2020年内蒙古包头市高考数学二模试卷(文科)(有答案解析)

1、2020 年内蒙古包头市高考数学二模试卷（文科）题号一二三总分得分一、选择题（本大题共 12小题，共 60.0 分）1. 已知集合是 A=x|x2+x=0，xR，B=-1 ，0，1，则 AB=（）A. 0 ， -1B. 0，1C. -1 ， 1D. 0，-1，-12. 已知 i 是虚数单位，则复数 等于（ ）A. 1B. -1C. iD. -i3. “sin =”是“ =”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4. 定义运算,则函数的大致图象是 （ ）B.5.? = (）A. 1 B. -1 C. -2 D. 2 6. 如果执行如图的框图，输入

2、 N=6 ，则输出的数等于（ ）7.8.9.10.11.A.B.已知双曲线（ a 0，A. 30B. 45 已知函数 f（ x） =（）A. -1 ，0）已知等比数列A.C.b 0）的离心率为 2，则经过第一象限的渐近线的倾斜角为（ ），g（x）B. (-， 1 an的各项都为正数，则B.C. 60 D.120=f（ x） +x-b若 g（ x）存在2 个零点，则 b 的取值范围是C. -1， )a3，C.D.0，1a5，a4 成等差数列，则的值是（ ）若三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（A.B.C.D.D.8040九章算术是我国古代的数学名著，书中有如下问题：三人等问各得几何”其意

3、思为“已知甲、乙、丙、“今有五人分五钱，令上二人所得与丁、戊五人分 5 钱，甲、乙两人所得问五人各得多少钱？与丙、 丁、戊三人所得相同， 且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列“钱”是古代的一种重量单位）这个问题中，甲所得为（ ）A. 钱 B. 钱12. 将边长为 2的正方形 AA1O1O（及其内部）绕 OO1旋转一周形成圆柱，点 B、C分别是圆 O 和圆O 1上的点， 长为 ， 长为 ，且 B与 C在平面 AA1O1O的同侧，则 A1O1与 BC所成角的大小为、填空题（本大题共4 小题，共 20.0 分）13.向平面区域 （x，y）|0x1，0y 1内 随机投入一点，则该点落在曲线y= 下方

4、的概率为14. 设 x， y满足约束条件，则，则 z=2x+3y 的取值范围 15. 已知 f（ x） =2cos2，则 x 的最大值为 16. 已知 F1，F2椭圆 E的左右焦点，点 M在 E上（不与顶点重合）， MF 1F2为等腰直角三角形， 则 E 的离心率为 三、解答题（本大题共 7 小题，共 82.0分）17. 在ABC 中，内角 A， B，C的对边分别为 a， b， c，已知 b+2cosA=0 （ 1）若 b=c=1，求 a 和 SABC；（2）求 cosB 的最小值18. 某农场为了提高某品种水稻的产量，进行良种优选，在同一试验田中分两块种植了甲、乙两种 水稻为了比较甲、乙两种

5、水稻的产量，现从甲、乙两种水稻中各随机选取20 株成熟水稻根据每株水稻颗粒的重量（单位：克）绘制了如下茎叶图：（ 1）根据茎叶图判断哪种水稻的产量更高？并说明理由；（ 2）求 40 株水稻颗粒重量的中位数 m，并将重量超过 m 和不超过 m 的水稻株数填入下列的列 联表：超过 m不超过 m甲种水稻乙种水稻（ 3）根据（ 2）中的列联表，能否有 99%的把握认为两种水稻的产量有差异？ 附： K2=；P（K2K）0.0500.0100.001k3.8416.63510.82819. 如图，在四棱锥 P-ABCD 中，已知 PC底面 ABCD ， ABAD ，ABCD，AB=2，AD=CD=1，E

6、是 PB 的中点（ 1）求证：平面 EAC 平面 PBC；2）若 E是 PB的中点，且二面角 P-AC-E的余弦值是 ，求直线 PA与平面 EAC所成角的正弦值20. 设 F为抛物线 C： y2=2px的焦点， A是C上一点， FA的延长线交 y轴于点 B，A为 FB的中点， 且|FB|=3（ 1）求抛物线 C 的方程；（2）过 F作两条互相垂直的直线 l1，l2，直线 l1与C交干 M、N两点，直线 l2与C交于 D，E 两点，求四边形 MDNE 面积的最小值21. e是自然对数的底数， a 0，已知函数 f（x） x+ ，xR（ 1）若函数 f（ x）有零点，求实数 a 的取值范围；（2）

