2020朝阳区高三一模有答案(数学理)

1、北京市朝阳区高三年级第一次综合练习数学试卷（理工类） 2020.3（考试时间 120分钟 满分 150 分） 本试卷分为选择题（共 40 分）和非选择题（共 110 分）两部分 第一部分（选择题 共 40 分）注意事项：考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上答无效。一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题给出的四个选项 中，选出符合题目要求的一项 .1. 复数 10i1 2iA. 4 2i B. 4 2i C. 2 4i D. 2 4i2. 已知平面向量 a,b满足 a （a+ b）=3 ，且 a = 2,b = 1，则向量 a与b的夹角为3.4.A.6B.已知数列

2、an的前 n项和为 Sn，A. 16B.16C.且 SnC.D.2an 1(n31已知平面，直线 a,b,l ，且 a,b，则“A充分不必要条件BC充分必要条件D5. 有 10 件不同的电子产品，其中有 一测试，直到 2 件不稳定的产品全部找出后测试结束，则恰好 （） A. 16 B.24N )，则 a5D.32l a且 l b”是“ l ”的必要不充分条件 既不充分也不必要条件2 件产品运行不稳定 . 技术人员对它们进行3次就结束测试的方法种数是C.32D.48f (x) .6. 已知函数 f （x） 是定义在 R上的偶函数，且对任意的 x R，都有 f （x 2）当0 x 1时， f（x）

3、 x2.若直线 y x a与函数 y f（x）的图象在 0,2 内恰有 两个不同的公共点，则实数 a 的值是1111A.0B. 0 或 1 C. 1 或 1 D. 0 或 124247. 某工厂生产的 A 种产品进入某商场销售，商场为吸引厂家第一年免收管理费， 因此第一 年 A种产品定价为每件 70 元，年销售量为 11.8 万件. 从第二年开始，商场对 A 种产品征收销售额的 x% 的管理费（即销售 100 元要征收 x元），于是该产品定价每件比 第一年增加了 70 x% 元，预计年销售量减少 x 万件，要使第二年商场在 A种产品经营中收1 x%取的管理费不少于 14 万元，则 x的取值范围

4、是A. 2 B. 6.5 C. 8.8 D. 108. 已知点集 A （x,y） x2 y2 4x 8y 16 0 ，B （x,y） y x m 4,m是常数 ， 点集 A所表示的平面区域与点集 B所表示的平面区域的边界的交点为 M ,N.若 点 D（m,4） 在点集 A 所表示的平面区域内（不在边界上） ，则 DMN 的面积的最 大值是A. 1B.2 C. 2 2 D. 4第二部分（非选择题 共 110 分）二、填空题：本大题共 6小题，每小题 5 分，共 30分. 把答案填在答题卡上29. 已知双曲线的方程为 x3 y2 1，则此双曲线的离心率为，其焦点 到渐近线的距离为 .开始10. 已

5、知某几何体的三视图如图所 示，则该几何体的体积 为 .输入 k第 11 题图）第 10 题图）11. 执行如图所示的程序框图，若输入 k的值是 4，则输出 S的值是 .12.在极坐标系中， 曲线 2 3sin 和 cos 1相交于点 A,B ，则线段 AB的中点E到极点的距离是 .13.已知函数 f （x）(1)x 3242,2, 若函数 g(x)f （x） k 有两个不同的零点，log 2 x,0 x 2.则实数 k 的取值范围是 .14.已知 ABC中， C 90 ,AC 3,BC 4 .一个圆心为 M ，半径为 1 的圆在 4 ABC内，沿着 ABC 的边滚动一周回到原位 . 在滚动过程

6、中，圆 M 至少与 ABC的一 边相切，则点 M 到 ABC 顶点的最短距离是，点 M 的运动轨迹的周长是 .三、解答题：本大题共 6小题，共 80分. 解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 把答案答在答题卡上 .15. （本小题满分 13 分） 已知函数 f （x） cos（x ） .72)若 f ( ) 7102 ，求sin 2 的值；II )设 g(x)x f x 2 ，求函数 g（x）在区间 6,3 上的最大值和最小值13 分）人参加的数学摸底考试，其成绩的频率分布直方图如图所示，规 频率 组距区间75 ，80)80 ，85)85 ，90)90 ，95)95 ，100人数50a35

7、0300b16. （本小题满分 某次有 1000 定 85 分及其以上为优秀 . （）下表是这次考试成绩的频数分布表，求正整数 a, b的0值.07；0.060.050.040.03（II ）现在要用分层抽样的方法从这 1000人中抽取 40 人的0.成02 绩进行分析，求其中成绩为优秀的学生人数； 0.01 （）在（ II ）中抽取的 40 名学生中，要随机选取 2 名学生参O 75 80 85 90 95 100 加座谈会，记“其中成绩为优秀的人数”为 X，求 X 的分数分布列与数学期望17. (本小题满分 14 分) 在如图所示的几何体中，四边形 ABCD 为平行四边形， ABD = 9

