高一数学线性规划与基本不等式人教实验A版

1、高一数学线性规划与基本不等式人教实验 A 版【本讲教育信息 】一 . 教学内容： 线性规划与基本不等式二 . 教学要求：1、能从实际情境中抽象出二元一次不等式组；了解二元一次不等式的几何意义，能用平 面区域表示二元一次不等式组。2、能从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决（一般的最优整 数解问题不作要求） 。3、掌握基本不等式ab a b （a 0，b0）；能用基本不等式证明简单不等式（指2只用一次基本不等式即可解决的问题） ；能用基本不等式求解简单的最大（小）值问题（指 只用一次基本不等式即可解决的问题） 。三 . 教学重点、难点： 教学重点：基本不等式与线性规划的几何意

2、义 教学难点：线性规划的几何意义与基本不等式的使用条件，以及变形使用基本不等式。四 . 知识归纳：1、线性规划：（ 1）二元一次不等式 AxByC>0 在平面直角坐标系中表示直线 Ax By C 0 某一 侧所有点组成的平面区域。 （虚线表示区域不包括边界直线） 。（2）目标函数，线性目标函数线性规划问题，可行解，可行域，最优解。（3）用图解法解决简单的线性规划问题的基本步骤： 根据线性约束条件画出可行域（即不等式组所表示的公共区域） ；设 t0，画出直线 l0 ；观察、分析，平移直线 l0，从而找到最优解 A（x0,y0）,B（x1,y1） ；最后求得目标函数的最大值及最小值。（4）求

3、线性目标函数在线性约束条件下的最优解的格式与步骤： 寻找线性约束条件，线性目标函数；由二元一次不等式表示的平面区域做出可行域； 在可行域内求目标函数的最优解。2、重要不等式：（1）如果 a,b R,那么 a2 b2 2ab（当且仅当 a b时取" "号）ab（2）定理：如果 a，b是正数，那么ab（当且仅当 a b时取" "号）.23、公式的等价变形：22 （ 1）ab ab ， ab（ a b ） 2。22ba（ 2） 2（ ab> 0），当且仅当 a b 时取“”号；ab4、和积不等式的应用 求最值。 已知 x，y 都是正数，求证：（1）如果积

4、 xy是定值 P，那么当 xy 时，和 x y有最小值 2 P;1（2）如果和 xy 是定值 S，那么当 xy时，积 xy有最大值 S2.4典型例题 】x 4y 3 0例题 1. 已知 x ，y满足 3x 5y 25 0 ，x11）求 z解： zmax 24， zmin 72）若 zax 5y 取得最大值的解有无数个，求a。解： a 33）求 z解： zmaxy 3 的最值2x 437 5， zmin 3144）求 z(x 2)2（y 3）2 的最值zmax 74， zmin 25例题 2. 已知方程 x2 ax b 0的两个根 x1 1,0), x2 (0,1 ，求 za 3b 的最小值1令

5、f(x) x2 f( 1) 0 f(0) 0 f(1) 0ax0得到对应的可行域，由图形得 zmin =-30例题 3. 给出四个命题：1）x2 2x2 1的最小值为 2；（2） 2 3x 4 的最大值为 2 4 3x3）log x10 lg x 的最小值为 2；（4）sin2 x442 的最小值为 4。其中正确命题的个数是（ sin xB）A. 0B. 1C. 2D. 3例题 4. 若关于 x 的方程 4xa 2xa 1 0有实根，求实数 a的取值范围。解：令 t 2x则原方程可化为 t2ata10 有正数解。t2 1 2法一、变量分离法： a (t 1) 2 2 2 2 a 2 2 2 。

6、t 1 t 1法二、求根公式法：由求根公式得两个根为：2x1aa2 4a 4,x2a a2 4a 4 则问题等价于大根大于20。所以有a a2 4a 420 a2 4a 4法三、分类讨论：即原方程有两个正根；0 与一个正根；一个正根与一个负根。令f(t) t 2 at a2 4a10a 1, 则0 f(0) 0 f(0)00; f(0)例题 5. 设 a、 b R ，试比较 a b 2解： 应该是：ab ，1111例题 6. 已知 a，b，x， y R（a，b 为常数）， a bxyab的大小1，求 x y 的最小值 .xyxyaybxx当且仅当 xy时， xy 有最小值为ab1xy解:x+y