7、对于 g（ x） ex，证明：当 a时， f（x）x轴22. 在直角坐标系 xOy中，直线 l 的参数方程为（t 为参数）在以坐标原点为极点，正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C：=2 cos（ - ）求直线 l的普通方程和曲线 C 的直角坐标方程； ）求曲线 C上的点到直线 l 的距离的最大值23. 设函数 f（ x）=|x+1|-2|x-1|（ 1）画出 y=f（ x）的图象；（2）当 x（ -， 0时， f（x）ax+b，求 a-b的最大值第6页，共17页答案与解析1. 答案： A 解析： 解： A=-1 ， 0 ， B=-1 ， 0， 1 ，AB=-1 ，0 故选： A可以求出集合 A，然

8、后进行交集的运算即可 考查描述法、列举法的定义，以及交集的定义2. 答案： C 解析： 解： 故选： C 直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案 本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础的计算题3. 答案： B 解析： 【分析】 本题考查了充分必要条件，考查了三角函数问题，是一道基础题 根据充分必要条件的定义结合三角函数从而得到答案【解答】 解：sin =推不出 =，不是充分条件， =推出 sin =，是必要条件， 故选 B4. 答案： A解析： 解：根据题意得， f（x） =且函数 f（x）为奇函数，排除 B、D；f（0）=0；当 0 x 0?，令 f（ x） 0? 0 x 0，2a5=a3

9、+a4，则 a3q2=a3+a3q，化简得， q2-q-1=0 ，解得 q=，则 q=故选： A设等比数列 an 的公比为 q，且 q0，由题意和等差中项的性质列出方程，由等比数列的通项公式 化简后求出 q，由等比数列的通项公式化简所求的式子，化简后即可求值本题考查等比数列的通项公式，以及等差中项的性质的应用，属于基础题10.答案： D2+3、 4，解析： 解：根据三视图可知几何体是一个三棱锥， 由俯视图和侧视图知，底面是一个直角三角形，两条直角边分别是 由正视图知，三棱锥的高是 4， 该几何体的体积 V= = ，故选： D 由三视图知该几何体是一个三棱锥，由三视图求出几何元素的长度，由锥体的

10、体积公式求出几何体 的体积本题考查三视图求几何体的体积以，由三视图正确复原几何体是解题的关键，考查空间想象能力 11.答案： B解析： 【分析】 本题考查等差数列的应用，是基础题依题意设甲、乙、丙、丁、戊所得钱分别为a-2d，a-d， a，a+d， a+2d，由题意求得 a=-6 d，结合 a-2d+a-d+a+a+d+a+2d=5a=5，求得 a=1 ，则答案可求 【解答】解：依题意设甲、乙、丙、丁、戊所得钱分别为a-2d，a-d， a，a+d，a+2d，则由题意可知， a-2d+a-d=a+a+d+a+2d，即 a=-6 d，又 a-2d+a-d+a+a+d+a+2d=5a=5，a=1，则

11、 a-2d=a-2 = .故选 B12.答案： C解析： 解：由弧长公式可知： A1O1C= ，AOB= ， 在底面圆周上去点 D 且AOD= ，则 CD面 AOD ，连接 CD， BC，BD，则 BD A1O1即CBD 为异面直线 A1O1与 BC 所成角，又 DB=2， DC=2，所以 CBD= ，故选： C由弧长公式可得： A1O1C= ，AOB= ， 由异面直线所成角的作法可得： CBD 为异面直线 A1O1 与 BC 所成角，再求解即可 本题考查了弧长公式及异面直线所成角的作法，属中档题13.答案：x0，y0）如图，解析： 解：作出平面区域 （x，y）|0 x1，0y1及曲线 y=向

12、平面区域 （ x，y）|0 x1，0y 1内 随机投入一点， 则该点落在曲线 y= 下方的概率为 P= 故答案为：由题意画出图形，分别求出正方形及阴影部分的面积，再由测度比是面积比得答案 本题可惜几何概型概率的求法，考查数形结合的解题思想方法，是中档题 14.答案： 2， 8解析： 【分析】 本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法 作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z 的取值范围【解答】解：作出 x，y 满足约束条件，则 对应的平面区域（阴影部分），由 z=2x+3y，得 y=- x+ ，由得 A（ 1，2） ,平移直线 y=- x+ ，

13、由图象可知当直线 y=- x+ 经过点 A（ 1， 2）时，直线 y=- x+ 的截距最大，此时 z 最大此时 z 的最大值为 z=21+32=8，由图象可知当直线 y=- x+ 经过点 B（1， 0）时，直线 y=- x+ 的截距最小，此时 z最小 此时 z 的最小值为 z=21+30=2，2z 8.故答案为： 2， 815.答案：解析： 解： f（ x） =2cos2= cosx+ sinx+=sin （ x+ ）+，当且仅当 sin（ x+ ）=1 时函数取得最大值故答案为：利用二倍角的三角函数以及同角三角函数基本关系式化简函数的解析式，然后通过三角函数的有界 性求解函数的最大值本题考查

