2020-2021哈尔滨市高一数学下期中第一次模拟试题(带答案)

1、2020-2021 哈尔滨市高一数学下期中第一次模拟试题 （ 带答案）一、选择题BC 4,AC 4 2 ，则三棱1 已知三棱锥 D ABC 的外接球的表面积为 128 ， AB锥 D ABC 体积的最大值为（ ）27 AB10 8 6C 16 6D32 2 16 6323332已知直线l 过点 (1,0) ，且倾斜角为直线l0 ： x 2y 2 0 的倾斜角的 2倍，则直线的方程为（）A 4x 3y30B 3x 4y 3 0C 3x 4y40D 4x 3y 4 03 设 l 为直线， , 是两个不同的平面，下列命题中正确的是 （ ）A若 l / /，l / / ，则/B若 l， l，则/C若

2、l，l / ，则/D若，l /，则l4水平放置的 VABC 的斜二测直观图如图所示，若 A1C12 ， A1B1C 1的面积为 2 2 ， 则 AB 的长为（ ）A 2B 2 17C2D85已知 m ， n 是空间中两条不同的直线，为空间中两个互相垂直的平面，则下列命题正确的是（）A若 m，则mB若m， n ，则 m nC若 m， m，则 m/ /D若Im ， n m ，则 n6 已知三棱锥 SABC 的所有顶点都在球O的求面上，ABC 是边长为 1的正三角形，SC 为球 O的直径，且 SC 2 ，则此棱锥的体积为（ ）2322ABCD66327圆心在 x+y=0 上，且与 x 轴交于点A（-

3、3 ，0）和B（ 1， 0）的圆的方程为（）A(x 1)2 (y 1)25B (x1)2 (y 1)25C22(x 1)2 (y 1)25D(x1)2 (y 1)258已知平面 / 平面，直线 m ü，直线 n ü，点 A m,点 B n，记点 A、B 之间的距离为 a,点 A 到直线 n 的距离为b,直线 m 和 n 的距离为 c, 则AbacB a c bC ca bD c b a9 如图是某四面体 ABCD 水平放置时的三视图（图中网格纸的小正方形的边长为1，则四面体 ABCD 外接球的表面积为125A 20B622C 25D10010 椭圆 x2 y2 1(a a2

4、 b2b 0） 的左右焦点分别是 F1、 F2 ，以 F2为圆心的圆过椭圆的中心，且与椭圆交于点P，若直线 PF1恰好与圆 F2 相切于点 P，则椭圆的离心率为（B 3 1C2D5111 如图在正方体中，点 为线段 的中点 . 设点 在线段 上，直12 如图是一个几何体的三视图（侧视图中的弧线是半圆），则该几何体的表面积是（）A 203B243C20 4D24 4二、填空题13已知棱长为 1的正方体 ABCDA1B1C1D1中，E，F，M 分别是线段 AB 、AD、 AA1的 中点，又 P、Q 分别在线段 A1B1、A1D1上，且 A1PA1Qx（0<x<1）.设平面 MEF 平面

5、MPQl ，现有下列结论： l 平面 ABCD； lAC； 直线 l 与平面 BCC1B1 不垂直； 当 x变化时， l 不是定直线 .其中不成立的结论是 .(写出所有不成立结论的序号 )14 已知平面 ， 是空间中三个不同的平面，直线 l ， m是空间中两条不同的直 线，若 ， m， l ， l m，则 m； l ；.由上述条件可推出的结论有 (请将你认为正确的结论的序号都填上) 2215圆 x2 y2 1上的点到直线 3x 4y 25 0 的距离的最小值是 16若直线 l：y kx- 3与直线 2x 3y-6 0的交点位于第一象限，则直线 l的倾斜角的取值范围是 .17已知直线 l : x

6、 my m 0，且与以 A(-1,1)、B(2,2)为端点的线段相交，实数 m的取值 范围为 .18正四棱锥 P ABCD底面的四个顶点 A,B,C,D 在球O的同一个大圆上，点 P在球面上. 若 VP- ABCD16，则球 O 的体积是 319如上图所示，在正方体 ABCD A1B1C1D1中， M , N分别是棱 AB、CC1的中点，MB1P 的顶点 P在棱 CC1 与棱 C1D1上运动，有以下四个命题：A平面 MB1P ND1 ； B 平面 MB1P 平面 ND1A1 ；C MB1P 在底面 ABCD 上的射影图形的面积为定值；D MB1P在侧面 D1C1CD 上的射影图形是三角形其中正

