数理统计公式汇总

1、弟一早P(A+B)=P(A)+P(B)- P(AB)特别地，当 A、B互斥时，P(A+B)=P(A)+P(B)条件概率公式P(A|B*迫P(B)xF(x) = P(X < x)= j-f (t)dt散型随机变量概率的乘法公式对连续型随机变量P(AB)=P(B)P(A|B)=P(A)P(B|A)全概率公式：从原因计算结果nP(A)- P(Bk)P(A|Bk)k 1Bayes公式：从结果找原因P(Bk|A)二P(Bi)P(A|B。n' P(Bk)PfXAx)Bk)二 f(xy)dyk z1RX=k)=dpk(i-p)n"，(k=0n.n)早二项分布(Bernoulli 分布

2、)XB(n,p)”“丁二I泊松分布一一XP(入)1f (x)dx =1P(a <X <b)bP(a 三 X 三 b) = f (x)dxa概率密度函数f (x) =-1- b -a怎样计算概率(a - x - b)f (x) = 1 e* (x 一 0)均匀分布XU(a,b)分布 函数 对离F(xx)引P(X ex);F (x)= f(x)x.f(t)dt函数与密度函数的重要关系:f(x, y) _0,i-.i-f (x, y)dxdy =1二元随机变量及其边缘分布分布规律的描述方法0 M F(x, y) < 1联合密度函数F(x, y) = PX Mx,Y My联合分布函数

3、F(x, y)fY(y) =f(x,y)dx联合密度与边缘密度离散型随机变量的独立性PX =i,Y 刁 =PX =iPY连续型随机变量的独立性f(x, y) = fx(x) fy(y)尺K*弟二早数学期望离散型随机变量，数学期望定义连续型随机变量，数学期望定义E(a)=a，其中a为常数E(a+bX)=a+bE(X)E(X+Y)=E(X)+E(Y)随机变量g(X)的数学期望j-beE(X)= '、xk Pk 二二E(X) = _x f (x)dxa、b为常数Y为任意随机变量E(g(X) g(xk)Pkk指数分布 XExp F(x) =P(X <x) =£ P(X = k)

4、(0 )k*常用公式E(X尸 2 xPjE(X) = xf(x, y)dxdyE(XY)= xyjPjE(X Y) = E(X) E(Y)2E(X)=,D(X)=1 标准正态分布的概率计算 标准正态分布的概率计算公式：,； (a) = 1"(-a)E(XY) = xyf(x,y)dxdy当X与他立时，E(XY) =E(X)E(Y)方差定义式二2.D(X) = .x-E(X)f(x)dx常用计算式D(X) = E(X2) - E(X) I2D(X +Y) =D(X)+D(Y)+2E(X - E(X )(Y -E(Y)常用公式当X、Y相互独立时：D(X Y)=D(X) D(Y)方差的性质

5、D(a)=0,其中a为常数D(a+bX)=b2D(X),其中 a、b 为常数当 X、Y 相互独立时，D(X+Y)=D(X)+D(Y)协方差与相关系数E 双-E(X) Y -E(Y) F - E(XY) - E(X)E(Y)Cov(X,Y) -E(XY) -E(X)E(Y)P XYCo(X,Y). D(X)D(Y)协方差的性质Cov(X,X) = E(X2) - E(X) 2 = D(X)Cov(aX,bY) = abCov(X,Y)Cov(X Y,Z) =Cov(X,Z) Cov(Y,Z)独立与相关独立必定不相关相关必定不独立 不相关不一定独立第四章正态分布X N(,二2),x，)2f (x)

6、e 21,2 二二P(Z 三 a)P(Z - a)=P(Z a) = ： (a)P(Z a) = 1 - - (a)b)" (b)- > (a)P(-a 三 Z < a)(a) - > (-a) = 2> (a) - 1般正态分布的概率计算,2X 口X N(J,二 2)= Z = X N (0,1)cr一般正态分布的概率计算公式a一二P(X Ma)=P(X :二 a) = ->()cra -P(X_a)= P(X a)=1-：，()a,b，a-P(a< X Mb)=山()->()第五章卡方分布t分布nN(0,1),贝卜 Xi2 i 12(n)

7、c1nOc若YN(N,。2),则£ (YiN)/2(n):-i 1c 一 XN (0,1), Y/ (n),则 i / t(n)2(Q), VF分布正态总体条件下样本均值的分布:分布：_ 2(n-1)S:二 27 2(1), 则 U /n1 F(n1，n2)V/n2:二2一) n2(n-1)X - 1-N(0,1)仃/4n样本方差的x - 1Lt(n-1) s/ , n两个正态总体的方差之比S2/S22F，n 112 F (n1 -1, n2 -1)二1 / 0 2两个正态总体方差比的置信区间_2_2S1 /S2_2_2S /S2第六章点估计：参数的估计值为一个常数矩估计最大似然估计

8、似然函数L =二 f （为3）L =二 P（Xi；。）均值的区间估计大样本结果F ./2 (n1 -1, -1)%/2 (n1 一 1,扈 一 1) )第七章假设检验的步骤 根据具体问题提出原假设根据假设选择检验统计量,H0和备择假设H1f算检验统计值看检验统计值是否落在拒绝域，若落在拒绝域则 拒绝原假设，否则就不拒绝原假设。不可避免的两类错误第1类（弃真）错误：原假设为真，但拒绝了原假设第2类（取伪）错误：原假设为假，但接受了原假设单个正态总体的显著性检验x - Z"21nx 样本均值Z：./2L_ 一标准差（通常未知，可用样本标 准差s代替）一样本容量（大样本要求n > 5

9、0）一正态分布的分位点单正态总体均值的检验大样本情形Z检验正态总体小样本、方差已知正态总体小样本、方差未知单正态总体方差的检验正态总体、均值未知 单正态总体均值的显著性检验统计假设的形式Z检验t检验卡方检验H0：.-0H1一小双边检验P -Z ：./2 P(1 -P)H0：0左边检验z?/2一样本比例一 样本容量（大样本要求n > 50） 一正态分布的分位点(3)Ho：。右边检验单正态总体均值的Z检验小样本、正态总体、标准差分已知（大样本情形。未知时用S代替），仃、X-Z：'2 n拒绝域的代数表示小样本、正态总体、标准差。未知双边检验左边检验右边检验2/2Z E -Z：Z-Z：sX -t-/2(n 一 1)一 n比例一一特殊的均值的Z检验tiy2(n 1)自由度为n -1的t分布的分位点P - Po.Po(1 - Po) / np0总体比例p样本比例(n-1)S2 (n-1)S22/21-：./2两个正态总体均值差的置信区间大样本或正态小样本且方差已知,_22(X1 -X2 )