2020年全国初中数学知识竞赛试题及答案(精华版)

1、2020年全国初中数学知识竞赛试题及答案(精华版)一、选择题(共 5小题，每小题 6 分，满分 30 分. 以下每道小题均给 出了英文代号的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的 . 请将正 确结论的代号填入题后的括号里 . 不填、多填或错填，得零分)5x2 2y2 z21若 4x3y6z=0， x+2y7z=0(xyz0)，则 5x2 2y2 z 2 的值等于 2x 3y 10z( ).(A) 1 (B) 19 (C) 15 (D) 1322 2在本埠投寄平信，每封信质量不超过 20g 时付邮费 0.80 元，超过 20g 而不超过 40g时付邮费 1.60 元，依次类推，每增加 20g 需

2、增加邮 费 0. 80 元(信的质量在 100g 以内)。如果所寄一封信的质量为 72. 5g，那么应付邮费 ( ).(A) 2. 4 元 (B) 2.8 元 (C) 3 元(D) 3. 2 元3如下图所示，A+B+C+D+E+F+G=(A)360(B) 450°(C) 540°(D) 720°F第1页4四条线段的长分别为 9，5，x，1(其中 x 为正实数)，用它们拼成 两个直角三角形，且 AB 与 CD 是其中的两条线段(如上图) ，则 x 可 取值的个数为() .(A)2 个 (B)3 个 (C)4 个(D) 6 个5某校初三两个毕业班的学生和教师共 100

3、 人一起在台阶上拍毕业照 留念，摄影师要将其排列成前多后少的梯形队阵(排数 3)，且要求 各行的人数必须是连续的自然数，这样才能使后一排的人均站在前一 排两人间的空挡处，那么，满足上述要求的排法的方案有 ( ).(A)1 种 (B)2 种 (C)4 种(D) 0 种二、填空题(共 5小题，每小题 6 分，满分 30 分)6已知 x 1 3，那么 x1211x2 4 x 27若实数 x，y，z 满足 x 1 4 ， yy 1 1， z 1 7 ，则 xyz 的值 z x 3第14页8观察下列图形：根据图、的规律，图中三角形的个数为 9如图所示，已知电线杆 AB 直立于地 面上，它的影子恰好照在土

4、坡的坡面 CD 和地面 BC上，如果 CD 与地面成 45o，A=60o CD=4m，BC= 4 6 2 2 m，则电线杆 A（B第的9 题长图）为 m.10已知二次函数 y ax2 bx c（其中 a 是正整数）的图象经 过点 A （ 1，4）与点 B（2，1），并且与 x 轴有两个不同的交点，则 b+c 的 最大值为 .三、解答题（共 4 题，每小题 15分，满分 60分）11如图所示，已知 AB 是 O的直径， BC 是O 的切线， OC 平行于 弦 AD，过点 D作 DEAB 于点 E，A（第 11题图 ）6C1714131012O15115718G912某人租用一辆汽车由 A 城前

5、往 B 城，沿途可能经过的城市以 及通过两城市之间所需的时间 （单位：小时）如图所示 . 若汽 车行驶的平均速度为 80 千米/ 小 时，而汽车每行驶 1 千米需要的 平均费用为 1.2 元. 试指出此人 从 A 城出发到 B 城的最短路线 （要有推理过程），并求出所需费用最少 为多少元？解：（第 12 题图 ）13B如图所示，在 ABC 中， ACB=90°（1）当点 D 在斜边 AB 内部时，求证：CD 2 BD 2 AD BD .2BC2 AB（ 2）当点 D 与点 A 重合时，第（ 1）小题中的等式是否存在？请说 明理由.（3）当点 D 在 BA 的延长线上时， 第（1）小题

6、中的等式是否存在？ 请说明理由 . C（第 13 B 题图 ）14B已知实数 a，b，c 满足： a+b+c=2，abc=4.（1）求 a，b，c 中的最大者的最小值；（ 2）求 a b c 的最小值 .注： 13B和 14B相对于下面的 13A和 14A是较容易的题 . 13B和 14B与 前面的 12 个题组成考试卷 . 后面两页 13A 和 14A两题可留作考试后的 研究题。的长不是合数，求 PA2 PB值.解：13A如图所示， O 的直径的长是关于 x 的二次方程 x2 2(k 2)x k 0 (k是整数)的最大整数根 . P 是O外一点，过点 P 作 O的切线 PA 和割线 PBC，

7、其中 A 为切点，点 B，C 是直线 PBC 与O 的交点 . 若 PA，PB，PC 的长都是正整数，且 PB（第 13A 题图 ）14A沿着圆周放着一些数，如果有依次相连的 4 个数 a， b，c，d 满 足不等式 (a d)(b c ) >0，那么就可以交换 b，c 的位置，这称为一次操 作.( 1)若圆周上依次放着数 1，2，3，4， 5，6，问：是否能经过有限 次操作后，对圆周上任意依次相连的 4 个数 a， b， c，d，都有(a d)(b c) 0？请说明理由 .( 2)若圆周上从小到大按顺时针方向依次放着2003 个正整数 1，2， 2003，问：是否能经过有限次操作后，对