7、确命题的序号是 .20在平面直角坐标系 xoy中， ABC的坐标分别为 A 1, 1 ， B 2,0 ， C 1,5 ，则BAC 的平分线所在直线的方程为 三、解答题21如图，在多面体 ABCDM 中， BCD是等边三角形， CMD 是等腰直角三角形，CMD 90 ，平面 CMD 平面 BCD， AB 平面 BCD，点 O为CD 的中点 .（1）求证： OM / / 平面 ABD；（2）若 AB BC 2 ，求三棱锥 M ABD 的体积.22如图，矩形 ABCD所在平面与半圆弧 C?D所在平面垂直， M是C?D上异于 C，D的 点（1）证明：平面 AMD 平面 BMC ；（2）在线段 AM上是

8、否存在点 P，使得 MC平面 PBD ？说明理由23在梯形 ABCD中， AD/BC， AC BD于点O，BC 2AD，AC 9，将 ABD 沿着 BD折起，使得 A点到 P点的位置， PC 3 5.（）求证：平面 PBD 平面 BCD ；（） M为BC上一点，且 BM 2CM ，求证： OM / /平面PCD. 24已知圆 C的圆心坐标 1,1 ，直线 l：x y 1被圆C截得弦长为 2 .（1）求圆 C 的方程；（2）从圆 C 外一点 P 2,3 向圆引切线，求切线方程 .25四棱锥 P- ABCD中，底面 ABCD 是直角梯形， AB/CD， BCD 90 ，AB AD 2DC2 . P

9、AD 为正三角形，二面角P-AD-C 的大小为1）线段 AD 的中点为 M. 求证：平面 PMB平面 ABCD ；2）求直线 BA 与平面 PAD 所成角的正弦值26如图所示的等腰梯形ABCD中， AB / /CD ， AB ADBC 1CD2a，E为 CD中点若沿 AE 将三角形 DAE 折起，并连接 DB，DC，得到如图所示的几何体 D-ABCE ，2）若平面 DAE 平面 ABCE，且 F为AB 中点，求证： DFAC参考答案】 * 试卷处理标记，请不要删除一、选择题1D解析： D【解析】 【分析】先求出球心 O到底面距离的最大值，从而可求顶点D 到底面的距离的最大值，利用该最大值可求体

10、积的最大值 .【详解】设外接球的球心为 O ，半径为 R，则 4 R2 128 ，故 R 4 2. 设球心O在底面上的投影为 E ，因为OA OC OB，故 E为 ABC的外心.因为 AB BC 4， AC 4 2，所以 AC2AB2BC2，故 ABC 为直角三角形，故 E 为 AC 的中点，所以 OE OA2 AE22 6 ，设 D 到底面 ABC 的距离为 h ，则 h OE R264 2 ，所以三棱锥 D ABC 的体积的最大值为 1 1442 6 4 2 32 2 16 6323故选： D.【点睛】几何体的外接球、内切球问题，关键是球心位置的确定，必要时需把球的半径放置在可解的几何图形

11、中，注意球心在底面上的投影为底面外接圆的圆心如果球心的位置不易确 定，则可以把该几何体补成规则的几何体，便于球心位置和球的半径的确定2D解析： D【解析】1设直线 l0 的倾斜角为 ，则斜率 k0 tan ，所以直线 l 的倾斜角为 2 ，斜率2k tan24x 3y 43B2tan4，又经过点（ 1,0），所以直线方程为3y 34(x 1) ，即1 tan20 ，选 D.解析： B【解析】A 中， ,也可能相交；B 中，垂直与同一条直线的两个平面平行，故正确；C 中，也可能相交；D 中， l 也可能在平面 内 .【考点定位】点线面的位置关系4B解析： B解析】 分析】依题意由 A1B1C1的

