高中数学必修5之解三角形(教师版)

1、高中数学必修5第一单元解三角形【第一部分】基础知识提要a b csin A sin B sin C1.1正弦定理和余弦定理1、正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即a b c正弦定理推论： =2R （ R为三角形外接圆的半径）sin A sin B sin C a=2RsinA, b=2RsinB, c=2RsinCasin A bsin B asin Absin B' csin C' csin C a:b:c =sinA:sin B:sin Ca b ca b c=sin A sin B sinC sin A sin B sin C2、解三角形的概念：一般

2、地，我们把三角形的各个角即他们所对的边叫做三角形的元素。任何一个三角形都有六个元素：三条边 （a,b,c）和三个内角（A, B,C）.在三角形中，已知三角形的几个元素求其他元素的过 程叫做解三角形。3、正弦定理确定三角形解的情况图形关系式解的个数A角关 锈A4 R£ /a业 a =bsin Aa 2b一解zAbsin A <a < b两解.4b %4Ba <bsin A无解A为r»Va >b一解钝角A-nn或直角ABbRa <b无解4、任意三角形面积公式为:S ABC111abc=bcsin A = - acsin B =- absin C =

3、2224R1.1.P(p余 敏如理 b)(p_c)r2-(a b c)=2R sinAsinBsinC25、余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍，即2.2222222.2a =b +c -2bccosA, b =a +c 2cacosB, c =a +b -2abcosC .222222222人 ,人b c -aa c -ba b -c余弦te理推论： cosA =, cosB =, cosC =2bc2ac2ab6、不常用的三角函数值15°75°105°165°sinuv16 -726 6 +72

4、66 十J26 6 - V 24444cosot44V6 +724_/6+/|4tan a2如2+禽-2-V32 +<131.2应用举例(浏览即可)1、方位角：如图1,从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角。2、方向角：如图 2,从指定线到目标方向线所成的小于90°的水平角。(指定方向线是指正北或正南或正西或正东)3、仰角和俯角：如图 3,与目标线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方时叫做仰角，目标视线在水平视线下方时叫做俯角。(1)方位角 (2)方向角(3)仰角和俯角(4)视角(5)坡角与坡比4、视角：如图4,观察物体的两端，视线张开的角度称为视

5、角。5、铅直平行：与海平面垂直的平面。6、坡角与坡比：如图5,坡面与水平面所成的夹角叫坡角,h坡面的铅直高度与水平宽度的比叫坡比.i =一l【小结及补充】1、三角形三角关系： A+B+C=180 ; C=180° -(A+B);2、三角形三边关系： a+b>c; a-b<c3、三角形中的基本关系：sin(A B) =sinC, cos(A B) = -cosC, tan(A B) = -tanC,. A B C A B .C,A B ,C sin= cos ,cos= sin ，tan= cot 一R为AAB C的外接圆的半径，则2222224、正弦定理：在 AABC中，

6、a、b、c分别为角 A、B、C的对边,有a = b= -c = 2R .sin - sin B sin C5、正弦定理的变形公式:化角为边：a=2RsinA, b=2RsinB, c = 2RsinC；化边为角：sin a =-a-, sinB=-b-, sinC=-c-; 2R2R2RD a: b: c=sinA ：sin B :sin C ;a b ca bsin.A.+sin R，sin C sin A sin Bcsin C6、两类正弦定理解三角形的问题:已知两角和任意一边，求其他的两边及一角已知两角和其中一边的对角，求其他边角.（对于已知两边和其中一边所对的角的题型要注意解的情况解、

7、两解、三解） 7、余弦定理：在 &ABC 中，有 a S=- aha- -bhb- - chc （hb.，分别表示白、b.匚上的高）； 222 （2）S = - ob5inC= -bcsin = - acsinB：222 （3）§ = 口. 3出 ByinC _1'inC-n乂 _ 匚三 sin H-ii"- 2sin（C +J） - 2疝（十 0： S = 2/?asinAsin8sinCoR 为外接圆半径） S="AR.、i （< 6 ） S= >!p（p -因）（口 一心）S - e） ： p - -4- + r）12、三角形的四

