群论在信号处理中的应用

1、群论在信号处理中的应用1 引言1.1 群论的历史与背景群论是法国传奇式人物埃瓦里斯特伽罗瓦（Evariste Galois，18111832）的发明。伽罗瓦是一位天才的数学家，但刚过 20 岁就不幸死于一场愚蠢的决斗。伽罗瓦在决斗的前一夜，还在匆匆完成他的伟大数学创造。他创建了群论，并用群论证明了代数方程能用根式求解的条件，证明了一般的五次和五次以上代数方程不能通过有限次加、减、乘、除和开方来精确求解。群在抽象代数中具有基本的重要地位：许多代数结构，包括环、域和模等可以看作是在群的基础上添加新的运算和公理而形成的。群的概念在数学的许多分支都有出现，而且群论的研究方法也对抽象代数的其它分支有重要

2、影响。群论的重要性还体现在物理学和化学的研究中，因为许多不同的物理结构，如晶体结构和氢原子结构可以用群论方法来进行建模。于是群论和相关的群表示论在物理学和化学中有大量的应用。1.2 群的定义以及基本性质首先来简要说明一下群的定义2：设G是一个非空集合，*是它的一个代数运算，如果满足以下条件：.结合律成立，即对G中任意元素a,b,c都有 (a*b)*c=a*(b*c)； .G中有元素e，它对G中每个元素a都有 e*a=a，叫做G的左单位元；G中有元素e，它对G中每个元素a都有 a*e=a，叫做G的右单位元；如果e既是左单位元又是右单位元，则e叫做G的单位元。 .对G中每个元素a在G中都有元素a(

3、-1)，叫做a的左逆元，使 a(-1)*a=e； 则称G对代数运算*做成一个群。 一般说来，群指的是对于某一种运算*，满足以下四个条件的集合G： （1）封闭性 ：若a,bG,则存在唯一确定的cG,使得a*b=c; （2）结合律成立 ：任意a,b,cG,有(a*b)*c=a*(b*c); （3）单位元存在 ：存在eG,对任意aG，满足a*e=e*a=a，称e为单位元，也称幺元; （4）逆元存在 ：任意aG,存在唯一确定的bG, a*b=b*a=e（单位元），则称a与b互为逆元素，简称逆元，记作a(-1)=b. 通常称G上的二元运算*为“乘法”，称a*b为a与b的积，并简写为ab。 若群G中元素个

4、数是有限的，则G称为有限群。否则称为无限群。有限群的元素个数称为有限群的阶。 1.3 群论在各领域的应用群论是近代数学的一个分支，它是研究群的结构及其应用的数学理论。是一门比较抽象的数学学科。因为它可以用于基本粒子、核结构、原子结构和晶体结构等许多学科的各个方面，因此它已成为近代理论研究的很重要的工具，如 ：在分子结构测定中，需要测定有关晶体结构、红外光谱、偶极距、旋光性等，这些性质主要是由分子的对称性决定的，而分子对称性的研究是以运用群论为基础的3。认识物质结构的最重要的理武器是量子力学，它对化学的应用便形成了量子化学，而群论架起了分子对称性和量子力学之间联系的桥梁。鉴于描述电子运动状态的波

5、函数必须构成分子所属点群的不可约表示的基，所以从分子的对称性出发，运用群论的方法，有助于解决结构化学和量子化学中的许多问题4群论在化学方面的应用很广泛，在应用于原子、分子结构问题上，但是它不能回答它们的所有结构问题，只能在一定程度上解决与分子对称性有关的那一部分问题，解决其它问题，还需要其它多方面的知识。科研工作者们也常常会遇到的很多工程结构物或者机械零件往往具有很多对称性。在过去利用计算尺进行计算时为了减少计算工作量，总是尽量利用结构的对称性质。结构分析的电子计算机方法出现之后，过去手算不能完成的高次超静定结构现在也能解算出精确的解答了。但是随着题目越来越允未知数个数很多，.存储量又显得不够

6、了。而且人们已经不满足于计算一个具体结构，而是进一步作设计，此时需要修改尺寸反复进行计算，计算工作也成为一个大问题了。另外，原始数据的穿孔也使人感到厌烦而容易出错。在这样的条件下结构对称性的利用又具有很大的兴趣了。对于空间结构的分析这个问题就变得比较突出。空间结构一般未知数很多，采用条形矩阵的存储带宽也比较大。存储量的消费比较大，计算工作量也很大，一般的小型计算机就解算不了。而且原始数据的准备也要用掉许多功夫。考虑到空间结构往往具有很多对称性，利用这些条件，可以得到很大利益。过去在结构力学中谈到对称性，往往都是指镜像对称，或者是完全的轴对称。但是现在有一些杆系空间结构，它既没有宪全的轴对称，然

