(完整版)2二次曲线上的四点共圆问题的完整结论

1、二次曲线上的四点共圆问题的完整结论百年前，著名教材坐标几何(Loney著)中曾提到椭圆上四点共圆的一个必要条件是2 2这四点的离心角之和为周角的整数倍(椭圆 笃 £ 1(a 0,b 0)上任一点A的坐标可a2 b2以表示为(acos , bsin )( R)，角 就叫做点A的离心角)，证明方法十分巧妙，还要运用高次方程的韦达定理这一条件是否充分，一直是悬案在20世纪80年代编写数学题解 辞典(平面解析几何)时，仍未解决到20世纪年代初编写中学数学范例点评时，才证 明了此条件的充分性.1,22016年高考四川卷文科第 20题，2011年高考全国大纲卷理科第21题，2005年高考湖北卷理

2、科第21题(也即文科第22题)及2002年高考江苏、广东卷第20题都是关于二次曲线 上四点共圆的问题(见文献3,4).笔者曾由2005年的这道高考题得出了二次曲线上四点共 圆的一个简洁充要条件(其证明也很简洁但有技巧)：若两条直线 h : y y0 k, (x x0)(i 1,2) 与二次 曲线2 2:ax by cx dy e 0(a b)有四个交点，则这四个交点共圆的充要条件是k1 k20.文献2还用此结论证得了“椭圆上的四点共圆的充要条件是这四点的离心角之和为周 角的整数倍” 文献5用较长的篇幅得出了下面的两个结论(即原文末的命题 7、8):结论1抛物线y2 2px的内接四边形同时内接于

3、圆的充要条件是该四边形的两组对 边、两条对角线所在的三对直线中有一对直线的倾斜角互补结论2圆锥曲线mx2 ny21(mn 0,m n)的内接四边形同时内接于圆的充要条件是该四边形的两组对边、两条对角线所在的三对直线中有一对直线的倾斜角互补请注意，文献5中所涉及的直线的斜率均存在，所以这两个结论均正确但不够完整，本文将给出二次曲线上的四点共圆问题的完整结论，即文末的推论4.定理 1 若两条二次曲线 ax2 by2 cx dy e 0(a b)，a x2 b y2 cx d y e 0 有四个交点，则这四个交点共圆 .证明 过这四个交点的二次曲线一定能表示成以下形式(，不同时为0):2 2 2 2

4、(ax by cx dy e) (ax b y cx d y e)0式左边的展开式中不含xy的项，选1时，再令式左边的展开式中含x2, y2项的系数相等，得也一？，此时曲线即2 2xycxdyeO的形式，这种形式表示的曲线有且仅有三种情形：一个圆、一个点、无轨迹而题中的四个交点都在曲线上，所以曲线表示圆这就证得了四个交点共圆定理 2 若两条直线l i : a x bi y ci 0(i1,2)与二次曲线2 2:ax by cx dy e 0(a b)有四个交点，则这四个交点共圆的充要条件是aQ? a2d 0.证明由组成的曲线即(aix biy Ci)(a2X b2y C2)0所以经过它与的四个

5、交点的二次曲线一定能表示成以下形式(，不同时为0):2 2(ax by cx dy e)(aix biy Ci)(a2X b2y C2) 0必要性若四个交点共圆，则存在，使方程表示圆，所以式左边的展开式中含xy项的系数 (a1b2 a2d)0.而0 (否则表示曲线，不表示圆)，所以aib? a?bi0.充分性当aib2 azb 0时，式左边的展开式中不含xy的项，选 I时，再令式左边的展开式中含x2, y2项的系数相等，即a aia2b db2，得b a此时曲线即x2 y2 cx dy e 0的形式，这种形式表示的曲线有且仅有三种情形：一个圆、一个点、无轨迹而题中的四个交点都在曲线上，所以曲线