8、心：垂心一一三角形的三边上的高相交于一点 =b2+c22bccosA, b2 = a2+c2-2accosB , c2 =a2 +b2 -2abcosC .22222.22.22b c -a - a c-b - a b -c8、余弦 7E 理的推论：cos A = , cosB= , cosC = .2bc2ac2ab（余弦定理主要解决的问题：1.已知两边和夹角，求其余的量。2.已知三边求角）9、余弦定理主要解决的问题：已知两边和夹角，求其余的量。已知三边求角）10、如何判断三角形的形状：判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化，统一成边的形式或角的形式设a、b、c是&XBC的角

9、A、B、C的对边，则：若 a2 +b2=c2,则 C =90 ；若 a2 +b2 >c2,则 C <90 ；若 a2+b2 <c2,则 C >90 .11、三角形面积公式：重心一一三角形三条中线的相交于一点（重心到顶点距离与到对边距离之比为2:1 ）外心一一三角形三边垂直平分线相交于一点（外心到三顶点距离相等）内心一一三角形三内角的平分线相交于一点（内心到三边距离相等）13、三角函数中 诱导公式及辅助角公式（和差角、倍角等）。特殊角的二的函数精柏度比0:4 v60°150 ISO *37#'浓°a的力度04J1TJ5T£ T6甯?T

10、sin aQJ_至立1w2起 j22U- 10CO Sq1在2旦I4I匹三，-101tun «fj正I一 1一100【第二部分】典型例题及常考题型精讲考察点1:利用正弦定理解三角形例1在 IABC 中，已知 A:B:C=1:2:3,求 a :b :c.【点拨】本题考查利用正弦定理实现三角形中边与角的互化，利用三角形内角和定理及正弦定理的变形形 式 a :b :c=sinA: sinB: sinC 求解。：'A： B：C =1:2:3，而A +B+C =n.£:1.g3:2.1a:b: = sin A:sin B:sinC = sin ： sin:sin=-6322【

11、解题策略】要牢记正弦定理极其变形形式，要做到灵活应用。例2在ABC中，已知c=T2+褥，C=30° ,求a+b的取值范围。【点拨】 此题可先运用正弦定理将a+b表示为某个角的三角函数，然后再求解。a b c2 .6解：. C=30° , c=&+通，.由正弦定理得:sin Asin Bsin Csin 30"1- a=2(侦+ J6)sinA,b=2(拒+'6)sinB=2( &+J6)sin (150° -A).a+b=2(亚+ V6)sinA+sin(150 ° -A)= 2(亚+而) 2sin75 ° c

12、os(75 ° -A)=_ 2,I ,6 cos(75-A)。 o , (V2 + V6)2当75 -A=0 ,即A=75时，a+b取得最大值=8+4 -.=180° -(C+B)=150 ° -B, .Ac 150° , 1. 0° vAv 150° , -75v 75° -Av 75° , cos75 ° v cos(75 ° -A) < 1 ,(V2+76 2, >cos75- 2. 6 - . 2(五十而 =正+而综合可得a+b的取值范围为（J2+芯,8+46>考察点2

13、:利用正弦定理判断三角形形状例322在 ABC中，a - tanB= b tanA ,判断三角形ABC的形状。【点拨】通过正弦定理把边的关系转化为角的关系，利用角的关系判断ABC的形状。解：由正弦定理变式 a=2RsinA,b=2RsinB 得：2 sin B2 sin A2R sin A = 2R sin B cos Bcos A ,sin AcosA =sin BcosB,即 sin2A = sin2B,2A = 2B或2A+2B = n ,，二 A = B或A + B =2 . 1ABe为等腰三角形或直角三角形。【解题策略】“在 ABC中，由sin2A=sin2B得/ a=/ b”是常犯

14、的错误，应认真体会上述解答过程中“/nA=Z B或/ A+/ B= 2 ”的导出过程。在 ABC中，如果1g algc = 1gsin B = lg J2,并且B为锐角，试判断此三角形的形状。【点拨】通过正弦定理把边的形式转化为角的形式，利用两角差的正弦公式来判断ABC的形状。解:：*1g sinB "1g 2,.sinB 二上2又B为锐角，B=45°1g a 1g c = -1g V2,得 c = -1a 2sin A _、2由正弦定理，得sinC 2 ,.A =180f5、C,代入上式得: .2sinC =2sin 135 -C =2 sin135 cosC -cos1