7、而也不止单纯是一个镜像对称而已。对于这样一类对称性结构的分析就应当利用“群论”这个数学工具。利用群论来分析对称性在量子力学中早就应用了，但是在结构分析中还很少见到应用。但一些科研工作者还是采用了群论的数学工具，利用电子计算机解算了一些空间结构的课题6。可见，群论在结构分析中也能得到相应的应用。近年来,有人试图将群论引入到网络理论中,曾得到了一些结果。还有人以群论为工具,研究了网络理论中的双口网络集合,双口变换器集合,用群论的方法找出了它们之间的联系,为网络的设计和分析简化,寻找出有效的途径,同时也是群论的应用的一个新的领域。群论被广泛用于物理、化学及工程科学等许多领域，尤其是物理学成为受惠最多

8、的学科,从经典物理中对称性和守恒律的研究到量子力学中角动量理论及动力学对称性的探索再到同位旋、超荷和SU（3）对称性在现代基本粒子物理中的应用等无不闪耀着群论思想的光辉7。粗略地说，我们经常用群论来研究对称性，这些对称性能够反映出在某种变化下的某些变化量的性质。它也跟物理方程联系在一起。基础物理中常被提到的李群，就类似与伽罗瓦群被用来解代数方程，与微分方程的解密切相关。 在物理上，置换群是很重要的一类群。置换群包括S3群，二维旋转群，三维旋转群以及和反应四维时空相对应的洛仑兹群。洛仑兹群加上四维变换就构成了Poincare群。 另外，晶体学中早期的关于晶体的各种结构的问题中，也是靠群论中的费得

9、洛夫群的研究给出了答案。群论指出，空间中互不相同的晶体结构只有确定的230种。 时至今日，群的概念已经普遍地被认为是数学及其许多应用中最基本的概念之一。它不但渗透到诸如几何学、代数拓扑学、函数论、泛函分析及其他许多数学分支中而起着重要的作用，还形成了一些新学科如拓扑群、李群、代数群、算术群等，它们还具有与群结构相联系的其他结构如拓扑、解析流形、代数簇等，并在结晶学、理论物理、量子化学以至（代数）编码学、自动机理论等方面，都有重要的应用。正如美国著名数学史家贝尔（E.T. Bell，18831960）所说：“无论在什么地方，只要能应用群论，从一切纷乱混淆中立刻结晶出简洁与和谐。群的概念是近世纪科

10、学思想的出色的新工具之一。”从数学上说，群论继续以自身的规律向前发展。无穷维李代数，带参数的李代数，辫子群等各种新型和抽象的对称性质不断发现和得到深入研究。从物理上说，许多新发现的物质相互作用规律，需要根据群论方法，从对称性研究中获得启示。用群论方法发现的物理系统中隐藏的对称性，大大促进了物理实验和理论的发展。群论方法已成为在物理学第一线从事创新研究的必备数学工具。2 用群论的基础知识理解信号处理中的一些基本概念探索信息技术与计算技术的数学基础，是人类应用已有的数学理论与方法解决相关领域实际问题的过程. 信号处理技术的本质就是将信号视为数学中的函数，用积分变换、泛函分析、数值计算、复变函数论、

11、随机过程等数学工具研究信号。下面运用抽象代数中群论的一些初步的知识帮助理解信号处理课程中的一些基本概念。2.1 时域和频域信号空间的群同构关系2.1.1 将时域和频域信号空间视为两个幺半群在信号处理学科中把随时间变化的信号称为时域信号，时域信号实质上就是时间的函数，自变量用t表示. 信号可类比函数的概念，可以借助数学中研究函数的工具研究信号,其中一条途径就是对时域信号作Fourier 积分变换得到信号的象函数即频谱(自变量通常用表示)，研究其频域的特点。理论上讲，函数或信号的Fourier 变换存在是有条件的，但实际工程问题中信号的Fourier 变换的存在性问题可以忽略，因为物理可实现性是变