6、表示圆这就证得了四个交点共圆推论i若两条直线与二次曲线:ax2 by2 cx dy e 0(a b)有四个交点，贝U这四个交点共圆的充要条件是这两条直线的斜率均不存在或这两条直线的斜率均存在且互为相反数证明 设两条直线为|j：ax biy ci 0(i i,2)，由定理2得，四个交点共圆的充要条件是 aid a?bi 0 (i)当li /I2即aib2 a2ti时，得四个交点共圆的充要条件即aib2 a2ti 0也即ai a20 或 b b20 当li与l2不平行即aib2a2“时，由a4a200得a40,a2 00，所以四个交点共圆的充要条件即aia20也即直线l1,l2的斜率均存在且均不为

7、0且互为bib2相反数由此可得欲证成立.咼考题1(2016年咼考四川卷文科第2x 20题)已知椭圆E :a2y_b2b 0的一个焦点与短轴的两个端点是正三角形的三个顶点，点P .3,- 在椭圆E上.2(1) 求椭圆E的方程；1(2) 设不过原点O且斜率为一的直线I与椭圆E交于不同的两点 A , B，线段AB的中2点为M，直线OM与椭圆E交于C , D，证明：MA MB MC MD .2解(1)(过程略)椭圆E的方程是 y21.4设A(X1,yJ , Bgy)，线段AB的中点为M(x°,y。).22y1X221, y21，把它们相减后分解因式(即点差法)，再得4所以kAB kcD0，由

8、推论1得A,B,C,D四点共圆.(X1%2)(为X2)(Y1Y2)(Y1y?)41ky1kABy2X1X2X024(y1y2)X1X24y°kCDy。1X02再由相交弦定理，立得 MA MB = MC MD13题)设A、B为双曲线竞赛题1(2014年全国高中数学联赛湖北赛区预赛第2X2 上的两点，点N(1,2)为线段AB的中点，线段AB的垂直平分线与双曲线交于C、2D两点(1)确定的取值范围；试判断A、B、C、D四点是否共圆？并说明理由2简解(1)用点差法可求得直线 AB的方程是y x 1,由直线AB与双曲线X2 乞2交于不同的两点，可得1且0.得直线CD的方程是y x23，由直线C

9、D与双曲线x2 y2交于不同的两点,可得9且0.所以的取值范围是(1,0)(0,).(2)在(1)的解答中已kAB kcD 0,所以由推论1立得A,B,C,D四点共圆.笔者还发现还有一道竞赛题和四道高考题及均是二次曲线上的四点共圆问题，所以用以上定理的证法均可给出它们的简解这五道题及其答案分别是：高考题2 (2014 年高考全国大纲卷理科第21题(即文科第22题)已知抛物线 C：2y 2px( p 0)的焦点为F，直线y 4与y轴的交点为 P，与C的交点为 Q，且QF|54|pQ .(1)求C的方程；过F的直线l与C相交于A, B两点，若AB的垂直平分线I与C相交于M ,N两点， 且A, M

10、, B, N四点在同一圆上，求 丨的方程.2(答案：(1)y 4x ； (2) x y 10 或 x y 10.)高考题3 (2011年高考全国大纲卷理科第 21题(即文科的22题)如图1所示，已知O2为坐标原点，F为椭圆C :x21在y轴正半轴上的焦点，过F且斜率为. 2的直线2I与C交于代B两点，点P满足OA OB OP 0.图1(1)证明：点P在C 上;设点P关于点O的对称点为Q，证明：A, P, B,Q四点在同一圆上高考题 4 ( 2005年高考湖北卷文科第22题(即理科第 21题)设A, B是椭圆3x2 y2上的两点，点N(1,3)是线段AB的中点，线段 AB的垂直平分线与该椭圆交于

11、C,D两点(1)确定 的取值范围，并求直线 AB的方程；试判断是否存在这样的，使得代B,C,D四点在同一圆上？并说明理由 (答案：(1)的取值范围是(12,)，直线AB的方程是x y 40 ; (2)当 12时时，均有 代B,C,D四点在同一圆上.)2高考题5 ( 2002年高考江苏卷第 20题)设代B是双曲线x2 匚 1上的两点，点2NN(1,2)是线段AB的中点(1)求直线AB的方程；如果线段AB的垂直平分线与双曲线相交于C,D两点，那么A, B,C,D四点是否共圆？为什么？(答案：(1)y x 1；是.)竞赛题2 (2009年全国高中数学联赛江苏赛区复赛试题第一试第三题)如图2所示，抛物