15、35 sinC=2cosC ,2sinC,cosC =0, C =90 , A =45 .LIabc为等腰直角三角形。考察点3:利用正弦定理证明三角恒等式例52.2a -b,22b -c在 ABC中，求证 cos A cosB22c -a -二 0cosB cosC cosC cos A2.22【点拨】观察等式的特点，有边有角要把边角统一，为此利用正弦定理将a, b, c转化为 22 _2 一sin A,sin B,sin C.证明：由正弦定理的变式a=2Rs1nA，b = 2Rs1nB得：acos A cos B(cos2 B -cos2 A)2 =4R (cosB -cosA)cos A

16、cos Bb2 ,c2 2=4R (cosC - cosB), cosB cosC22c - a2=4R (cos A - cosC). 同理 cosC - cos A二 左边=4R2(cosB -cosA + cosC -cosB +cosA-cosC) =0 =右边.等式成立。【解题策略】在三角形中，解决含边角关系的问题时，常运用正弦定理进行边角互化，然后利用三角知识 去解决，要注意体会其中的转化与化归思想的应用。例6 2在 ABC中，a,b,c分别是角A,B,C的对边，C=2B求证c -b = ab .【点拨】本题考查正弦定理与倍角公式的综合应用证明：A B C =180 , B C =

17、180 -A.又7C =2B,. C B = B.：'sin(B C) =sin(180 - A) =sin A,c2 -b2 = 4R2 (sin2 C-sin2 B)=4R2 (sin C sin B)(sin C 一 sin B)2 B C C -B B C C -B =4R *2sin*cos*2cos*sin 2222= 4R2 sin(C + B)sin(C 一 B) =4R2sin Asin B = ab =右边.J.等式成立.【解题策略】有关三角形的证明题中，要充分利用三角形本身所具有的性质。 -b2= 4R2sin2 A4R2sin2 Bcos A cos B cos

18、 A cos B4R2(1-cos2A) -(1- cos2B)(1) A+B +C =n,A + B =n C,乃B =三C ,2A + 22 22B =2二-2C.(2)sin(A B) =sinC,cos(A B) = -cosC,tan(A B) =tanC.A B C A B . C x A B (3)sin = cos ,cos =sin , tan一22222+ C cot .2 (4)sin(2 A 2B) = -sin 2C,cos(2 A 2B) = cos2C, tan(2A 2B) = -tan2C.考察点4:求三角形的面积例7a 2, C ,cos ,求 ABC的面积

19、S.在 ABC中，a,b,c分别是三个内角 A,B,C的对边，若425【点拨】先利用三角公式求出sinB,sinA 及边c,再求面积。B 2.52 B 3cos - = cos B = 2cos - -1 =一,解：由题意 1Sabc absin C = l_2Rsin Al_2Rsin Bgn C解：225 ,得2543二 7.2.sin B = ,sin A =sin(真 一B - C) = sin( B)=.B为锐角，541010c 二 一由正弦定理得7-1.-S = - acsin B110 4=2 一,并能灵活应用,兀C 二一3 ,求 ABC的面【解题策略】在 ABC中，以下三角关系

20、式在解答三角形问题时经常用到，要记准、A B C =二,sin( A B) =sin C,cos( A B) = -cosC;sin2C A B . C cos ,cos= sin .222例8已知 ABC中a,b,c分别是三个内角 A,B,C的对边， ABC的外接圆半径为12,积S的最大值。【点拨】本题主要考察正弦定理与三角形面积公示的综合应用。,3R2sin Asin B = R2cos( A B) cos(A B)=立 R2cos(A B) 1. 22当cos(A-B) -1,gPA-BB,(SabC )max =R2 =|_144 =108、. 3.44【解题策略】把三角形的面积公式和