12、面积为 2 2，解得 B1C1 4，所以 BC 8， AC 2 ，根据勾股定理 即可求 AB 【详解】依题意，因为 A1B1C1的面积为 2 2 ，1 所以 2 2A1C1B1C1 sin4512B1C12，解得 B1C1 4 ，222所以 BC 8 ， AC2 ，又因为 ACBC，由勾股定理得： ABAC2 BC28222682 17 故选 B【点睛】本题考查直观图还原几何图形，属于简单题 . 利用斜二测画法作直观图，主要注意两点：是与 x轴平行的线段仍然与 x 轴平行且相等；二是与 y轴平行的线段仍然与 y轴平行且长度减半 .5C解析： C【解析】由题设，,则 A. 若m ，则 m，错误；

13、 B. 若m， n，则 m n错误； D. 若m，n m，当 n时不能得到 n ，错误 .故选 C.6A解析： A【解析】【分析】【详解】 根据题意作出图形：设球心为 O ，过 ABC 三点的小圆的圆心为O1，则 OO1平面 ABC ，3432 延长 CO1交球于点 D，则 SD平面 ABC CO1=3 OO16高 SD=2OO 1= 2 6 ABC 是边长为1 的正三角形，S3SABC =V 三棱锥 S ABC考点：棱锥与外接球，体积【名师点睛】 本题考查棱锥与外接球问题，首先我们要熟记一些特殊的几何体与外接球（内切球）的关 系，如正方体（长方体）的外接球（内切球）球心是对角线的交点，正棱锥

14、的外接球（内 切球）球心在棱锥的高上，对一般棱锥来讲，外接球球心到名顶点距离相等，当问题难以 考虑时，可减少点的个数，如先考虑到三个顶点的距离相等的点是三角形的外心，球心一 定在过此点与此平面垂直的直线上如直角三角形斜边中点到三顶点距离相等等等7A解析： A【解析】【分析】由题意得：圆心在直线 x=-1 上，又圆心在直线 x+y=0 上，故圆心 M 的坐标为（ -1， 1）， 再由点点距得到半径。【详解】由题意得：圆心在直线 x=-1 上， 又圆心在直线 x+y=0 上， 圆心 M 的坐标为（ -1， 1）， 又 A（-3，0），半径 |AM|= -1+3 2 + 1-0 2= 5， 则圆的方

15、程为（ x+1 ）2+（y-1）2=5 故选 A 【点睛】 这个题目考查的是直线和圆的位置关系，一般直线和圆的题很多情况下是利用数形结合来 解决的，联立的时候较少；在求圆上的点到直线或者定点的距离时，一般是转化为圆心到 直线或者圆心到定点的距离，再加减半径，分别得到最大值和最小值；涉及到圆的弦长或 者切线长时，经常用到垂径定理。8D 解析： D 【解析】 【分析】 根据平面与平面平行的判断性质 ,判断 c 最小,再根据点到直线距离和点到直线上任意点距离 判断 a 最大 .【详解】由于平面 / / 平面 ,直线 m 和 n 又分别是两平面的直线 ,则 c即是平面之间的最短距离 而由于两直线不一定

16、在同一平面内 ,则 b一定大于或等于 c,判断 a和 b时, 因为 B是上n任意一点 ,则a大于或等于 b.故选 D.【点睛】 本题主要考查面面平行的性质以及空间距离的性质，考查了空间想象能力，意在考查灵活 应用所学知识解答问题的能力，属于中档题 .9C解析： C【解析】【分析】【详解】由三视图可知，这是三棱锥的三视图，如下图所示，三角形 BCD 为等腰直角三角形， 其外心为 BD中点O1 ，设 O为AD中点，则 O 为外接球球心，15半径长度为 AD ，22所以表面积为 25 .10B解析： B【解析】【分析】根据椭圆的定义可知 |PF1| |PF2| 2a，又 PF1恰好与圆 F2相切于点

17、 P，可知| PF2 | c 且 PF1 PF2 ，即可列出方程求椭圆的离心率 .【详解】由 PF1恰好与圆 F2相切于点 P，可知 |PF2 | c，且 PF1 PF2，又|PF1 | |PF2 | 2a，可知 |PF1 | 2a c，在 Rt PF1F2 中， (2a c)2 c2 4c2 ，即 2a2 2ac c2 所以 e2 2e 2 0, e (0,1) ， 解得 e 2 12 3 1，2故选： B【点睛】 本题主要考查了椭圆的定义，椭圆的简单几何性质，圆的切线的性质，属于中档题11B解析： B解析】分析】，所以详解】又直线与平面所成的角小于等于，而 为钝角，所以 的范围为 ，选 B

