双曲线标准方程典型例题

1、学习必备欢迎下载（一）双曲线的标准方程典型例题 22例1讨论 _x_ +_y_ =1表示何种圆锥曲线，它们有何共同特征.25-k 9 -k分析：由于k=9, k。25,则k的取值范围为k <9, 9<k<25, k <25,分别进行讨论.解：（1）当 k <9 时，25k >0, 9k > 0,所给方程表示椭圆，此时 aAB - AC =1 >0 , . . x>- ,点A的轨迹是双曲线的一支上挖去了顶点的部分 =25_k , b2 =9_k , c2 = a2 b2 = 16, 这些椭圆有共同的焦点（4, 0）, （4, 0）.（2）当

2、9<k<25 时，25 k>0, 9k<0,所给方程表示双曲线，此时，a2 = 25 k, b2=9 k,222c =a +b =16,这些双曲线也有共同的焦点（4, 0）,）（4, 0）.（3）k>25, k=9, k =25时，所给方程没有轨迹.22 一x y _ _. _ _ 一例2已知双曲线 工=1的右焦点分别为 F1、F2，点P在双曲线上的左支上且PF1 PF2 = 32 ,求/F1PF2.916122,22解：点P 在双曲线的左支上，PF1-PF2=6,PF1|+|PF2 -2PF1|PF2|=36,PF +| PF2=100F1F2 2 =4c2 =

3、4(a2 +b12 )=100, /F1PF2 =90：2例3已知F1、52是双曲线 士y2 =1的两个焦点，点 P在双曲线上且满足 /F1PF2=90 :求AF1PF2的面积. 42解：P 为双曲线 亍y2 =1 上的一个点且 F1、F2 为焦点.|PF1 PF2| =2a = 4, F1F2 =2c=2，5 /F1PF2 =90.在 RtAPF1F2 中，PF12PF2 = F1F22=20上 I I,2221,(PF1 PF2P =|PF1 +|PF2 -2PF1|PF2 =16, 20-2PF1|PF2 =16, . PF1PF2=2-1 / S 占1PF2 =2PF1 PF2 =11

4、 . 例 4 在 AABC 中，BC = 2,且 sin C -sin B = - sin A ,求点 A 的轨迹.2解：以BC所在直线为x轴，线段BC的中垂线为y轴建立平面直角坐标系，则B（1,0）, C（1,0）.-1 -AB AC =- BC =121. A设A(x, y ),由sin C -sin B = sin A及正弦定理可得: 222 BC =2,.点A在以B、C为焦点的双曲线右支上设双曲线方程为:2 - 2- = 1 a 0, b 022 4y ，所求双曲线方程为 4x -q =13a b：2a=1, 2c =2, a = , c=1, b2 =c2-a2学习必备欢迎下载3 /

5、MPN =90，tanNPMN =，求以 M、N 为焦点, 45.在周长为48的直角三角形 MPN中,解:.设以MN所在直线为x轴，以3AMPN 的周长为 48,且 tan/PMN =,4PN =3k ,PM =4k,则 MN =5k .由 3k+4k +5k =48,得 k = 4. PN =12, PM =16, MN =20MN的中点为原点建立直角坐标系,设所求双曲线方程为22x y- + -=1(a>0,b>0).由a2 b2PM - PN = 4 ,得 2a = 4, a = 2 , a2 = 4.由 MN =20,得 2c = 20, c = 10.由 b222二 c

6、-a= 96,得所求双曲线方程为22J-.496例6求下列动圆圆心 M的轨迹方程:(1)与O C:(x +2 2 +y2 =2 内切,且过点A2,0(2)与。C1： x2 十(y -1 2 =1 和。C2: x2=4都外切.22.C2：(x 3) +y =1 内切.(3)与。C1:(x +3 x所求双曲线方程为：一 + y2 =9 外切,解：设动圆M的半径为r (1) ©C1与。M内切，点A在O C外 MC=r-J2, MA=r , MA - MC =42, 点M的轨迹是以C、A为焦点的双曲线的左支，且有:a=± c=2, b2=c2a22.双曲线方程为2x2 2y2(2)

7、 © M 与。C1、O C2都外切，MC1= r+1, MC2MC2 - MC/ =1.点M的轨迹是以C2、G为焦点的双曲线的上支，且有:1 a- -2,222b = c -a所求的双曲线的方程为：4y24x2O) © M与。C1外切，且与。C2内切， MC1=r +3,mc2MC1 MC2.222b = c - a =5y = 1 x - 2.点M的轨迹是以C1、C2为焦点的双曲线的右支，且有:学习必备欢迎下载例7 P是双曲线2二1上一点,64 36F1、52是双曲线的两个焦点，且 PF1 =17,求PF2的值.22解：在双曲线、_2_=1中，a=8, b=6,故c =

8、10.由P是双曲线上一点，得|PF1 PF2 =16.64 361PF2 =1 或 PF2=33,又 PF2 >c-a = 2,得 PF? =33.说明：本题容易忽视PF2 c-a这一条件，而得出错误的结论PF2 =1 或 PF2 =33.2222x y ,x v_例8 若椭圆 一 +L =1 （m 门0）和双曲线 匚=1 （s,t a0）有相同的焦点 F1和F2,而P是这两条曲线的 m nst一个交点，则 PF1 PF2的值是（）C.22m -s1A.ms B.(ms)2解：因为P在椭圆上，所以 PF1| +|PF2| =2jm .又P在双曲线上，所以 |PF1 -PF2I =2.两式

9、平方相减，得4PF1 PF2 =4(m-s),故 PF1例9. A、B、C是我方三个炮兵阵地，A和B正东6千米，C在B正北偏西30。，相距4千米，P为敌炮阵地,某时刻A处发现敌炮阵地的某种信号，由于 B、C两地比A距P地远，因此4s后，B、C才同时发现这一信号，此信号的传播速度为 ikm（，A若炮击P地，求炮击的方位角.分析：点P到B、C距离相等，因此点 P在线段BC的垂直平分线上.又 |PB-PA=4, 因此P在以B、A为焦点的双曲线的右支上.由交轨法可求P的坐标，进而求炮击的方位角.B(-3,0)、A(3, 0)、C(-5,273).解：如图，以直线 BA为x轴，线段BA的中垂线为y轴建立坐标系，则因为PB = PC ,所以点P在线段BC的垂直平分线上.因为 kBC=J3, BC 中点 D(Y, J3),