异面直线的夹角-线面角含答案

1、空间角1、异面直线所成角的求法一是几何法，二是向量法。异面直线所成的角的范围：。(0，y几何法求异面直线所成角的思路是：通过平移把空间两异面直线转化为同一平面内的相交直线，进而利用平面几 何知识求解。基本思路是选择合适的点，平移异面直线中的一条或两条成为相交直线，这里的点通常选择特殊位置的 点。常见三种平移方法：直接平移：中位线平移(尤其是图中出现了中点)：补形平移法：“补形法”是立体几何中 一种常见的方法，通过补形，可将问题转化为易于研究的几何体来处理，利用“补形法”找两异面直线所成的角也是 常用的方法之一。例1在正方体 ABCD A BCD中，E是AB的中点,(1)求bA与CC夹角的度数.

2、(2)求BA与CB夹角的度数.(3)求A/E与CB夹角的余弦值.例2:长方体ABCD-A1BCD中，若AB=BC=3 AAi=4,求异面直线 B1D与BC所成角的余弦值。直接平移：常见的利用其中一个直线 a和另一个直线b上的一个已知点，构成一个平面，在此平面内做直线a的平行线。解法一：如图，过 B点作BE/ BC交CB的延长线于E点。贝U/ DBE就是异面直线 DB与BC所成角，连结 DE交AB于M, DE=2DM=35 ,cos/dbeW170A.Di图解法二：如图，在平面 DDBB中过B点作BE/ DB交DB的延长线于E,则/ CBE就是异面直线 DB与BC所成的 角，连结GE,在 B1C

3、1E中，/GBE=135 , GE=3/5,COS Z GBE=7 - 34170课堂思考：1.如图，PA 矩形ABCD已知PA=AB=8 BC=1O,求AD与PC所成角的余切值为。2.在长方体 ABCD- ABCD中，若棱 B Bi=BC=1 AB4r3 ,求D B和AC所成角的余弦值例3 如图所示，长方体 ABCD-ABCDK / ABA=45，/AAD=60 ,求异面直线 AB与AD所成的角的度数.例3题图课堂练习如图空间四边形(1) 求直线(2) 求直线DA及对角线 AC BD均相等，E为AD的中点，F为BC中,ABCD43,四条棱 AB, BC, CDAB和CE所成的角的余弦值。AF

4、和CE所成的角的余弦值。二、线面角1、线面角的范围: 2、线面角的求法1）解决该类问题的关键是找出斜线在平面上的射影，然后将直线与平面所成的角转化为直线与直线所成的角.在某一d,利用 sin a = ABpT求.直角三角形内求解.2）线面角的求法还可以不用做出平面角.可求出线上某点到平面的距离直接法：平面的斜线与斜线在平面内的射影所成的角即为直线与平面所成的角。通常是解由斜线段，垂线段，斜线在 平面内的射影所组成的直角三角形，垂线段是其中最重要的元素，它可以起到联系各线段的作用。例1 （如图1 ）四面体 ABCS中,SA,SB,SC两两垂直，/ SBA=45 ,/ SBC=60 , M 为AB

5、的中点，求（1） BC与平面SAB所成的角。（2） SC与平面ABC所成的角。解：（1）. SCL SB,SC SA,SC!平面SAB故SB是斜线BC在平面SAB上的射影，丁./SBC是直线BC与平面SAB所成的角为60。（2） 连结 SM,CM 则 SML AB,又 ; SC AB,，ABL平面 SCM, 面 ABCL面 SCM过S作SHL CMT H, 则SHL平面ABC .CH即为SC在面ABC内的射影。/ SCH为SCI平面ABCf成的角。sin Z SCH=S SC SC与平面ABC所成的角的正弦值为，7/7（“垂线”是相对的，SC是面SAB的垂线，又是面 ABC的斜线.作面的垂线常

6、根据面面垂直的性质定理，其思路是: 先找出与已知平面垂直的平面，然后一面内找出或作出交线的垂线，则得面的垂线。）2.利用公式sin 0 =h/ c其中。是斜线与平面所成的角，h是 垂线段的长，i是斜线段的长，其中求出垂线段的长（即斜线上的点到面的距离）既是关键又是难点，为此可用三棱锥的体积自等来求垂线段的长。例 2 （如图 2）长方体 ABCD-AB1C1D , AB=3 ,BC=2, A 1A= 4 ,求 AB与面 AB1GD 所成的角。解：设点B到ABCD的距离为h,VB-AB1CVA-BB1C1. 1 / 3 S AB1C1 , h= 1/3 S BB1C1 AB,易得 h=12/5设A