18、.设正方体的棱长为 ，则【考点定位】 空间直线与平面所成的角12A解析： A解析】 【分析】【详解】 由几何体的三视图分析可知，该几何体上部为边长为 2 的正方体， 下部为底面半径为 1、高为 2 的半圆柱体，故该几何体的表面积是20 3，故选 A.考点： 1、几何体的三视图； 2、几何体的表面积、填空题13 【解析】【详解】连接 BDB1D1A1PA1QxPQB1D1BDEF则 P Q平面MEF又平面 MEF平面MPQlPQllEFl平面ABCD故 成立； 又EFAClAC故解析： 【解析】【详解】连接 BD，B1D1，A1PA1Qx， PQB1D1BDEF，则 PQ平面 MEF， 又平面

19、MEF 平面 MPQl， PQl，lEF，l 平面 ABCD ，故成立；又 EFAC， l AC，故成立； lEFBD，故直线 l 与平面 BCC1B1不垂直，故成立； 当x变化时， l是过点 M 且与直线 EF平行的定直线，故不成立 即不成立的结论是 .14 【解析】【分析】对每一个选项分析判断得解【详解】根据已知可 得面 和面 可成任意角度和面 必垂直所以直线 m 可以和面 成任意角度 不正确；l?lm所以l正确； 显然不对； 因为l?l 解析： 【解析】【分析】 对每一个选项分析判断得解 .【详解】根据已知可得面 和面 可成任意角度，和面 必垂直所以直线 m可以和面 成任 意角度，不正确

20、； l ? ，l m，所以 l ，正确；显然不对；因为l ? ，l ，所以 ，正确故答案为【点睛】 本题主要考查空间线面垂直和面面垂直的证明，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题 .154【解析】试题分析：圆的圆心为圆心到直线的距离为所以点到直线的距离的最小值是 5-1=4考点：直线和圆的位置关系解析： 4【解析】试题分析：圆的圆心为 0,0 ,r 1，圆心到直线 3x 4y 25 0的距离为255 ，所以点到直线 3x 4y 25 0的距离的最小值是5-1=4考点：直线和圆的位置关系16【解析】若直线与直线的交点位于第一象限如图所示：则两直线的交点应 在线段上（不包含点）当交点为

21、时直线的倾斜角为当交点为时斜率直线的倾斜 角为直线的倾斜角的取值范围是故答案为 解析： （ , ）62【解析】若直线 l :y kx 3与直线 2x 3y 6 0的交点位于第一象限，如图所示：则两直线的交点应在线段 AB上（不包含 A,B点） , 当交点为 A 0,2 时，直线 l 的倾斜角 为 ，当交点为 B 3,0 时，斜率 k 0 3 3 ，直线 l 的倾斜角为2 k 3 0 3 6直线的倾斜角的取值范围是 , 62故答案为 ,6217【解析】【分析】由直线系方程求出直线所过定点再由两点求斜率求得定点与线段两端点连线的斜率数形结合求得实数的取值范围【详解】解：由直线可知直线过定点又如图由

22、图可知直线与线段相交直线的斜率或斜率不存21解析： 23 ,12解析】分析】 由直线系方程求出直线所过定点，再由两点求斜率求得定点与线段两端点连线的斜率，数 形结合求得实数 m 的取值范围【详解】解：由直线 l : x my m 0 可知直线过定点 P 0, 1 ，由图可知，直线与线段相交，直线 l 的斜率 k32 U , ，或斜率不存在，22 U 23,，或m 0，m 0或 0 m2 ，或 m 0 ，21 m ,32故答案为：【点睛】2,13,2本题主要考查直线系方程的应用，考查了直线的斜率计算公式，考查了数形结合的解题思 想方法，属于中档题18【解析】【分析】正四棱锥底面的四个顶点在球的同

