2020年经济数学期末考试试卷(A卷)

1、精品 文档最新 精品 Word经济数学期末考试试卷( A 卷)、 填空题( 满分 15 分，每小题 3 分)11.设 f (x) 1 x2 的定义域为1 ln x5.2.3.4.2当 x 0时，若 ln(1 ax2)与 x sin x是等价无穷小量，则常数 a设 f (x0) A ，则lim f(x0) f(x0 2h)0 h 0设 f (x) 在 () 上的一个原函数为sin2x ，则 f (x)设 f(x) 为连续函数，且 f(x)10 f (t)dt ，则 f (x)二、选择题： ( 满分 15 分，每小题 3分)sin x6设 f xA )连续C)极限存在但不连续7.x2 x0，则在设

2、 f (x) ，则函数sin xf(x)0处， f (x) ()B)左、D)左、右极限存在但不相等 右极限不存在A)有无穷多个第一类间断点；C)有 2 个跳跃间断点；B)只有 1 个可去间断点；D)有 3 个可去间断点8若点 (1,4) 是 曲线 y2ax3bx3 的拐点，9.A) a 6,b2 ；B)2,b6；C) a b 1； (D) a b2列各式中正确的是f(x)B) df (x) f (x)dxbA) ( f(x)dx)aC) d( f (x)dx)f(x)xD)( a f (t)dt) f(t)a10某种产品的市场需求规律为Q8005p ，则价格 p 120 时的需求弹性 dA)4

3、B)3C )4 %D)3 %共 20 分) :1lnx) ln x三、计算题( 每小题 5 分，x11求极限： lim(x 1 1 x12设 lim( x a)x 8，求常数 a的值 . x x a13设 y xsinx ，求 dy|x14设x 2costd2 y，求 2 y 3sintdx四、计算题( 10 分)sinx, x 015设 f(x)ax b, x 0(1)确定常数 a,b的值，使 f(x)在 x 0处可导；(2)求 f (x) ；(3)问 f (x)在 x 0处是否连续五、计算题(满分 10 分)16求不定积分：1 1e x dx1e17求广义积分：ln x1 2 dx1x六、

4、应用题( 满分 20 分)18过原点作曲线y ln x 的切线，求该切线与曲线 y ln x 及 x 轴所围成的平面图形的面积，并求该图形绕 x 轴旋转一周所成立体的体积。19设生产某产品的固定成本为 10万元，产量为 x吨时的边际收入函数为 R (x) 10x 32，2边际成本为 C (x) 40 20x 3x2。求(1)总利润函数；( 2)产量为多少时，总利润最大？七、( 满分 10 分，每小题 5 分)证明题 : 1x20设 f (x) 在a,b 上连续且单调递增，证明F(x) x a a f(t)dt,a x b在区间f (a), x aa,b 上也单调递增 .21设 f (x) 在

5、0, 上可导， f ( ) 0 ，证明存在 (0, ) ，使得2 2 2f ( ) tan f ( ) 0答案及评分标准11. (0,e 1)1(e ,)； 2. 1； 3.2A； 4.4sin 2x ； 5. x 1、 6（ B ）；7. （D）； 8 （A）；9.B）；10（ B）三、 11【解】 lim( x 1 ) lim xln x 1 x x 1 1 x ln x x 1 (1 x)ln x2 分）lxim1ln x 1 1lnx1xxlxim1x115 分）xx12【 解】因为 lim（xx a) xxalim(1x2axax a 2ax2a x alimex2axxa2a3 分

6、）2a 3故e2a 8，因此 a ln2 213【 解】因 dy d(esinxlnx)sin xln xe d(sin xln x) 所以 dy|xsinxlnx sin xe(cos x ln x)dx xsin ln sine (cos ln )dx ln dx 5 分）（2 分）（4 分）（5 分）14【解】 dy y(t) 3costdx x(t) 2sin t3cott22 分）d2y dx2ddx(ddxy)( 32 cot t)x(t)3 csc2 t2 2sint3 csc3 t 45 分）另解】函数的隐函数方程为1 ，两边对x 求导，dydx9x4y2 分）d2ydx2dd

7、x (ddxy )94x( 94xy)4y8134y35 分）四、 15【解】1）由 f （x） 在 x 0 处可导，f (x) 在 x0 处连续且 f（0） 存在，因此因 lim f (x)x0limx0f (0)limx0故a1 ， f (0)f(0) lxim0f (x)f (x)f(x)， f (0) f (0)lim (axx0f(0)f (0) f (0)b) b， f(0) sin0axlim a ， f (0) limx 0 x x 01，且0 ，故 b 0f (x) f (0)sin xlim 1 x 0 xlimxlnx 1xx1 x1lim ( x) ( lim 1) 1

8、x 1 x x5 分）六、 18【解】设切点为 （x0,ln x0） ，则由 y1 得切线的斜率为 k 1 ，切线方程为xx0y ln x0(x x0)x01）因切线过原点，将 x 0， y 0代入1）式，解得 x0e ，故切点为 （e,1） ，切线方程为y lne1e(x e)即 y 1 xe4 分）1eeAe 1ln xdx212所求旋转体的体积为12e2eV 12eln xdx31319【 解】由题设。有y ln x 及 x 轴所围成的平面图形的面积为该切线与曲线eex(ln x 1)|1e1 (7 分)22 e ex(ln2 x 2ln x 2)|1e 2 (1 ) (10 分)3xC

9、(x) C(0) 0 C (t)dt 10( 40 20t 3t 2)dt 10 40x 10x2 x3sinx, x 0f (x)x, x 0（ 4 分）1（2）当 x 0 时， f (x)(sin x) cosx ；当 x 0 时，f (x) (x)因此，cosx, x0（7 分）f (x)。 1, x0（3）因为lim f (x)lim cosx 1，lim f (x)lim 1 1 ， f(0) 1x0x0x0x0所以，lim fx0(x) f (0) ，即 f （x）在x 0处是否连续（ 10 分）五、16【解】11e x dxe1ex1 xe x dx 1 x d(1 ex) e

10、1 eln(1 ex) C （ 5 分）ln x1 ln x 11（3 分）17 1 lnx2x1xdx1 lnxd()|11 ( )x x 1 xdx xL(x)R(x)C(x)(5x232x)(1040x2310x2 x3)1072x15x23 x2) L (x)R(x)C (x)(10x32) (4020x3x2)3x2 30x72L (x)6x30令 L (x)0 ，得x 12(x2不合题意，舍去)， L (12) 6 12301)总利润函数为42 0 ，故当产量为 12 吨时，总利润最大。R(x)R(0)x0 R(t)dt 0x0 (10t 32)dt25x2 32xx七、 20【证明 】因为 f (x) 在a,b 上连续，所以F(x)a f (t)dta 在 (a,b 上连续，又xalim F(x) lim x a x axa f (t)dt f (x) limx a x a 1f (a)F(a)故 F(x)在 a,b 上连续。2 分)当 a x b 时，由f(x) 在a,b 上单调递增，F (x) ax af(t)dt (x a) f(x) xa f(t)dt (x a)2xa f (x) f (t)dt a(x a)25 分)因此 F(x) 在区间 a,b上也单调递增 .21【证明 】令 F(x) sinx f (x)， x