8、0 ， EB 平面ABCD ， EF/AB ， AB = 2， EB = 3,EF =1 ， BC = 13，且M 是BD的中点.P，F EA B()求证： EM/ 平面 ADF ； ()求二面角 D-AF-B 的大小； ()在线段 EB 上是否存在一点 使得 CP与AF 所成的角为 30 ？ 若存在，求出 BP 的长度；若不 存在，请说明理由 .18. (本小题满分 13 分)axe设函数 f(x) e2 ,a R.x2 1)当 a 1时，求曲线 yf (x) 在点 (0, f(0) 处的切线方程；)求函数 f (x) 单调区间 .19. (本小题满分 14 分)22已知椭圆 C:x2 y2

9、 1(a b 0) 的两个焦点分别为 F1( 2,0) ， F2( 2,0) . 点 abM (1,0) 与椭圆短轴的两个端点的连线相互垂直 .()求椭圆 C 的方程；()已知点 N 的坐标为 (3,2) ，点P的坐标为 (m,n)(m 3).过点M 任作直线 l与椭 圆C相交于 A， B两点，设直线 AN，NP， BN 的斜率分别为 k1，k2，k3，若k1 k3 2k2 ，试求 m, n满足的关系式 .20(本小题满分 13 分)已 知 各项 均 为 非 负 整数 的 数 列 A0 : a0,a1,L ,an (n N ) ， 满 足 a0 0 ，a1 Lann若存在最小的正整数 k，使得

10、ak k (k 1) ，则可定义变换 T，变换i 0,1,2L （）若数列 A0 :0,1,1,3,0,0 ，试写出数列 A5 ；若数列 A4 : 4,0,0,0,0 ，试写出数列 A0； （）证明存在唯一的数列A0 ，经过有限次 T 变换，可将数列 A0 变为数列n,01,40,2L43,0 ；n个（ ） 若 数 列 A0 ， 经 过 有 限 次 T 变 换 ， 可 变 为 数 列 n,01,40,2L 43,0 设 n个SmSmSm am am 1 L an，m 1,2,L ,n，求证 am Sm m （m 1） ，其中 m m 1 m 1 表示不超过 Sm 的最大整数m1北京市朝阳区高三

11、年级第一次综合练习数学试卷（理工类） 2020.3、选择题：题号（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）答案ACBBCDDB、填空题：题 号（9）（10）（11）（12）（13）（14）答 案233132342(34,1)249三、解答题：15）（本小题满分 13 分）解：（）因为f ( )cos(4) 10 ，所以2(cossin) 7102210所以cossin75平方得，2 sin2sincos2 49 cos =所以 sin224256分II )因为 g(x)x= cos( x24) cos(x 4)= 2 (cosx2sin x)2 (cosx2sin x)=1 2= (co

12、s x21= cos2x.2sin2 x)10分当x3时，2x23当x所以，当 x0时，g（x） 的最大值为1；2时， g（x） 的最小值为16）（本小题满分 13 分）13分解：（）依题意， a 0.04 51000200,b 0.025 1000 100.4分）设其中成绩为优秀的学生人数为即其中成绩为优秀的学生人数为 30 分 （）依题意， P（X 0） C120C40X 的取值为 0，1，2，11C10C30P(X 1) 102 30C403，52所以 X 的分布列为3EX 0 152513分（17）证明：x，则 x40 名.5 ， P(X13350 300 100 ，解得： x=30，

13、10002) C302) C42029 ，52X012P35295213522 2592 23，所以 X 的数学期望为 23.本小题满分 14 分）取 AD的中点 N，连接 MN,NF .131 在 DAB中， M是BD的中点， N是AD的中点，所以 MN/AB,MN =1AB，21又因为 EF/AB,EF = AB ，2所以 MN/EF 且 MN = EF .所以四边形 MNFE 为平行四边形， 所以 EM/FN .FE又因为 FN 平面 ADF ， EM 平面 ADFA，B故 EM/ 平面 ADF. 解法二：因为 EB 平面 ABD ， 坐标系 B- xyz.NC 4 分AB BD，故以

14、B为原点，建立如图所示的空间直角 1 分由已知可得 B(0,0,0), A(0,2,0), D(3,0,0),4分nuuur 所以 EM，又 EM 平面 ADF ，所以 EM/ 平面 ADF .)由平面 ABD ，所以 EB BD.)可知平面 ADF 的一个法向量是 n (2,3, 3) .因为 EB 又因为 AB BD，所以 BD 平面 EBAF.uuur故 BD (3,0,0) 是平面 EBAF 的一个法向量 .uuur 所以 cos< BD,nuuurBD nuuurBD n112 ，又二面角 D- AF - B为锐角，故二面角 D- AF - B的大小为 60 . ()假设在线段

15、 EB上存在一点 P，使得 CP与 AF所成的角为 30 .不妨设 P(0,0,t) ( 0 tuuur uuur3)，则 PC = (3,-2,- t), AF = (0,-1, 3).由题意得2- 3t2 t2 +133，2，化简得 4 3t 35 ，解得 t 35 0.43所以在线段 EB上不存在点 P，使得 CP与 AF所成的角为 30 .( 18)(本小题满分 13 分)14 分解：因为 f (x) 2xaxe, 所以 f (x) eax(ax2 2x a) 1(x2 1)2)当 a 1时, f (x)xex2 1, f (x) ex(x2 2x 1)(x2 1)2所以 f (0)

