二次函数的实际应用之利润最大值、面积最值问题

1、学习好资料欢迎下载二次函数的实际应用一一最大利润问题、面积最大(小)值问题一：最大利润问题知识要点：二次函数的一般式y =ax2bx c( (a = 0) )化成顶点式y = a(x )22ay最小二ax；bx2c商品定价一类利润计算公式：经常出现的数据：商品进价；商品售价；商品销售量；涨价或降价；销售量变化；其他 成本。总利润= =总售价- -总进价- -其他成本= =单位商品利润x总销售量一其他成本单位商品利润=商品定价一商品进价总售价=商品定价X总销售量；总进价=商品进价x总销售量例 1：某电子厂商投产一种新型电子厂品， 每件制造成本为 18 元，试销过程中发现，每月销售量 y (万件)

2、与销售单价 x (元)之间的关系可以近似地看作一次函数y= - 2x+100 (利润=售价-制造成本)(1 )写出每月的利润 z (万元)与销售单价 x (元)之间的函数关系式；(2 )当销售单价为多少元时，厂商每月能获得3502 万元的利润？当销售单价为多少元时，厂商每月能获得最大利润？最大利润是多少？(3 )根据相关部门规定， 这种电子产品的销售单价不能高于32 元，如果厂商要获得每月不低于350 万元的利润，那么制造出这种产品每月的最低制造成本需要多少万元？2解：(1 ) z= (x -18 ) y=(x -18 )(-2x+100 ) = -2x +136x-1800, z 与 x 之

3、间的函数解析式为 z= -2x2+ 136x-1800 ；(2 )由 z=350 ，得 350= -2x2+136x -1800,解这个方程得 X1=25 ,X2=43所以，销售单价定为 25 元或 43 元，将 z =-2x +136X-1800 配方，得 z=-2(x-34 )+512,因此，当销售单价为 34 元时，每月能获得最大利润，最大利润是 512 万元;4 ac b2，如果自变量的4a取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值(或最小值)即当a 0时，函数有最小值，并且当x - , y最小值=4ab;2a4ab4ac-b2x,y最大值=2a4a乞x乞X2，如果顶点在自变量的取

4、值范围当a : 0时，函数有最大值，并且当如果自变量的取值范围是4ac -b24aXibx,y y最值二2a性；如果在此范围内y最小=ax；bxic；如果在此范围内y随x的增大而减小，则当，如果y随x的增大而增大，则当x = x2时，y最大=ax：-bx2c，当x =捲时,x =治时，y最大=ax：b c，当x = x2时,学习好资料欢迎下载(3 )结合(2 )及函数Z=-2X2+136X- 1800 的图象(如图所示)可知，学习好资料欢迎下载又由限价 32 元，得 25 x 32+100 ) =648 (万元)，因此，所求每月最低制造成本为648 万元.练习:1.某商品现在的售价为每件60

5、元，每星期可卖出 300 件，市场调查反映：每涨价 1 元，每星期少卖出 10 件；每降价 1 元，每星期可多卖出 20 件，已知商品的进价为每件40 元，如何定价才能使利润最大？解：设涨价(或降价)为每件x元，利润为y元，y1为涨价时的利润，y2为降价时的利润则:y“=(60一40 x)(300 _10 x)=-10(x2-10 x -600)=-10(x -5)26250当X=5，即：定价为 65 元时，ymax=6250(元)y=(60 -40 -x)(30020 x)20(x -20)(x15)=-20(x -2.5)26125当x=2.5，即：定价为 57.5 元时，ymax=612

6、5(元)综合两种情况，应定价为65 元时，利润最大.例 2:市 健益”超市购进一批 20 元/千克的绿色食品，如果以 30?元/千克销售，那么每天可售出400 千克由销售经验知，每天销售量y(千克)?与销售单价x(元)(x _30)存在如下图所示的一次函数关系式.试求出y与x的函数关系式；设 健益”超市销售该绿色食品每天获得利润P 元，当销售单价为何值时，每天可获得最大利润？最大利润是多少？根据市场调查，该绿色食品每天可获利润不超过4480 元，？现该超市经理要求每天利润不得低于4180 元，请你帮助该超市确定绿色食品销售单价x的范围(?直接写出答案).解：设 y=kx+b 由图象可知,即一次

