广西壮族自治区河池市部分学校2024-2025学年高三下学期4月联考数学试题（原卷版+解析版）

高三数学考生注意：1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效.4.本卷命题范围：高考范围.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，或，则（）A. B.C. D.2.若，则（）A.4 B. C. D.3.设向量，，若，则（）A.2 B.1 C. D.04.已知是等比数列的前项和，若，，则（）A B. C. D.5.已知，动点满足，动点满足，则的最小值为（）A. B.2 C. D.6.已知，，，则（）A B. C. D.7.某商场举办购物抽奖活动，其中将抽到的各位数字之和为8的四位数称为“幸运数”（如2024是“幸运数”），并获得一定的奖品，则首位数字为2的“幸运数”共有（）A.32个 B.28个 C.27个 D.24个8.函数（其中，且）是其定义域上的单调函数，则实数a的取值范围为（）A. B. C. D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.某超市随机抽取了当天100名顾客的消费金额作为样本，并分组如下：，（单位：元），得到如图所示的频率分布直方图，则下列说法正确的是（）A.若该超市当天总共有600名顾客，则消费金额在（单位：元）内的顾客约有180人B.若每组数据以区间中点值为代表，则样本中消费金额的平均数是145元C.若用样本估计总体，则该超市当天消费金额的中位数是100.8元D.现从样本第1，2组中用比例分配的分层随机抽样方法抽取6人，再从这6人中随机抽取2人做进一步调查，则抽到的2人的消费金额都不少于50元的概率是10.已知函数，则下列说法正确的是（）A.是函数的周期B.函数的图象关于直线对称C.函数在区间上单调递减D当时，11.已知正方体的棱长为2，，分别是棱的中点，动点满足，其中，则下列命题正确的是（）A.若，则平面平面B.若，则与所成角的取值范围为C.若，则平面D.若，则线段长度的最小值为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知为第一象限角，，则＝_______．13.已知是抛物线上三个不同的点，它们的横坐标，，成等差数列，是的焦点，若，则的取值范围是______．14.已知定义在的函数满足对任意的正数，都有，若，则______．四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.在中，角的对边分别为，已知.（1）求角的大小；（2）若的面积为，求边的大小.16.已知函数，其中，.（1）当时，求的图象在处的切线方程；（2）当时，若函数在区间上存在极值，求的取值范围.17.在平面图形AEBCD（如图1）中，已知，，，，将沿着AB折起到的位置，使得，连接DP，得到四棱锥，如图2所示.（1）求证：；（2）求平面ADP与平面CDP夹角的余弦值.18.已知椭圆经过点左､右焦点分别为，且.（1）求的方程；（2）若过点的直线与交于点､，且线段的中点恰好为，求直线的方程；（3）若斜率为且不经过点的直线与交于不同两点，直线的斜率成等差数列，求的取值范围.19.某市教育局举办的校园足球比赛，其中小学生足球淘汰赛阶段的比赛规则如下：①常规时间分上、下半场，每个半场各30分钟，在常规时间内进球多的一方获得比赛的胜利并进入下一轮；②如果在常规时间内两队战平，则双方各派3名队员进行3轮点球决战，进球多的一方获得比赛的胜利并进入下一轮；③如果点球大战依然战平，则将进行抽签决定哪支球队进入下一轮，现有甲、乙两队进行淘汰赛阶段的比赛．（1）假设在常规时间内甲队获胜的概率为，战平的概率为；在点球大战中甲队获胜以及战平的概率均为；在抽签环节，两队进入下一轮机会均等．已知在甲队进入下一轮的条件下，求他们是通过抽签进入下一轮的概率；（2）点球大战中，当领先的一方提前获得比赛的胜利，则剩下的队员不再出场进行点球比赛（如甲方3∶1领先时，乙队的最后一名队员不必再出场比赛）．假设甲队每名队员射进点球的概率均为，乙队每名队员射进点球的概率均为，点球大战每一轮由甲队先踢．（ⅰ）记两队点球决战一共出场的球员人数为，求的分布列与数学期望；（ⅱ）求甲队在点球大战中获胜的概率．

高三数学考生注意：1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效.4.本卷命题范围：高考范围.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1已知集合，或，则（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根据给定条件，利用交集的定义求得答案.【详解】依题意，.故选：A2.若，则（）A.4 B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据复数的四则运算进行计算.【详解】由，得，所以，则.故选：A.3.设向量，，若，则（）A.2 B.1 C. D.0【答案】C【解析】【分析】由向量平行的坐标表示列方程求参数即可.【详解】由，得，解得.