7、=(x+y)( a+ b )= a+b+ ay+bxa b 2 aba+b+ 2 ay bx a+b+ 2 ab xy例题 7. 甲、 乙两地相距 s（千米），汽车从甲地匀速行驶到乙地， 速度最大不得超过 c（千 米/小时）已知汽车每小时的运输成本 （元） 由可变部分与固定部分组成可变部分与速度 v （千米 /小时）的平方成正比，且比例系数为正常数b；固定部分为 a 元（ 1）试将全程运输成本 y（元）表示成速度 v（千米 /小时）的函数。（ 2）为使全程运输成本最省，汽车应以多大速度行驶？s解：（ 1 ）依题意知汽车从甲地匀速行驶到乙地所用时间为 s ，全程运输成本为vs 2 s ay a

8、bv s（ bv）v v v故所求函数及其定义域为a y s(vbv),v (0,c（2）依题意知 s， a， b，v 都为正数，故有 s（a bv） 2s abvaa当且仅当 bv, 即 v 时上式中等号成立vb若 ab bc，则当 v b 时，全程运输成本 y 最小，若abc，则当 v （0,c 时，有s(a bv) s(a bc) vcs(a a) (bv bc) vc s (c v)(a bcv) vc因为 cv0，且 a>bc2，故有 a bcv a bc2>0，所以 s（a bv） s（a bc） ，且仅当 v c时等号成立， vc也即当 v c 时，全程运输成本 y

9、最小综上知，为使全程运输成本 y 最小，当 ab c 时行驶速度应为 v ab ；当 ab c b b b 时行驶速度应为 v c【模拟试题 】（答题时间： 30 分钟）1. 不等式组 （x y 1）（x y 1） 0，表示的平面区域是一个（）1x2A. 三角形 B. 梯形 C. 矩形 D. 菱形 a ba2 b22. 设 a、b R，已知命题 p：ab；命题 q：（ a2b）2 a 2b （ ）A. 必要不充分条件B. 充分不必要条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件3. 设 x，yR，且 xy（ x y） 1，则（ ）A. x y2（ 2 1）B. xy 2 1C. xy（ 2 1）

10、2D. xy2（ 2 1）3x 2y 2 04. 不等式组 x4y40 的整数解共有 _组2xy605. 某公司一年购买某种货物 400 吨，每次都购买 x 吨，运费为 4 万元 /次，一年的总存储 费用为 4x 万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x6. 要使不等式 x y k x y 对所有正数 x，y 都成立，试问 k 的最小值是7.若 a>b> 0，则 a28.已知 a 0,b 0且 a2b(ab2216b） 的最小值是1 ，则 a 1b2 的最大值是9.已知函数 f （x）ax2c ，满足 4f(1)1， 1 f （2） 5，求 f （3） 的取值范围。10.已

11、知 x,y 满足4x2y3y2y7012 0 ，3011.点 （x, y） 是区域 x求z2y 的最值。2内的动点，求ax y（a 0） 的最大值和最小值。x11195012.已知 x,y 满足不等式组，求 zy 1 的范围x314. 已知 a，b，x，yR（a，b为常数），ab10， a b 1，若 xy的最小值为 18， xy求 a， b 的值14、试题答案】1、B2、B3、A4、65、20吨6、 27、16328、458589、解： f(3)f(1) f(2) 1 f(3) f(1) f(2) 203333所求范围是 1， 2010、解：作出可行域如图。由图得z x2 y 2的最大值为 OB2 1452 2 9 z x2 y 2的最小值为 O 到直线 AC 距离的平方511、解：当 a 1时， zmax 2a, zmin2a.41当0<a 1时， zm