16、1, f (0) 1.所以曲线 y f (x)在点 (0, f (0) 处的切线方程为 x y1 0.4分)因为 f (x) eax(ax2 2x a)(x2 1)2ax2 2 (ax2 2x (x2 1)2a)，5分1)当 a 0时, 由 f (x) 0得 x 0；由 f (x) 0得 x0.所以函数 f (x)在区间 ( ,0)单调递增 , 在区间 (0,) 单调递减 .6分2)当 a 0 时,设 g(x) ax2 2x a ，方程 g(x)ax2 2x a0的判别式4 4a24(1 a)(1 a),7分当 0a 1 时，由 f (x)0得x此时 0.1 1 a2 , 或xuuurPCuu

17、urAF2- 3tPCAF2 t2 +13uuur uuur 所以cos < PC,AF由 f (x) 0得1 1 aa1 1 a2所以函数 f (x)单调递增区间是 ( ,1 1 a ) 和(1 1 a , ), aa单调递减区间 (1 1 a ,1 1 a ). 9分 aa当 a 1时，此时0. 所以 f (x) 0，所以函数 f (x)单调递增区间是 ( , ). 10分当 1 a 0时，此时0.1 1 a2 1 1 a2 由 f (x) 0得 x ； aa1 1 a21 1 a2由 f (x) 0得x,或x.aaaa1 1 a2 1 1 a2单调递增区间 (1 1 a ,1 1

18、a ). 12分 aa当 a 1 时, 此时0， f （x） 0 ，所以函数 f（x） 单调递减区间是 （).22 所以当 1 a 0时, 函数 f ( x)单调递减区间是 ( ,1 1 a )和 (1 1 a , ), 13 分19）（本小题满分 14 分）解: （）依题意， c 2 ， b 1， 所以 a b2 c23.24分故椭圆 C 的方程为 x y2 1.3）当直线 l 的斜率不存在时，由解得 x1,y不妨设 A(1, 36 ) ， B(1, 36)，26 因为 k1 k32326322，又 k1 k32k2 ，所以 k21，所以 m,n 的关系式为n2m31 ，即 m n 10.7

19、分当直线 l 的斜率存在时，设直线 l 的方程为k(x1).2将 y k(x 1)代入 x3 y21 整理化简得， （3k21)x26k2x3k23 0.设 A(x1,y1)， B(x2,y2)，则x1 x26k23k2 1, x1x23k23k2 19分又 y1 k(x11)， y2k(x21).所以 k1 k32 y13 x12 y23 x22 k(x11)(3x2) 2(2 y1)(3 x2 )(2 y2)(3(3 x1)(3 x2)k(x2 1)(3 x1)x1x2 3(x1 x2) 92kx1x2 (4k 2)(x1 x2) 6k 12x1x2 3(x1 x2) 923k 32k 2

20、 (4k 2)3k2 1 3k2 3 3k26k22 6k 12 3k2 1 6k23k219x1)22(12k 2 6)212k2 62.12 分所以 2k2 2 ，所以 k22 m3，所以 m,n 的关系式为 m n 10.13 分综上所述， m,n 的关系式为 m n 1 0. （ 20）（本小题满分 13 分）解：()若 A0 : 0,1,1,3,0,0 ，则 A1 :1,0,1,3,0,0 ； A2 : 2,1,2,0,0,0 ； A3 : 3,0, 2,0,0,0 ；A4 : 4,1,0,0,0,0 ； A5 : 5,0,0,0,0,0 若 A4 : 4,0,0,0,0 ， 则 A

21、3 : 3,1,0,0,0 ； A2 :2,0, 2,0,0 ； A1 :1,1,2,0,0 ；A0 : 0,0,1,3,0 4分)先证存在性，若数列 A0:a0,a1,L ,an满足 ak 0及ai 0(0 i k 1) ，则定义a0 1,a11,L , ak 11,k,ak 1,L ,an 易知T 1 和换n,0,0, L1对于数列,0 连续实施变换 T 1n,0,0, L ,0T1T1n 1,1,0,L ,0 TT 1 LT1a0, a1,L , an ，变 换 T 1 ， 变 换 T 1 将 数列 A0 变 为 数 列 T 1( A0) ：T 是 互 逆 变 5 分一直不能再作 T 1 变换为止)得T1n 2,0,2,0, L ,0 T n 3,1,2,0, L ,0则必有 a0 0（若 a0 0 ，则还可作变换 T 1 ）反过来对 a0,a1,L ,an 作有限次变换T ，即可还原为数列 n,0,0, L ,0 ，因此存在数列 A0 满足条件下用数学归纳法证唯一性： 当n 1,2是显然的，假设唯一性对 n 1成立，考虑 n的情形假 设存 在 两个数列 a0,a1,L ,an 及 b0,b