12、线y2 2x及点P(1,1)，过点P的不重合的直线h、J与此抛物线分别交于点 A,B,C,D . 证明：A, B,C, D四点共圆的充要条件是直线 11与12的倾斜角互补.推论2 设二次曲线:ax2 by2 ex dy e 0(a b)上的四个点连成的四边形是圆内接四边形，在该四边形的的两组对边、 两条对角线所在的三对直线中：若有一对直线的斜率均不存在，则另两对直线的斜率均存在且均互为相反数；若有一对直线的斜率均存在且均互为相反数，则另两对直线的斜率也均存在且均互为相反数，或另两对直线的斜率中有一对均不存在另一对均存在且互为相反数证明 设圆内接四边形是四边形 ABCD，其两组对边 AB与CD、

13、AD与BC及对角 线AC与BD所中的直线分别是1 : axbiiye1i0(i1,2)!i ： a2ixb2iye2i0(i1,2)>i : axb$yC3i0(i1,2)I3l2由定理中的充分性知，若四个交点共圆，则以下等式之一成立:abiabi0,a31b32a32b31再运用定理2中的必要性知，若四个交点共圆，则以上等式均成立再由推论1的证明，可得欲证成立.推论2的极限情形是推论3设点A是定圆锥曲线(包括圆、椭圆、双曲线和抛物线)C上的定点但不是顶点， E、F是C上的两个动点，直线 AE、AF的斜率互为相反数，则直线 EF的斜率为曲线 C 过点A的切线斜率的相反数(定值).由推论3

14、可立得以下三道高考题中关于定值的答案：高考题6(2009年高考辽宁卷理科第320(2)题)已知 A 1,22x是椭圆C : 一4的定点，E、F是C上的两个动点，直线1率为定值，并求出这个定值(答案：一.)2高考题7(2004年高考北京卷理科第AE、AF的斜率互为相反数，证明 EF直线的斜17(2)题)如图3,过抛物线y2 2px(p 0)上一定点P(x0,y°)(y° 0)作两条直线分别交抛物线于A(X1,yJ,B(X2,y2).当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时，求辿y2的值，y。并证明直线AB的斜率是非零常数.(答案：yy22； kAB )y0y0高考题8 (2004

15、年高考北京卷文科第17(2)题)如图3，抛物线关于X轴对称，它的顶点在坐标原点，点P(1,2), A(Xi, yi), B(X2, y2)均在抛物线上当PA与PB的斜率存在且倾斜角 互补时，求y!y2的值及直线 AB的斜率(答案： y?4； kAB 1.)22推论4 设二次曲线 :ax by cx dy e 0(a b)上的四个点连成的四边形是 圆内接四边形，则该四边形只能是以下三种情形之一：(1) 两组对边分别与坐标轴平行的矩形；(2) 底边与坐标轴平行的等腰梯形；(3) 两组对边均不平行的四边形，但在其两组对边、两条对角线所在的三对直线中，每对直线的斜率均存在且均不为0且均互为相反数.证明 推论2中的圆内接四边形，只能是以下三种情形之一：(1) 是平行四边形由推论2知，该平行四边形只能是两组对边分别与坐标轴平行的矩形(2) 是梯形由推论2知，该梯形的底边与坐标轴平行，两腰所在直线的斜率及两条对角线所在直线的斜率均存在且均不为0且均互为相反数，可得该梯形是底边与坐标轴平行的等腰梯形两组对边均不平行的四边形由推论2知，该四边形的两组对边、两条对角线所在的三对直线中，每对直线的斜率均存在且均不为0且均互为相反数(本文中的所有结论及部分题目在文献6中均有