8、圆周上任意依次相连 的 4 个数 a，b，c，d，都有 (a d)(b c) 0？请说明理由 .解：(1)2)参考答案与评分标准一、选择题（每小题 6 分，满分 30 分） 1D由 4x 3y 6z 0, 解得 x 3z, 代入即得 .x 2y 7z 0, y 2z.2D因为 20×3<72. 5<20×4，所以根据题意，可知需付邮费 0.8×4=3.2 （元）.3C如图所示， B+BMN+E+G=360°， FNM+F+A+ C=360°，而BMN +FNM =D180°，所以 A+B+C+D+E+F+G=540

9、6;.BAGCMNFDE第11页B（第 3 题图 ）（第 4 题图 ）4D显然 AB 是四条线段中最长的，故AB=9 或 AB=x。1）若 AB=9，当 CD=x 时，92x2(15)2，x3 5 ；当 CD=5 时，9252(x1)2，x2 14 1 ；当 CD=1 时，9212(x5)2，x4 5 5.2）若 AB=x，当 CD=9 时，2 x92(15)2，x3 13 ；当 CD=5 时，2 x52(19)2，x5 5 ；当 CD=1 时，2 x12(59)2，x197 .故 x 可取值的个数为 6 个 .5B设最后一排有 k 个人，共有 n 排，那么从后往前各排的人数分别 为 k，k+

10、1，k+2， k+（ n1），由题意可知 kn n（n 1） 100 ，即 2 n 2k n 1 200.因为 k，n 都是正整数，且 n 3，所以 n<2k+（n1），且 n 与 2k+ （ n1）的奇偶性不同 . 将 200 分解质因数，可知 n=5 或 n=8. 当 n=5 时， k=18；当 n=8 时， k=9. 共有两种不同方案 .第30页61112x 2 x2 4 x 241 x2 4 x 2 43 3 x2 4 (1 3)2 471.因为 4 x 1 x y1zxx1 1 xz1zx(4x 3)7x 3 ，713 x x 7x 37 1 1 x 4x 33 x 1解得x3

11、.2从而z71725， y 1 11323x333z55于是xyz3251.253所以 4(4x 3)8161.根据图中、的规律，可知图中三角形的个数为1+4+3×4+32 4+33 4 =1+4+12+36+108=161(个) 9 6 2.如图，延长 AD 交地面于 E，过 D 作 DFCE于 F.因为 DCF=45°， A=60 °， CD=4m， 所 以 CF=DF = 2 2 m， EF=DFtan60°=2 6 (m).因为 AB tan30 3 ，所以 AB BEBE 310. 4.由于二次函数的图象过点A（1，4），点 B（2，1），所以

12、a b c 4, 4a 2b c 1,解得b a 1, c 3 2a.因为二次函数图象与 x 轴有两个不同的交点，所以b2 4ac 0，（ a 1）2 4a（3 2a） 0，即（9a 1）（a 1） 0，由于 a是正整数，故 a 1，所以 a 2. 又因为 b+c=3a+2 4，且当 a=2，b=3，c=1 时，满足题意，故 b+c 的最大值为 4.三、解答题（共 4 题，每小题 15分，满分 60分）A11如图所示，已知 AB 是 O的直径， BC 是O 的切线， OC平行于弦 AD， 过点 D 作 DEAB 于点 E，连结 AC， 与 DE 交于点 P. 问 EP 与 PD 是否相 等？证

13、明你的结论 .解： DP=PE. 证明如下：因为 AB是O 的直径， BC是切线， 所以 AB BC.由 Rt AEPRt ABC，得EPBCAAEB . 6 分） （第 11 题图 ）又 ADOC，所以 DAE= COB，于是 RtAEDRtOBC.综上，从 A 城到达 B 城所需的最短时间为48 小时，所走的路线故 ED AEBC OBAE 2AE （ 12分）1 AB AB2由，得ED=2EP.所以 DP=PE.15 分）12某人租用一辆汽车由 A城前往 B 城，沿途可能经过的城市以及通 过两城市之间所需的时间（单位：小时）如图所示 . 若汽车行驶的平 均速度为 80 千米/ 小时，而汽

14、车每行驶 1 千米需要的平均费用为 1.2 元. 试指出此人从 A 城出发到 B城的最短路线 （要有推理过程），并求 出所需费用最少为多少元？解：从 A 城出发到达 B 城的路线分成如下两类：（1）从 A 城出发到达 B 城，经过 O 城. 因为从 A城到 O 城所需最 短时间为 26 小时，从 O城到 B城所需最短时间为 22小时. 所以，此 类 路 线 所 需 最 短 时 间 为 26+22=48（小时） . （ 5 分）（2）从 A城出发到达 B 城， 不经过 O 城. 这时从 A 城到达 B 城，必定经过 C，D，E 城或 F， G，H 城，所需时间至少为 49 小时. （ 10分）为

