七年级数学竞赛专家讲座第2讲代数式的化简求值问题(1)_第1页
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文档简介

1、第二讲:代数式的化简求值问题一、知识链接1 . “代数式”是用运算符号把数字或表示数字的字母连结而成的式子。它包括整式、分式、二次根式等内容,是初中阶段同学们应该重点掌握的内容之一。2 .用具体的数值代替代数式中的字母所得的数值,叫做这个代数式的值。 注:一般来说,代数式的值随着字母的取值的变化而变化3 .求代数式的值可以让我们从中体会简单的数学建模的好处,为以后学习方程、函数等知 识打下基础。二、典型例题例1.若多项式2mx2 _x2+5x+8_(7x2 _3y+5x )的值与x无关,求 m2 - 2m2 - 5m - 4 L m 1的值.分析:多项式的值与 x无关,即含x的项系数均为零因为

2、 2mx2 -x2 5x 8 -7x2 -3y 5x = 2m -8 x2 3y 8所以m=4将 m=4代人,m2 - 2m2 - 5m - 4 L m L -m2 4m - 4 - -16 16 - 4 - -4利用“整体思想”求代数式的值例2. x=-2时,代数式ax5 +bx3 + cx 6的值为8,求当x=2时,代数式ax5 +bx3 + cx 6 的值。分析:因为 ax5 +bx3 +cx-6 =8当 x=-2 时,25a 23b2c6 =8 得到 25a+23b + 2c+ 6 = 8 ,所以 25a 23b 2c =8 -6 =14当 x=2 时,ax5 +bx3 +cx6=25

3、a+23b+2c6=(14)6 = 20 22例3.当代数式x +3x+5的值为7时,求代数式3x +9x2的值.分析:观察两个代数式的系数.2 c L -22由x +3x+5=7 得x +3x = 2 ,利用方程同解原理,得 3x + 9x = 6整体代人,3x2 9x - 2 =4代数式的求值问题是中考中的热点问题,它的运算技巧、解决问题的方法需要我们灵活掌握,整体代人的方法就是其中之一。例 4.已知 a2 +a 1 = 0 ,求 a3 +2a2 +2007 的值.分析:解法一(整体代人):由a2+a-1=0 得a3+a2-a = 0所以: a3 2a2 2007322=a a a 200

4、72 cccr解法二(降次)三咙理作为2007实世界相等关系的数学模型,还具有降次的功能。2 =1 20072由 a +a71M,得 a =1 a,2008所以:a3 2a2 20072_ 2=a a 2a 2007_ 2_= (1-a)a 2a 20072 2=a - a2 2a2 20073 _=a a 2007=1 2007= 2008解法三(降次、消元):a2 +a =1 (消元、减项)a3 2a2 20074 22=a a a 200722= a(a a) a 2007 2=a a 2007=1 2007二 2008例5.(实际应用)A和B两家公司都准备向社会招聘人才,两家公司招聘条

5、件基本相同,只有工资待遇有如下差异:A公司,年薪一万元,每年加工龄工资200元;B公司,半年薪五千元,每半年加工龄工资50元。从收入的角度考虑,选择哪家公司有利?分析:分别列出第一年、第二年、第 n年的实际收入(元)第一年:A 公司 10000 ; B 公司 5000+5050=10050第二年:A 公司 10200 ; B 公司 5100+5150=10250第 n 年:A公司 10000+200(n-1 );B 公司:5000+100(n-1)+5000+100(n-1)+50=10050+200(n-1)由上可以看出B公司的年收入永远比A公司多50元,如不细心考察很可能选错。abc1ab

6、|ac耻例6.三个数a、b、c的积为负数,和为正数,且X = - T T - T T T)|a|b|Cabacbc则 ax3 + bx2 + cx +1 的值是 解:因为abc0,所以a、b、c中只有一个是负数。不妨设 a0, c0则 ab0, ac0所以x=-1 + 1+1-1-1 + 1=0将x=0代入要求的代数式,得到结果为1。同理,当 b0, c0 时,x=0。abc|ablacIbc另:观察代数式 +L+L=+L,交换a、b、c的位置,我们发现代a|b|c|abacbca、b、c再讨论。有兴趣的同学可以在数式不改变,这样的代数式成为轮换式,我们不用对 课下查阅资料,看看轮换式有哪些重

7、要的性质。规律探索问题:例7.如图,平面内有公共端点的六条射线OA OR OC OD OE OE从射线OA开始按逆时针方向依次在射线上写出数字1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,.(1) “17”在射线 . 上,“2008”在射线 上.(2)若n为正整数,则射线 OA上数字的排列规律可以用含n的代数式表示为.分析:OA上排列的数为:1, 7, 13, 19,观察得出,这列数的后一项总比前一项多6,归纳得到,这列数可以表示为6n-5因为17=3X6-1,所以17在射线OE上。因为 2008=334X 6+4=335X 6-2 ,所以 2008 在射线 OD例8.将正奇数按下表排成5列:第一列

8、 第二列第一行13第二行 151311第三行1719第四行 312927第三列 第四列579212325第五列6根据上面规律,2007应在A. 125 行,3 歹U B. 125 行,2 歹U C. 251彳7,2 歹UD 251 行,5 列分析:观察第二、三、四列的数的排列规律,发现第三列数规律容易寻找第三列数:3,11, 19, 27, 规律为8n-5因为 2007=250 X 8+7=251 X 8-1所以,2007应该出现在第一列或第五列又因为第251行的排列规律是奇数行,数是从第二列开始从小到大排列, 所以2007应该在第251行第5列例9. (2006年嘉兴市)定义一种对正整数 n

9、的“F”运算:当n为奇数时,结果为3n+ 5;当n为偶数时,结果为 王(其中k是使牙为奇数的正整数),并且运算重复进行. 例 如,取n=26,则:若n=449,则第449次“F运算”的结果是 .n分析:问题的难点和解题关键是真正理解F的第二种运算,即当 n为偶数时,结果为 初n_ k(其中k是使2 为奇数的正整数),要使所得的商为奇数,这个运算才能结束。449奇数,经过“ F”变为1352; 1352是偶数,经过“ F”变为169,169是奇数,经过“ F”变为512, 512是偶数,经过“ F”变为1,1是奇数,经过“ F”变为8, 8是偶数,经过“ F”变为1,我们发现之后的规律了,经过多次运算,它的结果将出现

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