21、正弦定理相结合，通过讨论三角函数值的取值，求得面积的最大值。 考察点5:与正弦定理有关的综合问题例9已知 ABC的内角A,B极其对边a,b满足a * b = acot A* bcot B,求内角C【点拨】本题主要考察解三角形中的正弦定理、和差化积公式等基础知识，考察运算能力、分析能力和转 化能力。解法1:a +b = a cot A +b cot B,且一a = b = 2Rsin A sin B(R为 ABC的外接圆半径)，sin AcosA =cosBsin B, 1sin 2A = 1cos2B.cos2A -cos2B = 0又'；sin2A-sin2B =2cos(A B)s

22、in(A-B).cos(A B)sin(A-B) =0,.cos(A B) =0或 sin(A-B) -0.A + B = 一或 A = B又A,B为三角形的内角，2'nn当 A + B=一时，C=一;22jijicot A =1, A B = , C =.当A = B时，由已知得42C 二一综上可知，内角2 .解法2:由a +b = acot A + bcot B及正弦定理得， sin A sin B=cos A cosBsin A -cosA =cosB -sin BJTJTJTsin Acos - -cosAsin = cosBsin - -sin B cos, 从而4444si

23、n(A _ ) = sin(- - B).即 44n JT.A - = - B,又 0v A+B< % ,44jin.A B = ,. C =. 22【解题策略】切化弦、边化角是三角关系化简的常用方法，熟练运用三角恒等变换公式是解题的关键。 例10cos A _ b在 ABC中，A, B, C所对的边分别为 a,b,c,且c=10, cos B a43 ,求a,b及 ABC的内切圆半径。【点拨】欲求边，应将已知条件中的边角统一，先求角再求边。解:.cos A b 由=一,可得cosB acos A _ sin BcosB sin A变形为 sin AcosA = sin B cosB,.

24、 sin2A =sin2BJT二b,. 2A =-2B,. A B =2.ABC是直角三角形。由 1a 3, 解得 a =6,b =8.二|_ABC的内切圆半径为 r= a +b-c =6*8-10 =222【解题策略】解此类问题应注意定理与条件的综合应用。【易错疑难辨析】易错点 利用正弦定理解题时，出现漏解或增解【易错点辨析】本节知识在理解与运用中常出现的错误有：（1）已知两边和其中一边的对角，利用正弦定理求另一边的对角时，出现漏解或增解；（2）在判断三角形的形状时，出现漏解的情况。例1（1）在 4ABC 中，a=2 而b=6,A=30：求 B; 在 4ABC 中，a=2 6,b=2,A=6

25、0：求 B；【错解】(1)(2)sin Asin B = b 由正弦定理得ac sin 60=2 :2 3B =30 喊 150 =【点拨】sinB-(1)漏解，由2(0v B<180° )可得=60瞰120口因为b>a,所以两解都存在。(2).-1sin B =一增解。由2 (0。v Bv180° )可得B = 30或1500，因为bv a,根据三角形中大边对大角可知BvA,所以B=150 口不符合条件，应舍去。(1)由正弦定理得sin A sinB = b -a巾 sin30 3=62、32sin A . sin30 3sin B = b 6,. B = 6

26、0由正弦定理得a2 32又 0° < B< 180°二B =60域120 (经检验都符合题意)sin B =bsin A(2)由正弦定理得sin6022.32又0 vB< 1800，B=30或 150口 b< a,根据三角形中大边对大角可知Bv A,B =150 口不符合条件，应舍去，B = 30,易错点忽略三角形本身的隐含条件致错【易错点解析】解题过程中，忽略三角形本身的隐含条件，如内角和为180。等造成的错误。例2C在 ABC中，若C =3B，求b的取值范围。【错解】由正弦定理得c _ sin C _ sin 3B _ sin( B 2B)b s

27、in B sin B sin B_ sinBcos2B cosBsin2B sin B= cos2B 2cos2 B =4cos2 B -1.70 <cos2 B <1. - 1 <4cos2 B -1 <3,. 0 _ c < 3 bc2匚二4cos B -1【点拨】在上述解题过程中，得到了 b后，忽略了三角形的内角和定理及隐含的A，B，C均为 正角这一条件。【正解】由正弦定理可知c sin C sin 3B sin( B 2B) =二二b sin B sin B sin B_ sin Bcos2B cos Bsin 2B sin B22= cos2B 2cos