15、：AFOEB.12分）所需的费用最少为： 80×48×1. 2=4608(元)( 14分)答：此人从 A 城到 B 城最短路线是 AF OE B，所需的费用最 少为 4608元（ 15分）（第 12 题图 ）13B如图所示，在 ABC中， ACB=90°.（1）当点 D 在斜边 AB 内部时，求证：CD 2 BD2 AD BD .2BC2 AB2）当点 D 与点 A 重合时，第（ 1）小题中的等式是否存在？请说明理由 .3）当点 D 在 BA 的延长线上时，第（1）小题中的等式是否存在？请说明理由解：（1）作 DE BC，垂足为 E. 由勾股定理得CD2BD2(C

16、E2DE2) (BE2 DE2)CE2BE2(CEBE)BC.CD2 BD2 CEBECEBE .BC2BCBCBC .DEAC，所以CEAD ,BEBDBCAB ,BCABCD 2BD 2ADBDADBD .BC2ABABAB所以故因为10 分）时有分）2）当点 D 与点 A 重合时，第（ 1）小题中的等式仍然成立。此AD=0，CD=AC，BD=AB.所以从而第22 2 2 2CD 2 BD 2 AC 2 AB2BC 22 2 2BC2 BC 2BC 2AD BD AB1. AB AB1）小题中的等式成立 .1，133）当点 D 在 BA 的延长线上时，第1）小题中的等式不成立 .作 DE

17、BC，交 BC 的延长线于点E，则CD 2 BD 2BC2CE BEBCCE 2 BE 2BC22CE ,BC ,而 AD BDABABAB22 所以 CD 2BDBC21,AD BDAB15 分）说明第（ 3）小题只要回答等式不成立即可（不成立的理由表述不甚清者不扣分） .14B已知实数 a，b，c 满足： a+b+c=2，abc=4.（1）求 a， b， c 中的最大者的最小值；（2）求 a b c 的最小值 .解：（1）不妨设 a 是 a，b，c 中的最大者，即 ab， ac，由题设知 a>0，4且 b+c= 2- a ， bc .a于是 b，c 是一元二次方程 x2 （2 a）x

18、 4 0 的两实根，a（2 a）2 4 4 0，aa3 4a2 4a 16 0，（a2 4）（a 4）0. 所以 a4.（8分）又当 a=4， b=c=-1 时，满足题意 .故 a，b，c 中最大者的最小值为 4.（ 10分）（2）因为 abc>0，所以 a，b，c 为全大于 0 或一正二负 .1） 若 a，b，c 均大于 0，则由（ 1）知， a， b，c 中的最大者不小于 4，这与 a+b+c=2 矛盾 .2）若 a，b，c 为或一正二负，设 a>0，b<0， c<0，则a b c a b c a （2 a） 2a 2，由（ 1）知 a4，故 2a-26，当 a=4

19、，b=c=-1 时，满足题设条件且 使 得 不 等 式 等 号 成 立 。 故 a b c 的 最 小 值 为6. （ 15分）PA13A如图所示， O 的直径的长是关于 x 的二次方程 x2 2（k 2）x kk是整数）的最大整数根 . P 是O 外一点，过点 P 作O 的切线和割线 PBC，其中 A 为切点，点 B，C 是直线 PBC 与O 的交点 .PA，PB，PC 的长都是正整数，且 PB 的长不是合数，求 PA2 PB2 PC2 的值.解：设方程 x2 2（k2)x k 0 的两个x1， x2 ， x1 x2 .由根与系数的关系得x1x24 2k ， x1x2k.由题设及知，x1，

20、x2 都是整数 . 从，消去 k，得2x1x2 x1 x2 4，(2x1 1)(2x2 1) 9.由上式知，x24 ，且当 k=0 时， x2 4 ，故最大的整数根为 4.于是 O 的直径为 4，所以 BC4.因为 BC=PCPB 为正整数，所以 BC=1，2，3 或 4.分）连结 AB，AC，因为 PAB=PCA，所以 PAB PCA，PA PC。10 分）PB PA 故 PA2 PB(PB BC) 1）当 BC=1 时，由得， PA2 PB2 PB，于是PB2 PA2 (PB 1)2 ，矛盾！2)当 BC=2 时，由得， PA2 PB2 2PB ，于是PB2 PA2 (PB 1)2 ，矛盾！3)当 BC=3 时，由得， PA2 PB2 3PB ，于是(PA PB )( PA PB) 3PB ，由于 PB 不是合数，结合 PA PB PA PB ，故只可能PA PB 1, PAPB3,PAPB PB,PA PB 3PB, PAPBPB,PAPB 3,解得 PA 2,PB 1.此时 PA2 PB2 PC 221.(4)当 BC=4，由得，PA2PB24PB，于是(PB 1)2 PB 2 4PBPA2(PB2) 2，矛盾 .综上所述22PA2 PB 2 PC2 21( 15 分)14A沿着圆周放着一些数，如果有依次相连的 4 个数 a， b，c