中德学生数学建模能力水平的比较分析

1、中德学生数学建模能力水平的比较分析徐斌艳近期参照的数学建模能力水平分析框架，对中国上海以及德国巴州的一千 余名 911 年级学生进行实验研究。结果表明，中德学生的数学建模能力的平均 水平非常接近，但是从各个不同的能力水平看，两国学生的成绩存在着一定的 差异；另外发现学生的数学建模能力随着年级的升高也不断发展。透过结果发 现，中学生数学建模能力薄弱，上海学生的基本技能有滑坡倾向；另外需把握 开展数学建模教学的最佳时机。一、研究背景21 世纪初启动的各国与各地区数学课程改革都将学生数学建模思想的形成 以及数学建模能力的培养作为数学教育的重要目标之一。例如颁布于2003 年底的德国数学教育标准明确提

2、出，数学建模能力是学生应该发展的六大数学能力 之一，也就是说学生要学会用数学方法去理解现实相关的情景，提出解决方 案，并认清和判断现实中的数学问题。 ”中国上海地区的数学课程标准则规定将 数学模型的内容作为高中学生指定选修内容之一，让学生通过数学模型主题的 学习，不断增强自身的数学应用意识和应用能力，并且会用数学的眼光看待周 围世界，懂得从数学的角度去思考问题。本实验研究的重点在于比较分析学生面对某个日常情景 （如削菠萝问题 ）时， 能否以及如何以数学建模思想进行思考、识别问题并解决问题，以了解学生数 学建模能力的具体表现和他们拥有的数学建模能力水平。二、研究的理论依据关于数学建模能力的研究成

3、为近十年来数学教育的研究热点。为有效检验 和评价数学建模能力，研究者们对建模能力的内涵进行界定，例如建模能力被 定义为 “能够在给出的现实世界中识别问题、变量或者提出假设，然后将它们翻 译成数学问题加以解决，紧接着联系现实问题解释和检验数学问题解答的有效 性。”我们的实验则主要参照布鲁母 （Blum）的建模流程框架 （如图 1 所示），这个框 架描述了如下 7 个步骤：1理解现实问题情境；2简化或结构化现实情景，形成现实模型；3将被结构化的现实模型翻译为数学问题，形成数学模型；4用数学方法解决所提出的数学问题，获得数学解答；5根据具体的现实情景解读并检验数学解答，获得现实结果；6检验现实结果的

4、有效性；7反馈给现实情景。学生在数学建模过程中将先后经历这几个不同的步骤，每经历一个步骤， 对学生来说，就是一个认知障碍的突破。学生在过程中行进得越远，离目标或 者问题解决就越近。我们结合具体的实验问题 （削菠萝 ），将学生的数学建模能力 分为几个水平。三、研究的方法与过程（一）实验设计1实验问题及水平分类本实验给学生描述了这样一个现实情景 （削菠萝 ）：四月刚好是菠萝的季节， 为使我们能品尝到新鲜的菠萝，水果店都有专人帮助我们削菠萝皮，这是一个 艺术性的刨削过程，削完后，菠萝上留下的是一条条螺线。请你从数学角度来 思考，人们为什么这样削菠萝 ?并从数学角度论证你的观点。学生被要求将自己的思考

5、过程以及问题解决过程书写在作业单上。结合这 个问题，我们将学生数学建模能力分为如下 6 个水平：水平 0：学生无法理解具体的情景，不能识别出任何问题。水平 1：学生认清给出的现实情景，尝试将这情景结构化，以便找出数学模 型，但是无法找到与数学相关的线索。 （例如学生描述到，以这种方式削菠萝使 损失的肉最少，学生在作业纸上画出菠萝黑子的交错排列。 ）水平 2：学生提出一个合理的假设，并且能够找出一个数学模型，但是不知 道如何转化为数学问题 （数学文字题 ）。（例如学生找出圆柱体模型； 4 个菠萝黑子 被连成一个四边形等。 ）水平 3：学生不仅能找到某个现实模型，而且能够将其 转化为数学问题，并尝

6、试解决那个数学问题。但是最终不能找到满意的答案； 或者不能准确地解决这数学问题。 （例如学生有一个较好的想法，即将相邻的点 连成一个正方形，但是不知道如何说明菠萝上斜着连接两个籽的斜线是最短 的。）水平 4：学生能够从现实情景中找出数学模型，并且在数学世界中解决问 题，但是忽略了与现实情景的联系。 （例如学生完成了一系列步骤，如计算、证 明等，但是没有再回到菠萝问题上，检验那些结果。 ）水平 5：学生经历完整的数学建模过程，并且结合现实情景，检验数学问题 解答的合理性。 （例如学生计算出螺线式地削菠萝能缩短百分之几的路程。 ）2被试学生我们于 2007年 912月之间，分别在中国上海地区和德国

7、巴登符腾堡州抽 取一千多名 9 至11年级的学生，让他们解决这个菠萝问题。被试学生的分布情 况如表 1：表 1 中德被试学生按性别与年级的分布被试人数 9年级 10年级 11年级76711241294670106男性 81中国上海被试女性 103男性 103德国巴州被试女性 64（二）实验的实施我们首先给学生放映 90 秒钟长的一段视频，展示削菠萝的整个过程，视频 最后呈现要解决的问题：请你从数学角度论证，为什么他们这样削菠萝 ?然后发给学生一张作业单，上面用文字描述了削菠萝的情景。再给学生播 放这段视频，以便让他们有机会从数学角度观赏那个过程。然后学生用2535分钟时间独立思考、分析并解决这