28、 B =4cos B -1.；A + B+C=180 1C =3B.二0 V B<45° ,2 V cosB v 1.c2.,K 4cos B-1 <3,故 1v b <3.【高考真题评析】例1（2010 广东高考）已知a, b, c分别是 ABC的三个内角 A B, C所对的边，若a = 1，b = J3，A + C = 2B，贝U SMC =【命题立意】 本题主要考察正弦定理和三角形中大边对大角的性质，解题的关键是确定角C的值。asin B _ 1B sin A _ ,【点拨】在4ABC中，A B C ="，又A + C =2B ,故 3 ,由正弦定理

29、知b 2又aB二A =上C =一<b,因此 6从而可知2 ,即sinC =1。故填1.【名师点评】 解三角形相关问题时，应灵活掌握边角关系，实现边角互化。 例2-2二b = 1,c =、.3, C =,（2010 北京高考）如图1-9所示，在 ABC中，若3则 a 二.【命题立意】本题考查利用正弦定理解决三角形问题，同时要注意利用正弦定理得到的两解如何取舍。,31.1, Sin B .2 二sin B2sin 一【点拨】由正弦定理得，3.C为钝角，B必为锐角，nJi.B = . A = . a =b =1. 66故填1【名师点评】1在 （0,兀）范围内, 正弦值等于 2的角有两个，因为角

30、 C为钝角，所以角 B必为锐角，防止忽略角的范围而出现增解图1-9d.M3（2010 湖北高考）在 ABC 中，a =15，b =10，A = 60：则 COSB 等于（）a 2 .2A.3【命题立意】本题考查正弦定理及同角三角函数基本关系式，解题的关键是确定角B的范围。1510sin60 - sinBsin B =10Lsin601515A=60°, b【点拨】由正弦定理得【名师点评】根据三角形性质大边对大角准确判断角B的范围，从而确定角 B的余弦值。例4AC cosB(2010 天津高考)在 ABC中，AB COSC1cu a _ _ sin 4B + I 若3,求I 3，i的值

31、。【命题立意】本题主要考察正弦定理、两角和与差的正弦公式、同角三角函数的基本关系、二倍角的正弦 与余弦等基础知识，同时考察基本运算能力。sin B _ cosB证明：（1）在 ABC中，由正弦定理及已知，得 sin C cosC。于是 sin BcosC -cosBsinC =0,即 sin（B -C ） = 0.因为一nv B-Cv冗,从而B-C=0,所以B=C .1cos 2B = - cos d。2B = - cos A =-解：（2）由 A+B+C=n和（1）得 A = n2B,故、'3又0v 2BV冗,2,2._4.2sin2B = .1 - cos 2B = sin4B =

32、2sin 2Bcos2B :227cos4B = cos 2B -sin 2B = - 一9 。所以sin 14B =sin4Bcos=334, 2 -7,318是3从而9 ,【名师点评】（1）证角相等，故由正弦定理化边为角。（2）在（1）的基础上找角 A与角B的函数关系，在求2B的正弦值时要先判断 2B的取值范围。【第三部分】习题精炼1. 1. 1正弦定理第1课时正弦定理（1）知识点一已知两边及一边的对角解三角形.,11 .在 4ABC 中，a = 3, b = 5, sinA=.,贝 U sinB=()3.155A. 5 B. 9 C. g D. 1答案 Ba b 355斛析 由而A=痛，

33、知广靛，即sinB=9.故选B.32 .在 ABC 中，若 A= 120°, AB=5, BC = 7, WJ sinB=答案3 ；314解析AB BC由正弦止理，行sinC = sinA，即 sinC_ABsinA_5sin120_ 1二=BC =7= 14 .由题意可知C为锐角，cosC = 1- sin2C=-14. .sinB = sin(180 二 120° C) = sin(60 -C)= sin60 CosC-cos60sinC=33.14知识点二已知两角及一边解三角形3 . 一个三角形的两内角分别为45°与60°,如果45°角所