14、两角和与差的三角函数二倍角公式的应用，三角函数的最值的求法，是基本知识的考查16. 答案： -1 解析：解：F1，F2椭圆 E的左右焦点，点 M在 E上（不与顶点重合）， MF 1F2为等腰直角三角形， 可得 2c= ，所以 2ac=a2-c2，可得 e2-2e-1=0， e（ 0， 1），解得 e=故答案为： 利用已知条件求出 a，c 的关系，然后求解离心率 本题考查椭圆的简单性质的应用，是基本知识的考查17. 答案： 解：（ 1）因为 b=c=1，代入 b+2c?cos A=0，得 cos A= ，得，所以 n=所以 A=120，C=B=30（2 分）6 分）4 分）SABC= acsin

15、B=（2）把余弦定理代入 b+2c?cosA=0，得 b+2c? =（10 分）当且仅当 a2=3c2，即时， cosB 取最小值 （12 分） 解析： （1）利用已知条件求出 A 的余弦函数值，然后求解 A 的值，然后求解三角形的面积 （2）通过余弦定理结合三角形的面积转化求解即可本题考查三角形的解法，余弦定理的应用，三角形的面积以及基本不等式的应用，是中档题18. 答案： 解：（ 1）甲种水稻的产量更高，理由如下： 由茎叶图可知，甲中水稻每株颗粒重量中，有75%的每株重量至少 80 克，乙种水稻每株颗粒重量中，有 75%的每株颗粒至多 79 克，因此，甲种水稻的产量更高； 由茎叶图可知：甲

16、种水稻每株顆粒重量的中位数为85.5 克，乙种水稻每株颗粒重量的 中位数为 73.5 克，因此甲种水稻的产量更高； 由茎叶图可知：甲种水稻每株颗粒重量的平均数髙于 80 克， 乙种水稻每株颗粒重量的 平均数低于 80 克，因此甲种水稻的产量更高； 由茎叶图可知，甲种水稻每株颗粒重量分布在茎 8上的最多，关于茎 8 大致呈对称分布； 乙种水稻每株颗粒重量分布在茎7上的最多，关于茎 7 大致呈对称分布；又两种水稻每株颗粒重量分布的区间相同，故可以认为甲种水稻的产量更高（注：以上给出了 4种理由，考生答出其中一种或其他合理理由均可得2 分）2）由茎叶图可知： m= ，列表如下；超过 1 m不超过 m

17、甲种水稻155乙种水稻515（ 3）由表中数据，计算 k2=10 6.635，所有 99%的把握认为两种水稻的产量有差异解析： （1）甲种水稻的产量更高，可以从两种水稻每株颗粒重量中所含重量达80 克以上多少，或两种水稻每株顆粒重量的中位数，或两种水稻每株颗粒重量的平均数，或两种水稻每株颗 粒重量的多少；（以上给出了 4 种理由，只需答出其中一种或其他合理理由均可） （2）由茎叶图填写列表即可；（ 3）由表中数据计算 k2，对照临界值得出结论 本题考查了列联表与独立性检验的应用问题，是基础题19. 答案：解：（ 1）PC平面 ABCD，AC?平面 ABCD ，得 ACPC又 AD=CD=1 在

18、 RtADC，得，设 AB 中点为 G，连接 CG则四边形 ADCG 为边长为 1 的正方形，所以 CGAB，且 BC= ，因为 AC2+BC2=AB2，所以 AC BC，又因为 BCPC=C，所以 AC平面 PBC，又 AC? 平面 EAC 所以平面 EAC平面 PBC在直角三角形PCB 中，PB=，CE= PB= ，（2）因为 PC平面 ABCD，所以 PC就是四棱锥 P-ABCD 的高，设 PC=a， 因为 ABCD ，ABCD，所以四棱锥 P-ABCD 的底面 ABCD 是直角梯形 因为 VP-ABCD= SACBPC = （CD +AB）ADPC= =1，所以得 a=2因为 PC平面