7、函数表达式为y - -20 x 1000 (30 _ x _ 50).P =(x20)y =(x20)(20 x 1000)2-20 x1 4 0)0-2 0 00 0 a 20：0P有最大值.1400当x35时，Pmax二4500(元)2 (-20)(或通过配方，P =-20(x -35)2 4500，也可求得最大值) 答：当销售单价为 35 元/千克时，每天可获得最大利润4500 元.4180 _ -20(x -35)24500 _ 448021 E(X -35)2乞1630k b = 40040k b =200-20b=1000W千克O10 20 30 40 50即元学习好资料欢迎下载3

8、1WX34 或 36Wxw3.9练习 2某公司投资 700 万元购甲、乙两种产品的生产技术和设备后，进行这两种产品加工.已 知生产甲种产品每件还需成本费 30 元，生产乙种产品每件还需成本费 20 元.经市场调研发 现：甲种产品的销售单价为 x (元)，年销售量为 y (万件)，当 35強V50 时，y 与 x 之间的学习好资料欢迎下载函数关系式为 y=20-0.2x;当 50 強勺 0 时，y 与 x 的函数关系式如图所示，乙种产品的销售 单价，在 25 元（含）到 45 元（含）之间，且年销售量稳定在 10 万件物价部门规定这两种 产品的销售单价之和为 90 元.（1）当 50 強筍 0

9、时，求出甲种产品的年销售量 y （万元）与 x （元）之间的函数关系式.（2） 若公司第一年的年销售量利润（年销售利润 =年销售收入-生产成本）为 W （万元）， 那么怎样定价，可使第一年的年销售利润最大？最大年销售利润是多少？（3）第二年公司可重新对产品进行定价，在（2）的条件下，并要求甲种产品的销售单价 x（元）在 50 強0 范围内，该公司希望到第二年年底，两年的总盈利（总盈利 =两年的年销售利润之和-投资成本）不低于 85 万元请直接写出第二年乙种产品的销售单价 m （元）的范 围.解： （1） 设 y 与 x 的函数关系式为 y=kx+b（k 工0函数图象经过点（50，10），（ 7

10、0，8），f50k+b=10rk= - 0.1解得215，所以，y= - 0.ix+i5；（2）v乙种产品的销售单价在 25 元（含）到 45 元（含）之间,90 -，解之得 45 x 65145 40 时，W 随 x 的增大而减小，当 x=45 时，W 有最大值，W 最大=-0.2 (45- 40) 2+420=415 万元；250 x 65，W= (x - 30)( - 0.1x+15) +10 (90 - x - 20)，=-0.1x2+8x+250，=-0.1 (x2 - 80 x+1600) +160+250,=-0.1 (x - 40) 2+410,- 0.1v0， x40 时，W

11、 随 x 的增大而减小，当 x=50 时，W 有最大值，W 最大=-0.1 (50- 40) 2+410=400 万元.综上所述，当 x=45，即甲、乙两种产品定价均为 45 元时，第一年的年销售利润最大, 最大年销售利润是 415 万元；(3)根据题意得, W= - 0.1x2+8x+250+415 - 700=- 0.1x2+8x- 35, 令 W=85，则-0.1x2+8x-35=85,解得 x 仁 20, x2=60 .又由题意知，50 x 65 根据函数性质分析，50 x 60即 50 90- m 60,二 30 m 40二、面积最大（最小）值问题实际问题中图形面积的最值问题分析思路

12、为：（1）分析图形的成因（2）识别图形的形状（3）找出图形面积的计算方法学习好资料欢迎下载(4)把计算中要用到的所有线段用未知数表示(5)把线段长度代入计算方法形成图形面积的函数解析式，注意自变量的取值范围(6)根据函数的性质以及自变量的取值范围求出面积的最值。例 1：小明的家门前有一块空地，空地外有一面长10 米的围墙，为了美化生活环境，小明的爸爸准备靠墙修建一个矩形花圃，他买回了32米长的不锈钢管准备作为花圃的围栏，为了浇花和赏花的方便，准备在花圃的中间再围出一条宽为一米的通道及在左右花圃各放一个 设计才能使花圃的面积最大？解：设花圃的宽为X米，面积为S平方米贝 U 长为：32 -4x 2

13、 =34-4x(米)则:S=x(34_4x)2-4x 34x0 , 34 4x _1017 x: 一2而当6空x内，S随x的增大而减小，2172289当x=6时，Smax= -4(6-H)2竺竺9=60( (平方米) )44答：可设计成宽6米，长 10 米的矩形花圃，这样的花圃面积最大.练习 1 在矩形 ABCD 中，AB=6cm，BC=12cm，点 P 从点 A 出发，沿 AB 边向点 B 以 1cm/s 的速度移动， 同时点 Q从点 B 出发沿 BC 边向点 C 以 2cm/s 的速度移动，如果 P、Q 两点同时出发，分别到达B、C两点后就停止移动.(1) 运动第 t 秒时， PBQ 的面