34、对的边的长是6,那么60°角所对 的边的长是（）A. 3m B. 3亚 C. 3陋 D. 2加答案 A6 x解析设60°角所对的边的长为x,由就5一左60$6sin60八 36X22-x= sin45 0 24 .在4ABC 中，a, b, c 分别是角 A, B, C 的对边，若 A= 105°, B=45°, b=2R,则 边 c=.答案 2解析 由 A+ B+C=180°,知 C=30°,士 c b 小 bsinC 22X2 .由sinCsinB,. c sinB 一 加 一2万知识点三 判断三角形解的个数5 . ABC中，b=

35、30, c=15, C = 26°,则此三角形解的情况是（）A. 一解 B.两解 C.无解 D.无法确定答案 B解析 . b=30, c= 15, C=26°, . .c=bsin30 >bsinC,又 c<b,如图，:此三角形有两解.6.在 ABC中，a = 80, b= 100, A=45°,则此三角形解的情况是（）A. 一解 B.两解C. 一解或两解 D.无解答案 B解析 : bsinA<a<b, .,此三角形有两解，故选B.7.已知在 ABC中，内角A, B, C所对的边分别为a, b, c, A=60°, b = 4/3

36、,若此三 角形有且只有一个，则a的取值范围是（）A. 0<a<4/3B. a= 6C. a>4V3或 a = 6 D. 0<a<473答案 C解析 当a= bsinA=4，3x当=6时，ABC为直角三角形,有且只有一解；当a> b= 4小时，此三角形只有一解，止匕时B&A=60°.综上，a>443或a = 6时，此三角形有且只有一解.故选C.易错点一忽视三角形中的边角关系8 .在4ABC 中，内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c, a=15, b= 10, A=60°,则 cosB =()A.萼B.弩C.*D.

37、 当易错分析本题在求出sinB=¥后，对cosB的符号判断不清,误选A或C.答案 D解析 根据正弓S定理号=号，得sinB = bs* 萼，又a>b,所以角B为锐角，所以 sinA sinBa 36 cosB= & .故选 D. 39 .在 ABC 中，已知 a = 2V3, b=2, A=60°,则 B =.1易错分析由sinB = 2,得B = 30或150 ,而忽视b=2<a = 2/3,从而易出错.(2)在求出角的正弦值后,要根据“大边对大角”和“内角和定理”讨论角的取舍.答案 300解析由正弦定理,得sinB xsi"2Xsn60 =

38、 2.0°<B<180°,下二？。或 B=150°. b<a,根据三角形中大边对大角可知 B<A,七:化。不符合条件，应舍去，. = 30°.易错点解三角形时忽略对角的讨论10.已知在 ABC中，a=小,b=42, B = 45°,求角A, C和边c.易错分析 本题易出现求出角A的正弦值后默认A为锐角,从而漏解A= 120。的情况.解 由正弦定理 1旦7=，得": *二乡 sinA sinB' sinA sin45 ' .sinA=, . . A= 60 或 A= 120 .0 V2 + V6.

39、 bsinC 杂+V2= A , c= -o 4' sinB 2当 A= 60°时，C=180°45 60 =75°.sin75 =sin(30 445°)=sin30 Cos45 °+ cos30 sin45.6 ,2 bsinC 6 ,2 c 当 A= 120°时，C=180°45 120 =15°.一sinBsin15 =sin(45 二30°)=sin45 Cos30 cos45sin30。一6+ 2 ,、 。一. A=60 , C=75 , c= " 2 1 或 A=120 ,

40、 C=15付包cc 一、选择题1 .在钝角三角形 ABC中，AB=m, AC=1, B = 30°,则角A的大小为（）A. 120° B. 450 C. 300 D. 15°答案 CAB AC3.解析 由于；;二=心，将AB=j3, AC=1, B=30代入，求得sinC= 9 .又由 ABC sinC sinB2是钝角三角形，知C=120°,所以A=30°.故选C.2 .在4ABC中，角A, B, C所对的边分别为a, b, c,若A=30°, a = F,则AABC的 外接圆的半径为（）A. 1 B. 2 C. V3 D. 2g答