8、个问题。（三）实验数据的分析方法 依据上述数学建模能力水平的指标体系，我们对学生的解答过程进行细心 评价、分类，然后给出相应的分数，例如符合能力水平 1的就得 1分，符合能 力水平 5的得 5分。接着利用统计分析工具 （如 Excel）对数据进行统计分析。通 过实验分析我们主要回答如下一些问题：中国和德国学生分别到达哪个数学建 模能力水平 ?数学建模能力是否因年级不同而有差异 ?数学建模过程中是否存在 性别差异 ?中德学生的数学建模能力水平是否存在差异 ?存在怎样的差异等 ?四、实验结果及其分析（一）中德学生平均能力水平的比较 首先，中国与德国学生在数学建模能力方面的平均水平非常接近，三个年

9、级的平均能力水平只有 175与 181。其中 9年级中德学生达到的数学建模能 力平均水平为 141与 159，10年级中德学生的平均水平皆为 167，而 11 年级中德学生的平均水平也相同，为 2 18。（如图 2）但是从各个不同的能力水平看，两国学生的成绩存在着一定的差异（如图3），尤其是中国学生达到水平 2 的人数占所有中国被试的 3166，而德国学 生达到水平 2 的人数仅占所有德国被试的 618；但是中国学生达到水平 3 的人数仅占所有中国被试的 1361，而德国学生达到水平 3 的人数占所有德 国被试的 20 83。（二）中德学生能力水平的性别差异比较在所有三个年级，中国女生的表现总

10、是优于中国男生，例如从表 2 可见， 中国 9年级男女学生达到的平均水平分别为 118与 163，表现出显著差异 （p01）；在德国到 11 年级时，男生成绩略高于女生成绩，他们达到的平均能 力水平分别为 221与 209。另外在德国只有 11年级的男生才能达到数学建模能力的第 5 水平，占所有 德国男生的 586，而德国女生达到水平 5 的比例几乎为零。达到第 5水平的 中国学生也几乎为 11 年级学生，但是达到该水平的男女生人数比例接近。（三）中德学生数学建模能力水平发展的比较实验结果表明，学生的数学建模能力随着年级的升高也不断发展，特别到 11年级，学生的数学建模能力有一个飞跃发展。我们

11、可以观察到，在 11 年级德 国男生和中国女生能力上的飞跃发展呈现显著性差异 （p 005）。而中国男生每 上一个年级，其能力水平均有显著的增长 （显著差异 p 005），德国女生的能力 水平的增长不太显著，因为在 9 年级德国女生已经表现出较高的能力水平 （平均 水平为 1 78）。中德学生之间的建模能力水平差异还表现在达到水平 2 的人数比例上。对 中国学生而言，水平 3 似乎是一个较大的认知障碍，在达到水平 2 的中国学生 中只有 42的学生能够进入水平 3 或者更高水平。而在德国，达到水平 2的学 生中则有 66的能继续进入水平 3 或更高水平。根据上述能力水平分类指标，数学建模能力水

12、平 3 意旨，学生能够用自己 找到的数学模型，在数学世界中进行计算。这说明中国上海的学生虽然有能力 找到数学模型，但是与德国学生比较，他们不擅长进一步在数学世界中进行严 谨的计算或者证明。而水平 4 对中德学生都是一个较大的认知障碍，能越过这个障碍，从水平 3 进入水平 4 或更高水平的人数比例相对较低 （见图 3），达到水平 3 的中国学生中 只有 413的学生拥有水平 4 或者更高水平的能力，而达到了水平 3 的德国学 生中只有 48 2的学生拥有水平 4 或者更高水平的建模能力。根据上述能力水平的分类指标，数学建模能力水平 4 则表示，学生会结合 现实情景检验计算结果。因此中德学生从水平

13、 3 向水平 4 发展过程中碰到较大 认知障碍表明，学生缺乏数学建模过程的完整体验，往往将学习活动中止于数 学世界中，不重视数学结果与现实情景的结合，也就是说，缺乏论证和解释数 学结果的能力。五、思考与讨论（一）中学生数学建模能力薄弱由实验分析结果可见，中德学生的数学建模能力水平普遍较低， 9 年级至 11 年级的学生的平均水平仅仅在于能够简化现实情景，提炼出一个现实模型， 但是缺乏将现实模型翻译为数学模型 （或者数学问题 ）的能力，因此无法进一步经 历数学建模的其他要素，学生现有的数学建模意识以及思想还比较薄弱。（二）数学基本技能滑坡这次实验结果有些令人惊讶和担忧。因为上海学生在数学建模过程

14、中碰到 的较大障碍是，学生不能严谨地进行数学的计算和证明。另外从学生的作业单 上，我们也感到学生在对待数学的证明与计算时，缺乏严谨、细致的学习态 度。相比较而言，一旦德国学生将现实模型翻译为数学问题后，他们在数学计 算或证明时则更加认真和细致，这与 2000 年 nSA测试结果公布以来德国进行的 一系列数学教育改革有密切关系。他们改革的核心是提高数学课堂教学质量， 加强学生基础知识与基本技能的训练，提高学生数学自主学习的能力，培养学 生对数学的热爱等。我们需要深思，如何保持我们的教育优势，让学生在扎实 的基础之上全面发展。（三）把握开展数学建模教学的最佳时机实验结果表明， 11 年级的学生在数学建模能力上有飞跃式的发展。数