计算机模拟物理作业1

1、计算机模拟物理第一次作业工物02 黄丽达 2010011686工物02 王岩 2010011707工物02 胡丕丕 20100116811. 行星运动方程的描述在行星运动过程中受到太阳对其的引力作用，在直角坐标系下，其受力如（1-1）式：d2xdt2=dvxdt=-GMr3+xd2ydt2=dvydt=-GMr3+y （1-1）其中，外有引力常量G=6.672×10-11Nkg-2m2+，M为太阳质量，M=1.990×1030kg ，为指数偏离度。1.1 地球绕太阳运动在天体的实际运动中，空间尺度和时间尺度都非常大，因此，取地球到太阳的平均距离为单位长度（1AU），地球绕太

2、阳运动的周期时间为单位时间（1year），记：A=1AU=1.496x1011mB0=1year=365x24x3600s=3.154x107sB0=1year是平方反比的中心力场情况下地球做圆周运动的周期，如果引力不满足平方反比规律，有一个偏离，此时的周期为B，单位为年（year）。GMmR2=m(2B0)2AGMmR2+=m(2B)2AB=B0A/2当使用A和B作单位时，记x=XA，y=YA，t=TB，此时有vx=dxdt,VX=dXdTvy=dydt,VY=dYdTvx=ABVXvy=ABVY （1-2）将（1-2）代入（1-1）得到：dVXdT=B2Advxdt=-B2AGMRA3+X

3、A=-GB2MA3+XR3+=-GB02MA3XR3+dVYdT=B2Advydt=-B2AGMRA3+YA=-GB2MA3+YR3+=-GB02MA3YR3+ （1-3）记k=GB02MA3=39.439，采用新的单位制后，运动方程为：dVXdT=-kXR3+dVYdT=-kYR3+ （1-4）1.2 二行星运动记：A=1AU=1.496x1011m，B=1year=365x24x3600s=3.154x107s，k=GB2MA3=39.439不考虑两行星之间的相互作用时，每个行星的运动单独考虑。dVXdT=-kXR3dVYdT=-kYR3 （1-5）考虑两行星之间的相互作用时，对行星1，加

4、速度分量如下：d2x1dt2=dvx1dt=-GMr3x1-Gm2r123(x1-x2)d2y1dt2=dvy1dt=-GMr3y1-Gm2r123(y1-y2) （1-6）记k1=GB2m2A3=0.39439dVX1dT=-kX1R3-k1(X1-X2)R123dVY1dT=-kY1R3-k1(Y1-Y2)R123 （1-7）同理，对行星2：d2x2dt2=dvx2dt=-GMr3x2-Gm1r123(x2-x1)d2y2dt2=dvy2dt=-GMr3y2-Gm1r123(y2-y1) （1-8）记k2=GB2m1A3=0.039439dVX2dT=-kX2R3-k2(X2-X1)R12

5、3dVY2dT=-kY2R3-k2(Y2-Y1)R123 （1-9）作业采用Visual Studio 2012编程生成轨道的数据，用matlab作图。2. 地球绕太阳运动数值模拟实验a) 太阳坐标取为（0,0）。选择合适的初速度，使行星运动为圆周运动。用Euler-Cromer方法模拟。用Euler方法结果如何。选取初速度时，我们假定地球绕太阳作圆周运动，则其速度满足v=2RT=6.28使用Euler-Cromer方法，vn+1=vn+antyn+1=yn+vn+1t时间间隔设为0.1，模拟10个周期，得到的轨道如图2-1：时间间隔设为0.01，模拟10个周期，得到的轨道如图2-2：时间间隔

6、设为0.001，模拟10个周期，得到的轨道如图2-3：使用Euler方法，vn+1=vn+antyn+1=yn+vnt时间间隔设为0.1，模拟10个周期，得到的轨道如图2-4：时间间隔设为0.001，模拟10个周期，得到的轨道如图2-5：时间间隔设为0.00001，模拟10个周期，得到的轨道如图2-6：综上所述，行星绕地球运动的轨道模拟结果为圆形。模拟时时间间隔越小，轨道越接近圆形；Euler-Cromer方法与Euler方法比较，相同时间间隔的情况下，前者的模拟轨道更接近圆形，即结果更接近真实值。b) 如果行星间的吸引力不是1r2而是1r2±，其中是小量，取为0.05.取行星在t=

7、0时的位置及速度为(x,y)0=1,0，(u,v)0=0,5，什么会发生？轨道会不会重叠？说明这不是由t的选取所致。行星会飞离或落入恒星吗？根据上问的结果，我们选用Euler-Cromer方法进行模拟。时间间隔设为0.001，模拟10个周期，得到的轨道如图2-7：时间间隔设为0.001，模拟1000个周期，得到的轨道如图2-8：时间间隔设为0.0001，模拟10个周期，得到的轨道如图2-9：行星运动的轨道不再是圆，而是在一个圆环形的区域内运动，其轨道会发生重叠。由2-7和2-9可知，这不是t的选取导致的，行星不会飞离或落入恒星。c) 如果吸引力1r3，先分析当(x,y)0=1,0，u=0时的v

8、值。t必须是多少才能使计算的圆轨道在数圈内维持圆周？改变前面所确定的v大小2%，所得的轨道有何性质？此时B=B0A/2=6.0012×107s行星受力满足k1R3=V2R，V=kR=6.28，即初速度v=ABV=1.5655×104m/s时间间隔设为0.01，模拟10个周期，得到的轨道如图2-10：时间间隔设为0.001，模拟10个周期，得到的轨道如图2-11：时间间隔设为0.0001，模拟10个周期，得到的轨道如图2-12：时间间隔设为0.00001，模拟10个周期，得到的轨道如图2-13 :改变v的大小，使v增大2%，v=6.4056时间间隔设为0.00001，模拟10

9、个周期，得到的轨道如图2-14 :改变v的大小，使v减小2%，v=6.1544时间间隔设为0.00001，模拟10个周期，得到的轨道如图2-15 :综上，如果吸引力1r3，初速度仍为6.28（天文学量纲），t至少小于0.001时，轨道才能在数圈内维持圆周。v增大2%，行星将向远处飘移逐渐远离太阳，v减小2%，行星将逐渐接近太阳。3. 二行星运动数值模拟实验二行星m1、m2绕太阳M运行，m1/M=0.001，m2/M=0.01。取t=0.001，太阳坐标为（0,0）；（x1,y1）=（1,0），（u1,v1）=（0，GM/x1）；（x2,y2）=（41/3,0），（u2,v2）=（0，GM/x2

10、）化为天文单位，v1=6.2809，v2=4.9581a) 不考虑行星相互作用时，描述行星的轨道形状和周期。时间间隔0.001，模拟10个周期，得到的轨道如图2-14，两个行星的轨道都是以太阳为圆心的圆。其中红色为太阳的位置，蓝色的圆是行星1的轨道，周期为1B，黑色的圆是行星2的轨道，周期为2B。b) 考虑行星相互作用时，描述行星的轨道形状和周期。考虑行星相互作用时，其轨道如图3-2，蓝色为行星1，黑色为行星2。两个行星做变轨道的近椭圆运动。由于轨道不封闭，周期没有意义。c) 研究行星1总能量和总角动量是否守恒；二行星总能量和总角动量是否守恒。首先，我们来分析行星1的能量，行星1的能量包括三部分：行星1的动能、行星1和太阳之间的势能、两行星之间的势能。其能量随时间的变化如下图3-3所示。由图可知，行星1的能量不守恒。接下来我