七年级数学竞赛专家讲座第2讲代数式的化简求值问题(1)

1、第二讲：代数式的化简求值问题一、知识链接1 . “代数式”是用运算符号把数字或表示数字的字母连结而成的式子。它包括整式、分式、二次根式等内容，是初中阶段同学们应该重点掌握的内容之一。2 .用具体的数值代替代数式中的字母所得的数值，叫做这个代数式的值。 注：一般来说，代数式的值随着字母的取值的变化而变化3 .求代数式的值可以让我们从中体会简单的数学建模的好处，为以后学习方程、函数等知 识打下基础。二、典型例题例1.若多项式2mx2 _x2+5x+8_(7x2 _3y+5x )的值与x无关，求 m2 - 2m2 - 5m - 4 L m 1的值.分析：多项式的值与 x无关，即含x的项系数均为零因为

2、 2mx2 -x2 5x 8 -7x2 -3y 5x = 2m -8 x2 3y 8所以m=4将 m=4代人，m2 - 2m2 - 5m - 4 L m L -m2 4m - 4 - -16 16 - 4 - -4利用“整体思想”求代数式的值例2. x=-2时，代数式ax5 +bx3 + cx 6的值为8,求当x=2时，代数式ax5 +bx3 + cx 6 的值。分析：因为 ax5 +bx3 +cx-6 =8当 x=-2 时，25a 23b2c6 =8 得到 25a+23b + 2c+ 6 = 8 ,所以 25a 23b 2c =8 -6 =14当 x=2 时，ax5 +bx3 +cx6=25

3、a+23b+2c6=(14)6 = 20 22例3.当代数式x +3x+5的值为7时，求代数式3x +9x2的值.分析：观察两个代数式的系数.2 c L -22由x +3x+5=7 得x +3x = 2 ，利用方程同解原理，得 3x + 9x = 6整体代人，3x2 9x - 2 =4代数式的求值问题是中考中的热点问题，它的运算技巧、解决问题的方法需要我们灵活掌握,整体代人的方法就是其中之一。例 4.已知 a2 +a 1 = 0 ,求 a3 +2a2 +2007 的值.分析：解法一（整体代人）：由a2+a-1=0 得a3+a2-a = 0所以： a3 2a2 2007322=a a a 200

4、72 cccr解法二（降次）三咙理作为2007实世界相等关系的数学模型，还具有降次的功能。2 =1 20072由 a +a71M，得 a =1 a，2008所以：a3 2a2 20072_ 2=a a 2a 2007_ 2_= （1-a）a 2a 20072 2=a - a2 2a2 20073 _=a a 2007=1 2007= 2008解法三（降次、消元）：a2 +a =1 （消元、减项）a3 2a2 20074 22=a a a 200722= a（a a） a 2007 2=a a 2007=1 2007二 2008例5.（实际应用）A和B两家公司都准备向社会招聘人才，两家公司招聘条

5、件基本相同，只有工资待遇有如下差异：A公司，年薪一万元，每年加工龄工资200元；B公司，半年薪五千元，每半年加工龄工资50元。从收入的角度考虑，选择哪家公司有利？分析：分别列出第一年、第二年、第 n年的实际收入（元）第一年：A 公司 10000 ; B 公司 5000+5050=10050第二年：A 公司 10200 ; B 公司 5100+5150=10250第 n 年：A公司 10000+200（n-1 ）;B 公司：5000+100（n-1）+5000+100（n-1）+50=10050+200(n-1)由上可以看出B公司的年收入永远比A公司多50元，如不细心考察很可能选错。abc1ab

6、|ac耻例6.三个数a、b、c的积为负数，和为正数，且X = - T T - T T T)|a|b|Cabacbc则 ax3 + bx2 + cx +1 的值是 解：因为abc0,所以a、b、c中只有一个是负数。不妨设 a0, c0则 ab0, ac0所以x=-1 + 1+1-1-1 + 1=0将x=0代入要求的代数式，得到结果为1。同理，当 b0, c0 时，x=0。abc|ablacIbc另：观察代数式 +L+L=+L，交换a、b、c的位置，我们发现代a|b|c|abacbca、b、c再讨论。有兴趣的同学可以在数式不改变，这样的代数式成为轮换式，我们不用对 课下查阅资料，看看轮换式有哪些重

7、要的性质。规律探索问题：例7.如图，平面内有公共端点的六条射线OA OR OC OD OE OE从射线OA开始按逆时针方向依次在射线上写出数字1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,.(1) “17”在射线 . 上,“2008”在射线 上.(2)若n为正整数,则射线 OA上数字的排列规律可以用含n的代数式表示为.分析：OA上排列的数为：1, 7, 13, 19,观察得出，这列数的后一项总比前一项多6,归纳得到，这列数可以表示为6n-5因为17=3X6-1,所以17在射线OE上。因为 2008=334X 6+4=335X 6-2 ,所以 2008 在射线 OD例8.将正奇数按下表排成5列:第一列

8、 第二列第一行13第二行 151311第三行1719第四行 312927第三列 第四列579212325第五列6根据上面规律，2007应在A. 125 行,3 歹U B. 125 行,2 歹U C. 251彳7,2 歹UD 251 行,5 列分析：观察第二、三、四列的数的排列规律，发现第三列数规律容易寻找第三列数：3,11, 19, 27, 规律为8n-5因为 2007=250 X 8+7=251 X 8-1所以，2007应该出现在第一列或第五列又因为第251行的排列规律是奇数行，数是从第二列开始从小到大排列, 所以2007应该在第251行第5列例9. （2006年嘉兴市）定义一种对正整数 n

9、的“F”运算：当n为奇数时，结果为3n+ 5;当n为偶数时，结果为 王（其中k是使牙为奇数的正整数），并且运算重复进行. 例 如，取n=26,则：若n=449,则第449次“F运算”的结果是 .n分析：问题的难点和解题关键是真正理解F的第二种运算，即当 n为偶数时，结果为 初n_ k（其中k是使2 为奇数的正整数），要使所得的商为奇数，这个运算才能结束。449奇数，经过“ F”变为1352; 1352是偶数，经过“ F”变为169,169是奇数，经过“ F”变为512, 512是偶数，经过“ F”变为1,1是奇数，经过“ F”变为8, 8是偶数，经过“ F”变为1,我们发现之后的规律了，经过多次运算，它的结果将出现