，得 cosAb222 c a ， 2bc由，得b 2 c2 a24bcb2 c 2 a22bc，得 4ac

32、2bc ，得 2a b ，联立 ab2ab，2a2 3 ，b3433所以 b2a2c2 所以所以 VABC 的面积S 12 ac23323382）CD523 （1） 5 2 ；8【解析】【分析】1）直接利用余弦定理求 cosBAC；（2）先求出 sin DAC 5 2 ，再利用正弦定理求8CD 【详解】1）在 ABC 中，由余弦定理得： cosAB2 AC 2 BC 2BAC2 AB AC32 16 8 5 224422）因为 DAC90° BAC，所以 sin DACcosBACCD 所以在 ACD中由正弦定理得：sin DACACsin45CD所以 CD 5【点睛】 本题主要考查正弦定理余弦定理解三角形，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分 析推理能力 .24 （）;（）【解析】试题分析：（ 1）先由公式 an Sn Sn 1 求出数列 an 的通项公式；进而列方程组求数列 bn 的首项与公差，得数列bn 的通项公式；（ 2）由（ 1）可得 cn 3 n 1 2n 1 ，再利用“错位相减法 ”求数列 cn 的前 n 项和 Tn .试题解析：（ 1）由题意知当 n 2时，an Sn Sn 1 6n 5，当n1 时，a1 S111，所以an6n 5 设数