19、 ABCD ，又 PC? 平面 PCB，所以平面 PBC平面 ABCD 在平面 PBC内过点 E作 BC的垂线 EF，交 BC于点 D则 EF平面 ABCD ，且 EF= PC =1，在四面体 E-ABC 中，设 B 到平面 EAC 的距离为 h，则VE-ABC=VB-EAC ，即 SEAC?h=SABC?EF，所以有 AC?CE?h=AC?CB?EF ， 得 h= = ，所以点 B 到平面 EAC 的距离为 所以 P到平面 EAC 的距离为 得，PC =2， PA= ，直线 PA与平面 EAC 所成角的正弦值为：解析：（ 1）证明 ACPC设 AB 中点为 G，连接 CG推出 CGAB ，A

20、CBC，得到 AC平面 PBC，然后证明平面 EAC 平面 PBC2）PC 就是四棱锥 P-ABCD 的高，设 PC=a，利用 VP-ABCD = SACBPC，得 a=2说明平面 PBC平面 ABCD 通过 VE-ABC=VB-EAC，求解点 B到平面 EAC 的距离得到 P到平面的距离，然后求解直线 与平面所成角的正弦函数值本题考查直线与平面垂直的判断定理以及性质定理的应用，几何体的体积的求法，考查空间想象以 及计算能力20.答案： 解：（ 1）如图， A为 FB 的中点， OF= ,A到 y轴的 距离为 ，|AF|=，解得 p=2抛物线 C 的方程为 y2=4x；（2）由已知直线 l1

21、的斜率存在且不为 0，设其方程为 y=k（x-1） 2 2 2 2由 ，得 k2x2-（ 2k2+4）x+k2=0 0，设 M（x1，y1）、 N（x2，y2），则 |MN|=x1+x2+2=4（ 1+ ）；同理设 D（ x3， y3）、 E（x4， y4），则 |DE|=x3+x4+2=4（ 1+ k2 ）四边形 MDNE 的面积 S= |MN|?|DE|=8（2+k2+ ） 32 当且仅当 k=1时，四边形 BCDE 的面积取得最小值 32解析： 本题考查了抛物线的标准方程及其性质、直线与抛物线相交弦长问题、一元二次方程的根与 系数的关系、基本不等式的性质、三角形面积计算公式，考查了推理能

22、力与计算能力，属于中档题 （1）由题意画出图形，结合已知条件列式求得p，则抛物线 C 的方程可求；（2）由已知直线 l1 的斜率存在且不为 0，设其方程为 y=k（x-1），与抛物线方程联立，求出 |MN|， |DE|，可得四边形 MDNE 的面积，利用基本不等式求最值21. 答案： 解：（ 1）由函数 f（ x）有零点知，方程 f（x）=0 有实数解，因为 a=- xex 0，所以x0，函数 g（ x）在（ -， -1）故函数 g（x）在 x=1 时，取得最大值 g（-1） =-（-1） = ，又 x（-，0）上， g（x）=-xex0，所以函数 g（ x）=-xex在 x（ -， 0）上的

23、值域为（ 0， 从而函数 f（ x） =x+ 有零点时，实数 a 的取值范围为（ 0， 又在 x（ -， 0）上， g（ x） =- ex 0，所以函数 g（x）=-xex在 x（ -， 0）上的值域为（ 0， ， 从而函数 f（ x） =x+ 有零点时，实数 a 的取值范围为（ 0， （ 2）可以转化为证明两个不等式 ?0，g（x+1）当 x（-，-1）时， F（ x）0，函数 F（x）在（-1，0）上单调递增故函数 F（x）在 x=-1时，取得最小值 F（-1）=（-1） +a- =a- 0，所以 F（x）F（ -1） 0得证 x+G（x）ex-x-1，有 G（ x）=ex-1，当 x0时

24、， G（ x）0时，函数 G（ x） 0，G（ x）在（ 0，+）上单调递增故函数 G（x）在 x=0 时，取得最 小值 G（0）=e0-0-1=0 所以 G（x）G（ 0）=0，得 x+1ex（仅当 x=0 时取等号）又由 g（ x）=ex 为增函数，得0g（x+1）g（ ex）合并得证 f（ x） 解析： （1）函数 f（ x）有零点等价于对应方程有实数解，进而分离参数，并通过构造函数g（ x）=-xex，结合求导，利用函数的单调性来确定其最值，从而得以确定参数a 的范围；（2）通过所要证明的不等式的等价转化，转化为两个不等式问题，通过分类讨论分别加以证明，构 造函数并求导，结合函数的单调性与最值来证明与转化本题考查导数及其应用，导数的单调性、极值与最值，不等式的证明，考查推理论证能力函数与方 程思想，化归与转化思想，难度较大22. 答案： 解：（ ） 由直线 l 的参数方程消去 t 参数，得 x+y-4=0，直线 l 的普通方程为 x+y-4=0 由= 得 2=2 cos +2sin 将 2=x