23、一个大圆上则棱锥的高等于球的半径由此可由棱锥体积求得球的半径从而得球体积【详解】正四棱锥底面的四个顶点在球的同一个大圆上球心是正方形对角线交点是棱锥解析：323【解析】【分析】正四棱锥 P ABCD底面的四个顶点 A, B,C,D在球 O的同一个大圆上，则棱锥的高等于球的半径，由此可由棱锥体积求得球的半径，从而得球体积【详解】正四棱锥 P ABCD底面的四个顶点 A,B,C,D 在球 O的同一个大圆上，球心 O是正方形 ABCD 对角线交点，PO是棱锥的高，设球半径为SABCD ( 2R)222R2，VP ABCD1 SABCD PO 133R ，则 AB 2R ，16R 3 ，R22R22，

24、2332343 V 球R球332故答案为： 323点睛】 本题考查球的体积，考查正四棱锥与半球的截接问题解题关键是确定球半径与正四棱锥 中的线段长之间的关系19【解析】由正方体的几何性质对 4个命题进行判断对于 A当动点 P与点重合时以等腰三角形与不垂直所以不能得出平面 A 为假命题；对于 B易证所以平 面所以平面平面故 B 为真命题；对于 C在底面上的射影图形的面积为定值 解析： BC【解析】 由正方体的几何性质对 4个命题进行判断，对于 A，当动点 P与点 D1重合时， MNP 以 等腰三角形， PM 与 ND1 不垂直，所以不能得出平面 MB1P ND1，A 为假命题；对于B，易证 ND

25、1 MB1， MB1 A1D1 ，所以 MB1 平面 ND1 A1 ，所以平面 MB1P 平面ND1 A1 ，故 B为真命题；对于 C， MB1P 在底面 ABCD上的射影图形的面积为定值，因为 MB1P 在底面 ABCD的射影是三角形，底边是 MB，点 P 在底面的射影在 CD上，到12MB 的距离不变，若正方体棱长为 a 时，则射影面积为 a2为定值，所以 C为真命题；对4于 D，当 P点与点 C1重合时，则点 B1与点 P的投影重合，此时MB1P 在侧面 D1C1CD上的射影图形是线段，不是三角形，故D是假命题。真命题有 BC.点睛：本题主要考查面面之间的关系以及投影的概念，属于中档题，

26、解决本题的关键是对 正方体中的点线面之间的关系有比较透彻的了解，对其中的空间位置比较熟悉。20【解析】【分析】设的平分线与交于根据角平分线与面积关系求出利用共 线向量坐标关系求出点坐标即可求解【详解】设的角平分线与交于解得所以的 平分线方程为故答案为 :【点睛】本题考查角平分线方程向量共线坐标应用 解析： x y 0【解析】【分析】|CD |DB|利用共线向量坐设 BAC 的平分线与 BC 交于 D ，根据角平分线与面积关系求出 标关系，求出 D 点坐标，即可求解 .【详解】 设 BAC 的角平分线与 BC 交于 D (a, b) ，1SVACD 2|AC| |AD| sin CAD |AC|

27、 2 10 2 |CD| 2SVABD 1 | AB| | AD| sin BAD | AB| 10 | DB|uuur uuur 5 5CD 2DB,(a 1,b 5) 2(2 a, b) ，解得 a ,b ， 3355D( , )，所以 BAC的平分线 AD方程为 x y 0.33本题考查角平分线方程、向量共线坐标，应用角平分线性质是解题的关键，属于中档题三、解答题21 （1）证明见解析；（ 2） 33解析】分析】1）通过面面垂直推证出 OM 平面 BCD ，再由 AB 平面 BCD ，即可得OM / AB ，由线线平行，即可推证线面平行；（2）根据（ 1）中所求，结合 VM ABD VO

28、 ABD VA OBD ，即可求解三棱锥 A OBD 的体 积即为所求 .【详解】（1） CMD 是等腰直角三角形，CMD 90 ，点O为CD 的中点， OM CD平面 CMD 平面 BCD ， 平面 CMD I 平面 BCD CD ， OM 平面 CMD ， OM 平面 BCD AB 平面 BCD ， OM / AB AB ì平面 ABD ， OM 平面 ABD ， OM / 平面 ABD （2）由（）知 OM / 平面 ABD ，点 M 到平面 ABD 的距离等于点 O到平面 ABD 的距离 AB BC 2 ， VBCD 是等边三角形，点 O 为 CD 的中点S BOD1SBCD