14、积 y(cm2)是多少？(2) 此时五边形 APQCD 的面积是 S(cm2，写出 S 与 t 的函数关系式，并指出自变量的取值范围.(3) t 为何值时 s 最小，最小值时多少？12(1)y(6 -1)2t - -t26t2(2)S =6 12一( 一t26t)t26t 72(0：t :解得-：(不合题意，舍去)，二.1.剪去的正方形的边长为 1cm.(2)有侧面积最大的情况.设正方形的边长为;cm,盒子的侧面积为 -cm2, 则与丄的函数关系式为：1 二T二 _.即门匕81 + .2当二一一时，二 411：即当剪去的正方形的边长为2.25cm 时,长方体盒子的侧面积最大为40.5cm2.(

15、3)有侧面积最大的情况.设正方形的边长为：cm,盒子的侧面积为；cm2. 若按图 1 所示的方法剪折，则-与的函数关系式为：13169当:时，一二.若按图 2 所示的方法剪折， 则与的函数关系式为：10 _2xy二2(8 -2x)x 2x2(13? 169即=-6+.I 6丿6X学习好资料欢迎下载2 所示的方法剪折得到的盒子侧面积最大，即当剪去的正方形:沃2的边长为 cm 时，折成的有盖长方体盒子的侧面积最大，最大面积为cm2.33例 3、如图，已知抛物线 y=ax2+bx+c 经过 A (- 3, 0), B (1, 0), C (0, 3)三点，其顶点 为 D，对称轴是直线 1,1 与 x

16、 轴交于点 H .(1) 求该抛物线的解析式；(2) 若点 P 是该抛物线对称轴 I 上的一个动点，求 PBC 周长的最小值；(3) 如图(2),若 E 是线段 AD 上的一个动点(E 与 A、D 不重合)，过 E 点作平行于 y 轴 的直线交抛物线于点 F,交 x 轴于点 G,设点 E 的横坐标为, ADF 的面积为 S.1求 S 与 m 的函数关系式；2S 是否存在最大值？若存在，求出最大值及此时点E 的坐标；若不存在，请说明理由.PB+PC+BCv BC 是定值，当 PB+PC 最小时， PBC 的周长最小，点 A、点 B 关于对称轴 I 对称，连接 AC 交 I 于点 P,即点 P 为

17、所求的点 AP=BPPBC 的周长最小是：PB+PC+BC=AC+BC-A (-3, 0), B (1 , 0), C (0, 3), AC=3 匚，BC= 厂；故厶 PBC 周长的最小值为 3 匚+ .丁.(3)抛物线 y=- x2- 2x+3 顶点 D 的坐标为(-1, 4) A (- 3, 0)二直线 AD 的解析式为 y=2x+6点 E 的横坐标为 m,. E (m, 2m+6), F (m,- m2- 2m+3)22 EF= - m - 2m+3-( 2m+6) = - m - 4m - 3y =2(10 _2x)x 28 - 2x2当.时,3比较以上两种剪折方法可以看出，按图a+b

18、+c=0解: (1)由题意可知：*9a - 3b+c=0Lc二3/2= - m - 4m- 3；S= - m2- 4m- 3= -( m+2)2+1 ；当 m=- 2 时，S 最大，最大值为 1此时点 E 的坐标为(-2, 2).学习好资料欢迎下载练习 2 如图，已知抛物线 y=ax2+bx+3 与 x 轴交于 A、B 两点，过点 A 的直线 I 与抛物线交于 点 C,其中 A 点的坐标是(1，0)，C 点坐标是(4, 3).(1) 求抛物线的解析式；(2)在(1)中抛物线的对称轴上是否存在点 D，使 BCD 的周长最小？若存在，求出点 D 的坐标，若不存在，请说明理由；(3) 若点 E 是(1)中抛物线上的一个动点，且位于直线 AC 的下方，试求 ACE 的最大面 积及 E点的坐标.解：(1)v抛物线 y=ax2+bx+3 经过点 A (1, 0)，点 C (4, 3)， .二 0 ，解得，116a+4b+3=3卩二所以，抛物线的解析式为 y=x2- 4x+3;(2)v点 A、B 关于对称轴对称，点 D 为 AC 与对称轴的交点时 BCD 的周长最小， 设直线 AC 的解析式为 y=kx+b (k 旳)， 则(k+b=，解得号，