12、换存在的一个有效的充分条件。当引入广义函数(t) 后，Fourier变换存在的函数或信号更加扩展。鉴于此，本文仅讨论Fourier 变换存在的信号，并且Fourier 变换是可逆的。用以下记号表示Fourier 变换：式中f(t)是时域原信号，F() 是f(t) 的频谱。幺半群是一种基本的代数系统，它的定义如下：设在非空集合G内定义了一个二元运算(称为“乘法”)，且满足两个条件: (1) 该运算满足结合律，(2) 存在单位元(幺元)，则称G为一个幺半群。下面说明当适当定义时域和频域信号空间对于各自的运算后，它们分别都可以构成幺半群。对于时域信号空间，可以将卷积视为一个二元运算。首先根据卷积的运

13、算性质可知卷积满足结合律；然后考虑幺元，按照Dirac 对冲激函数(t) 的定义，任何函数与(t) 作卷积都是其自身，即对于任何信号f(t) 都有因此对于卷积运算存在单位元(t)，时域信号空间构成一个幺半群。2.1.2 讨论以上两个空间构成群的情况对于频域信号空间，可以将普通的乘法视为一个二元运算。由于普通乘法满足结合律,所以频域信号空间自然满足结合律。频域信号中的白色谱就是单位元,因为任何信号乘以1 都不变。因此在乘法意义下频域信号空间关于幺半群的定义两个条件都满足，即频域信号空间也构成一个幺半群。群和幺半群的区别在于群在幺半群的基础上还需存在逆元。首先考虑频域信号空间,对任一频谱F() 欲

14、在此空间中找到一个H() ,使得 （4）从数学的角度分析，一个函数可能存在零值，若存在某一0 使得F(0 ) = 0 时，无论H() 取何值都不可能使(4) 式成立. 而在实际应用中往往不这么严格,此问题通常有以下两种处理方式：(1) 当F() 是有理分式时，如分析大多数系统函数的时候，可将H() 取成F() 的倒分式，此时H() 与F() 零、极点相消。(2) 重新定义F() 在0 及其附近的取值，如图像处理技术中的逆滤波技术。在做图像的恢复时，可将图像的退化过程看作是原图像通过一个系统，这个系统的系统函数不设零点。以上两种方法均能有效地同避零点问题，因此在解决实际问题时通常认为可以找到H(

15、) 使得(4)式成立，有时也可写成： （5）考虑时域信号空间逆元的情况,为求任一时域信号f (t) 的逆元，不妨设h (t) 满足通过取Fourier 变换将上式转换剑频域,得到(4) 或(5) 式,求得H()，然后对H() 取Fourier逆变换即可得f(t) 的逆元h(t)。另外也可以通过时域反卷积求出h(t)。当考虑具体应用时，时域信号空间和频域信号空间都可看作是满足逆元条件的,即二者分别都构成群。 (4) 式虽然形式简单却有重要的物理意义,当两个系统的系统函数互为逆元时(就是常说的倒数关系) ,这两个系统就称互为逆系统，它们的零点和极点有准确的对应关系。利用逆系统可以实现逆滤波、系统辨

16、识、网络综合等功能。2.1.3 时域和频域信号空间的同构关系信号处理中熟知的结论“时域卷积对应于频域相乘”就是指Fourier变换的卷积特性,即对于任意两个时域信号f(t)、h( t)，它们卷积后的Fourier 变换与频谱F()、H()有如下关系： （7）用数学的语言解释就是：在时域的卷积运算和频域的相乘运算下，Fourier 变换构成了从时域信号空间到频域信号空间的同态映射；同时Fourier 逆变换也构成了从频域信号空间到时域信号空间的同态映射。在引入了(t) 之后，Fourier 变换建立了时域信号空间和频域信号空间之间的一一对应，即Fourier 正、逆变换互为逆映射. 当两个信号空

17、间之间存在一一对应时，它们就是同构的。下面从这个角度出发来理解信号处理中的一些基本概念。2.2 时域和频域信号空间的群同构关系的应用2.2.1 同态映射的应用在学习信号与系统等课程时要对Fourier 变换的一些性质推导，下面运用上面得出的结论比较一下不同的推导方法。(7) 式的同态关系表明在时域内计算两个信号的卷积和频域内两个信号的乘积是等价的，在计算信号的频谱时利用这个结论有时可使计算简便。例如导出Fourier 变换的延迟性质： （8）其中t0 是延迟的时间. 可以先将f(t-t0) 视为f(t)*(t-t0)，然后将两者的频谱相乘，即：因此(8) 式得证。又如推导Fourier 变换的