41、案 C解析 由正弦定理，得2R=-? = W= 2平,则R=3.故选C. sinA 1123 .在 ABC中，一定成立的等式是（）A. asinA=bsinB B. acosA=bcosBC. asinB=bsinA D. acosB=bcosA答案 C解析 由正弦定理 snA=sbB=snC，得asinB=bsinA.4.在 ABC中，已知b = 40, c= 20, C = 60°,则此三角形的解的情况是（）A.有一解B.有两解C.无解D.有解但解的个数不确定答案 C40X走解析 由正弦定理.c0,得sinB= bs，nC= = 3>1. B不存在.即满足条 sinB si

42、nCc 20件的三角形不存在.5.在4ABC中，内角A, B, C所对的边分别为a, b, c.若C=120°, c=3a,则（）A. a>bB. a<bC. a=bD. a与b的大小关系不能确定答案 C解析由正弦定理可得号=卷=隼= 2a.sinA sinC 3"2"1所以sinA=2，又显然A为锐角,可得A=30 .所以B=180°AC = 30°,所以2=> 故选C.、填空题6.在 ABC 中,答案1解析设a= 4k,b = 3k, c= 5k(k>0),由正弦定理，得2sinA-sinB 2X4k 3ksinC7

43、: 1 .5k7.在 ABC 中, 则边b的值为角A, B, C的对边分别为a, b, c,已知A= 75°,答案 2 3解析 因为A=75°, B = 45°,所以C = 60°,由正弦定理可得b =2噜 sinC8.锐角三角形的内角分别是 A, B, C,并且A>B.下面三个不等式成立的是 sinA>sinB； cosA<cosB; sinA+ sinB > cosA+ cosB.解析0<b<a<2c&函数 y= sinx 在 b, 2卜是增函数，sinA>sinB,故成立.函数y=cosx在区

44、间0,可上是减函数，. A>B,cosA<coSB,故成立. .万万在锐角三角形中，- a+b>2，-a>2-b,则有 sinA>singBJ,即 sinA>cosB,同理sinB>cosA,故成立.解答题9.在 ABC中，已知c=10, A= 45°, C = 30°,解这个三角形. A=45°, C = 30°, a B=180 -(A+C) = 105°.sinA sinC=.=10*加45sinC sin300=10业,b c由. D = - c ,得 b = sinB sinC'csi

45、nB 10Xsin105sinC sin30。 。二 20sin75 :22sinAsinB已知 a：b：c=4：3： 5,则诋=. sin75 =sin(30 445°)=sin30 Cos45°+cos30°sin45小+机V2+V6 .5/24, , , b 20 入 4 5y 210.在 ABC 中, 求cosA的值；a= 3, b= 2乖,/B=2/A.求c的化解（1）因为a = 3,b=276, /B = 2/A,由正弦定理，得焉=延，2sinAcosA 2_i66所以-A=3故cosA=(2)由(1),知 cosA=W， 3所以 sinA= coS2

46、A=尊321又因为/ B = 2/A,所以 cosB = 2cosA1 3所以 sinB=他co$B = , 3在 ABC 中，sinC=sin(A+B)5.3= sinAcosB+cosAsinB= Q .9asinC 厂所以c=,= 5第2课时正弦定理知识点一正弦定理的变形及应用1 .在AABC 中，A A, B, C 所对的边分别为 a, b, c.若 acosA=bsinB,则 sinAcosA+ cos B=()1 - 1A. 2 B - 2 C 1 D - 1答案 D解析 : acosA= bsinB,sinAcosA= sin2B= 1 cos B,sinAcosA+ cos2B

47、= 1.2.在 ABC 中,3- 4-Asma=10,则边长c的取值范围是（）n 15,A.万，+00B. (10, +8)C. (0, 10)40D. 0,可3答案 D”.c a 40.4040解析 . SinC=SnA= "3，- c= ysinC. V C (0,兀) -0<c<_3.a b 2c3 .在单包圆上有二点 A, B, C,设ABC的二边长分别为a, b, c,则诉十与nB+nC答案 7解析 :ABC的外接圆的直径为2R=2,a bsinA sinBcsinC2R=2,a bsinA+2sinB +2csinC= 2+1+4=7.知识点判断三角形的形状4