29、13BC234322482VM ABDVOABDVAOBD1SAB1323S BOD3 BOD323点睛】本题考查的是空间的直线与平面平行判定定理的运用及点到面的距离的计算问题第一问 的解答时，务必要依据线面平行的判定定理中的条件要求，找出面内的线，面外的线，线 线平行等三个缺一不可的条件；第二问三棱锥的体积的计算时，要运用等积转化法将问题 进行转化，再运用三棱锥的体积公式进行计算22 （ 1）证明见解析（2）存在，理由见解析【解析】【分析】【详解】分析：（ 1）先证 AD CM ,再证 CM MD ，进而完成证明（2）判断出 P 为 AM 中点，证明 MCOP，然后进行证明即可 详解：（ 1

30、）由题设知，平面 CMD 平面 ABCD ，交线为 CD 因为 BCCD，BC 平面 ABCD ，所以 BC平面 CMD，故 BCDM 因为 M为C?D 上异于 C，D的点，且 DC 为直径，所以 DMCM 又 BCCM=C，所以 DM平面 BMC 而 DM 平面 AMD ，故平面 AMD 平面 BMC （2）当 P 为 AM 的中点时， MC 平面 PBD证明如下：连结 AC交BD于O因为 ABCD为矩形，所以 O为AC中点 连结 OP，因为 P为 AM 中点，所以 MCOPMC 平面 PBD，OP 平面 PBD ，所以 MC平面 PBD利用线线垂直得到线面垂直，再得到面面垂直，第二问先断出

31、 P 为 AM 中点，然后作辅助线，由线线平行得到线面平行，考查学生空间想象 能力，属于中档题23 （）见证明；（）见证明【解析】【分析】（）先证明 PO 平面 BCD ，再证明平面 PBD 平面 BCD ；（）先证明 OM / /DC .再证明 OM / / 平面 PCD.【详解】（）因为 AD / /BC ， BC 2AD ，所以 CO 2AO ， 所以 CO 6 ， AO 3.即 PO 3，又因为 PC 3 5 ，根据勾股定理逆定理可得 PO CO .因为 AC BD 于点 O，所以 PO BD. 又因为 BD OC O ，所以 PO 平面 BCD. 又因 PO 平面 PBD ，所以平面

32、 PBD 平面 BCD .BO （）因为 AD / /BC ， BC 2AD ，所以 2 ，DO 又因为 BM 2，因此 BO BM ，所以 OM / /DC .CM DO CM 又因为 OM 平面 PCD ， DC 平面 PCD， 所以 OM / / 平面 PCD.【点睛】 本题主要考查线面平行和面面垂直的证明，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分 析推理能力 .2224 （ 1） x 1 y 1 1；（2） x 2和 3x 4y 6 0.【解析】 【分析】1 设圆 C 的半径为r ，根据圆心坐标写出圆的标准方程，利用点到直线的距离公式求出圆心到直线 l 的距离即为弦心距，然后根据垂径定

33、理得到其垂足为弦的中点，由弦长的一 半，圆心距及半径构成的直角三角形，根据勾股定理列出关于 r 的方程，求出方程的解即 可得到 r 的值，从而确定圆 C 的方程；2 当切线方程的斜率不存在时，显然得到 x 2 为圆的切线；当切线方程的斜率存在时，设出切线的斜率为到直线的距离公式求出圆心到所设直线的距离 径，列出关于 k 的方程，求出方程的解即可得到k ，由 p的坐标和 k 写出切线方程，利用点 d ，根据直线与圆相切，得到 d 等于圆的半 k 的值，从而确定出切线的方程，综上，得到所求圆的两条切线方程 .【详解】x 2 ，此时满足直线与圆相切（1）设圆 C 的标准方程为： x 1 y 1r 2 （ r 0）当切线斜率存在时，设切线：y 3 k x 2，即y kx 2k 3圆心 C 1,1 到直线 xy10 的距离： d1112222 2 2111则 r2 d2222圆 C 的标准方程：x212y 1 12）当切线斜率不存在时，设切线：k 1 2k 3 则圆心 C 1,1 到直线 kx y 2k 3 0 的距离： d 1 k2 13 解得： 4k 3 ，即 k 34 则切线方程为： 3x 4 y 6 0综上，切线方程为：x 2和 3x 4y 6 025 （ 1）证明见解析；【解析】【分析