18、时域微分性质(其中j 为虚数单位) : （9）欲求f(t) 的频谱可以先将f(t) 视为(t)*f(t) ,其中(t) 是(t) 的导函数，然后将两者的频谱相乘，即因此(9) 式得证.对比上述的推导和信号处理课程的教材，不难发现这种方法相对简洁。2.2.2 群同构的应用在抽象代数中关于互相同构的两个群有两条重要的性质：(1) 如果其中一个群的二元运算满足交换律和结合律，则另一个群也满足交换律和结合律。(2) 一个群的单位元、逆元可分别映射到另一个群的单位元、逆元。通过性质(1)可以解释卷积的运算性质。由于卷积和普通的乘法是时域和频域中两个互相对应的运算，而普通的乘法运算满足交换律和结合律，根据

19、这条性质便可得知卷积运算也应该满足交换律和结合律。通过性质(2)可以帮助我们理解时域和频域信号的幺元、逆元对应关系。(t)和1 分别是时域和频域信号空间的单位元,在Fourier 变换下,它们正好构成一对时域到频域的映射,因为一个群的单位元恰好对应另一个群的单位元。逆元的对应关系也是显然的,在(4)式中H()是F()的逆元，当对(4) 式作Fourier 逆变换得到(6)式时，对应于时域中h(t)就是f(t)的逆元,这就是两个群中的逆元相互对应的体现。3 一种信号多辨分析的新方法小波分析由于其在时域和频域的局域性能好,在信号处理时可得很好的结果，特别对一维信号的处理. 小波研究包含理论研究和应

20、用研究两大类,前者以Meyer Y，Chui C K，Daubechies I等人为代表，其研究成果如各种小波，各种框架理论等均富有特色；后者以Wichhauser M V 等人为代表，在科技信息领域取得了令人瞩目的成就。伴随GHM 多小波的成功构造，多小波，已成小波理论研究的新热点，引起了来自数学界、工程界等领域的科学家及研究者们的浓厚兴趣。多小波之所以受到世人的瞩目,主要原因是它既保持了单小波的诸多优点，又克服了单小波的缺陷，实际应用中可以把十分重要的光滑性，紧支性，对称性等完美地结合在一起。 众所周知，在图象处理的应用中,正交性能保持能量;对称性(线性相位) 既适合人眼的视觉系统，又使信

21、号的边界易于处理；紧支撑的小波对应的滤波器是有限脉冲响应( FIR) 的滤波器，使得相应的快速小波变换的和是有限和，小波的光滑性在数据压缩中也起着重要作用,构造同时具有如上优良性质的小波是理论研究者追寻的目标之一. 然而理论上完美的多小波在实际应用于中仍存在很多问题，如对信号处理需首先进行预滤波，而预滤波又会破坏所设计的多重小波的特性等,这为多小波理论的应用带来巨大的难题。为了解决这一难题，迄今已有许多学者对此进行了研究，并给出了相应的预滤波设计。目前小波理论还需要解决如下问题:(1) 小波的基础理论与方法研究。除一维小波理论较为成熟外，高维小波，向量小波理论与人们的期待尚相距甚远，对各类小波

22、(如正交小波，二进小波，连续小波，离散小波) 的构造和基本性质的研究尚不充分。(2) 关于最佳小波基的选取原则，目前仍缺乏系统规范的方法。(3) 离散小波分析目前主要用单尺度函数，因此处理时也可能丢失很多有用的信息。而且尺度函数构造比较复杂，信号的逼近精度不好估计。利用有限元和群论方法构造与离散小波类似基于正交有限元基的有限元多辨分析理论，可以用于信号处理。3.1 基本理论定于局域函数：设函数周期区域为0xL，利用平移算子Cin，i=0,1，2,，n-1，将定义局域0xL/n的函数扩展到整个周期区域的那个基函数，设构造有限元空间可以将函数分解为高频和低频：虽然有限元可以实现空间的细分，但是求解比较困难，因此，利用群论方法将有限元空间正交化。阿贝尔群，利用算子可以得到群上空间的正交基为：其中：于是在有限元空间中找到正交有限元基：上述函数满足3.2 有限元多辩分析理论考虑一般函数在有限元空间的分解，应用最小二乘法有其中：正交函数基构成周期区域有限元的完备系，因此，在周期区域中用正交有限元基逼近与有限元逼近时一致的。对于一般非周期区域可以应用周期扩展使其成为周期区域，由于用正交有限元逼近本质上是有限元逼近，所以精度估计可以沿用有限元的方法。 现在考虑一般函数在分解和分解的关系，应用最小二乘法可得：其中设：上式可