48、 .在 ABC中，若a=2bcosC,则这个三角形一定是()A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等腰或直角三角形答案 A解析 由 a= 2bcosC,得 sinA=2sinBcosC,sin(B+C) = 2sinBcosC,sinBcosC+ cosBsinC = 2sinBcosC, .sin(B C) = 0,.B=C,这个三角形一定是等腰三角形.5 .已知在 ABC中，角A, B所对的边分别是a和b,若acosB=bcosA,则 ABC一定 是()A.等腰三角形B.等边三角形C.直角三角形D.等腰直角三角形答案 A解析 由正弦定理,得 acosB=bcosA? sinAc

49、osB= sinBcosA? sin(A B)=0,由于一TtA-B<Tt,故必有AB = 0,即ABC为等腰三角形.6 .在 ABC中，若一aA=，=cC，则4ABC的形状为()cos2 cos2 cos2A.等腰三角形8 .等边三角形C.等腰三角形或直角三角形D.等腰直角三角形答案 B解析由正弦定理，得既=嘴=墨, cos2 cos2 cos22sinA= 2sin2 = 2sin2.A, B,B , C显然2+2=九或+2二冗均不成立.ABC.2 2 =2 即A=B=C,. ABC为等边二角形.故选B .7.在4ABC中，已知包喈="萼，试求4ABC的形状. cosB c

50、osA万a2sinB b2sinA解 . -=-, a=2RsinA, b = 2RsinB,cosB cosA4R2sin2AsinB 4R2sin2BsinA:=;.cosBcosA又. sinAsinBw 0,sinAcosA= sinBcosB,即 sin2A=sin2B, .2A=2B,或 2A+2B=tt,一，、兀即 A= B,或 A+B=/.故4 ABC是等腰三角形或直角三角形知识点三三角形中的三角函数问题8.在 ABC 中，已知(b+c) ： (c+ a) ： (a+b) = 4 ： 5 ： 6,则 sinA : sinB : sinC 等于()A. 6 ： 5 ： 4 B.

51、7 ： 5 ： 3C. 3 ： 5 ： 7 D. 4 ： 5 ： 6答案 B解析 : (b+ c) ： (c+a) ： (a+b)=4 ： 5 ： 6,b+c c+a a+b =456 .，b+c=4k,a b+c c+a a+b ，八八、皿山一令一;j-= 匚 =k(k>0),贝U4 c+a = 5k, 456a+ b=6k,7a = k,5解得b b = k,c 3l1 c= 2k. sinA : sinB : sinC = a : b ： c=7 ： 5 ： 3.19.已知 ABC的角A, B, C所对的边分别为a, b, c,且acosC + 2c=b,则角A等于（）冗冗冗冗A.

52、 3 B. 4 c. 6 » 12答案 A解析由正弦定理，得1 .sinAcosC + 2SinC= sinB = sin（A+ C）,1 .-sinAcosC + 2sinC = sinAcosC + cosAsinC,一 1 一九一、,一 .cosA=j. ' A=.故选 A.23易错点忽视角之间的关系 一 一.、a+b10. AABC的二边各不相等，角A, B, C的对边分别为a, b, c且acosA= bcosB,求c的取值范围.易错分析 这里容易忽视讨论“A=B”这个情况，从而产生“A= B”这个增根.解acosA= bcosB, . sinAcosA=sinBc

53、osB. .sin2A= sin2B.V2A, 2B （0, 2兀）.2A=2B 或 2A+2B=兀.> =_ 冗. A=B 或 A+B = 2.，一. 兀如果A=B,那么a=b不符合题意，；A+B = 2."b =sinA+机inB = sinA+sinB = sinA+cosA=V2sinA+/. c sinC14. awb, C：,A、0,5且 Aw热a+ bce（i,也）.一、选择题1.在 AABC 中，若 A= 178°, B=1°,则有（）A 3、上 B 3'sinA>sinB ' sinA<sinBC- saA=SnB D-以上结论都不对答案 Ca b解析 由正弦定理 二