7、B与 面A B 1GD所成的角为0 ,则sin 0 =h/AB=475AB与面ABCD所成的角为 arcsin 4 /5例3、如图甲，在平面四边形 ABC珅/A= 45 , / C= 90 , Z ADC= 105 , AB= BD再将四边形 ABC弟B所起, 使平面ABDL平面BDC如图乙），设点E、F分别为棱 AC AD的中点.(1)求证：DCL平面ABC(2)求BF与平面ABC所成角的正弦值.证明：在图甲中，= AB= BD且/A= 45 ,，/ADB= 45 .，/ABD= 90 ,即 ABI BD在图乙中，平面 ABDL平面BDC且平面 ABCT平面BDC= BD. ABL平面 BD

8、C. - ABL CD又/ DCB= 90 ,DCL BC 且 ABH BC= B.DCL平面 ABC2) E F分别为 AC AD的中点，EF/ CD又由知DCL平面ABCEF,平面ABC垂足为点E./ FBE BF与平面ABO成的角.在图甲中，. / ADC= 105 ,BDC= 60 , / DBC= 30 .12a工石=4.二4 .设 CD= a,贝U BD= 2a, BC=小a, BF=g, EF= Cdga.EF即BF与平面ABO成角的正弦值为 .在 RtZxFEB中，sin / FBE= BF练习3在三柱 ABC- A1B1C1中，各棱长） 答案：C相等，侧棱垂直于底面，点D是侧

9、面BBIC1C的中心，则 AD与平面BB1CIC所成角的大小是（B. 45D. 90A. 30C. 60AB/ CD BCL CD 侧面 SAB为等练习4（2011 全国卷）如图，四棱锥 S- ABCDK 边三角形，AB= BC= 2, CD= SD= 1.SB4证明：SDL平面SAB（2）求AB与平面SBC/f成的角的正弦值解：（1）证明：取AB的中点E,连接DE则四边形BCD由矩形，DE= CB= 2.连接 SE 则 SEL AB, SE= 3.又SD= 1,故eD= sU+sD,所以/ DS劭直角，即 SDL SE由 ABL DE ABL SE, DEH SE= E,彳# ABL平面 S

10、DE所以ABL SDSDW两条相交直线AB SE都垂直，所以SDL平面SAB(2)由ABL平面SD改口，平面ABCD_平面SDESDX SE 3 作SF! DE垂足为F,贝U SFL平面 ABCD SF= DE =彳.作FGL BC垂足为 G,则FG= DC= 1.连接SG则SGL BC又 BCL FG S田 FG= G,故BC1平面SFG平面SBCL平面SFG作FHL SG H为垂足，则FH，平面SBC2171FH= S?=坐,即F到平面SBC勺距离为SG 7由于ED BC,所以ED/平面SBC E到平面SBC勺距离d也为邛.设A*平面SBO成的角为a ,则sin a课后作业、如图，在四棱锥

11、 P ABC珅，PAL底面ABCD ABL AD ACL CD/ABC= 60 , PA= AB= BC E 是 PC的中点. 求PB和平面PA所成的角的大小；(2)证明AEL平面PCD(3)求二面角 A- PD- C的正弦值.思维启迪：(1)先找出PB和平面PAD所成的角，线面角的定义要能灵活运用；(2)可以利用线面垂直根据二面角的定义作角.解在四麴t P-ABCD,因PAL底面 ABCD AB?平面ABCD故 PAL AB 又 ABI AD PAH AD= A,从而AB!平面PAD故PB在平面PACrt的射影为PA,从而/ AP明PB和平面PA所成的角.在 RtPAB, AB= PA 故/

12、 APB= 45 .所以PB和平面PA所成的角的大小为 45。.(2)证明在四麴t P- ABCDK因PAL底面ABCD CD?平面ABCD故 CDL PA 由条件 CDL AC PAH AC= A,. CDL平面 PAC又 AE?平面 PAC . . AE! CD由 PA= AB= BC /ABC= 60 ,可得 AC= PA.E是 PC的中点,AE PC又PS CD= C,综上得 AE!平面PCD解 过点E作EML PD垂足为 M 连接AM如图所示.由(2)知，AEL平面PCD AM&平面 PC讷的射影是 EM则 AML PD因此/ AME!二面角 A- PD-C的平面角.由已知，可得/

13、CAD= 30 .设AC= a,可得2321,2PA= a, AD= -3a, PD=毛-a, AE= a.在 RtAADP, , AML PDAM PD= PA- AD 则 AM=PA- ADPD =27a.-ra,_ , ，一 AE 1414在Rf AEW, sin / AME=加号.所以二面角A- PD-C的正弦值为V探究提高 （1）求直线与平面所成的角的一般步骤：找直线与平面所成的角，即通过找直线在平面上的射影来完成；计算，要把直线与平面所成的角转化到一个三角形中求解.（2）作二面角的平面角可以通过垂线法进行，在一个半平面内找一点作另一个半平面的垂线，再过垂足作二面角的 棱的垂线，两条垂线确定的平面和二面