故选：C4.已知是等比数列的前项和，若，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】设等比数列公比为，利用等比数列通项公式与求和公式，解出基本量代入求解即可.【详解】设等比数列的公比为，由，解得，所以，解得，所以.故选：B.5.已知，动点满足，动点满足，则的最小值为（）A. B.2 C. D.【答案】C【解析】【分析】根据双曲线的定义可知点的轨迹是双曲线的右支，利用题设的建立等量关系即可求得点轨迹方程，从而得解.【详解】已知，为动点，根据双曲线的定义可得，由于，所以点的轨迹是双曲线的右支，且，即，则，则点的轨迹方程为，，设，由可得，整理得点轨迹方程为，所以.故选：C.6.已知，，，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用对数函数的单调性与临界值比较的值，从而得解.【详解】因为，即，，即，所以.故选：D.7.某商场举办购物抽奖活动，其中将抽到的各位数字之和为8的四位数称为“幸运数”（如2024是“幸运数”），并获得一定的奖品，则首位数字为2的“幸运数”共有（）A.32个 B.28个 C.27个 D.24个【答案】B【解析】【分析】根据题意，“幸运数”的后三位数字的和为6，故可以分成七类进行计数，利用分类加法计数原理即得.【详解】依题意，首位数字为2的“幸运数”中其它三位数字的组合有以下七类：①“006”组合，有种，②“015”组合，有种，③“024”组合，有种，④“033”组合，有种，⑤“114”组合，有种，⑥“123”组合，有种，⑦“222”组合，有1种.由分类加法计数原理，首位数字为2的“幸运数”共有个.故选：B.8.函数（其中，且）是其定义域上的单调函数，则实数a的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】求导后再分类讨论单调递增和单调递减，借助导数研究其单调性.再构造函数，得到单调性，求出范围即可.【详解】由.若单调递增，则恒成立，即.设，，又函数在时函数值趋近于0，不满足条件；若单调递减，则恒成立，即，当时，函数在时函数值趋向于，不满足条件，所以，令，则，所以在区间上单调递增，在区间上单调递减，所以，即，所以，即，解得.故选：B二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.某超市随机抽取了当天100名顾客的消费金额作为样本，并分组如下：，（单位：元），得到如图所示的频率分布直方图，则下列说法正确的是（）A.若该超市当天总共有600名顾客，则消费金额在（单位：元）内的顾客约有180人B.若每组数据以区间中点值为代表，则样本中消费金额的平均数是145元C.若用样本估计总体，则该超市当天消费金额的中位数是100.8元D.现从样本的第1，2组中用比例分配的分层随机抽样方法抽取6人，再从这6人中随机抽取2人做进一步调查，则抽到的2人的消费金额都不少于50元的概率是【答案】BD【解析】【分析】根据频率分步直方图性质求出a再计算消费金额在内的顾客判断A，应用频率分布直方图求平均数及中位数判断B，C，应用分层抽样及古典概型计算判断D.【详解】因为，所以，对于A，所以消费金额在内的顾客约有人，A选项错误；对于B，样本中消费金额的平均数是元，B选项正确；对于C，设消费金额的中位数是，前二组的频率和为，前三组的频率和为，所以在第三组，所以，所以元，C选项错误；对于D，第1组频率，第2组频率分别为，所以从样本的第1，2组中用比例分配的分层随机抽样方法抽取6人，第1组抽2人，第2组抽4人，所以从这6人中随机抽取2人做进一步调查，则抽到的2人的消费金额都不少于50元的概率是，D选项正确.故选：BD.10.已知函数，则下列说法正确的是（）A.是函数的周期B.函数的图象关于直线对称C.函数在区间上单调递减D.当时，【答案】ACD【解析】【分析】利用周期函数定义可得A正确，经验证，所以的图象不关于直线对称，即B错误；利用换元法构造函数可得函数在区间上单调递减，即C正确；由选项C中的单调性可得，即D正确.【详解】因为，所以是函数的周期，故A正确；因为，，所以，故B错误；设，所以，所以，当时，可得，则，又，所以函数在上单调递减，又在上单调递增，所以由复合函数的单调性，可得函数在区间上单调递减，故C正确；当时，可得，则，又由，在上单调递减，当，即时，函数单调递增；当，即时，函数单调递减，由复合函数的单调性，可得函数在上单调递减，在上单调递增，所以，故D正确.故选：ACD.11.已知正方体的棱长为2，，分别是棱的中点，动点满足，其中，则下列命题正确的是（）A.若，则平面平面B.若，则与所成角的取值范围为C.若，则平面D.若，则线段长度的最小值为【答案】AC【解析】【分析】由的取值确定动点所在线段，A项先证明线面垂直，再证面面垂直即可；BD项建系，利用向量方法分别求解线线角与长度可得；C项由线线平行得线面平行，再得面面平行，由此线面平行得证.【详解】A项，如图，取线段的中点Q，连接AQ、DE.，，若，则，则三点共线，即点P在线段AQ（不包含点）上运动；由分别是线段的中点，则与全等，则，，所以.由平面，，得平面，平面，所以，又平面，平面，，所以平面，又平面，所以平面平面，故A正确；B项，，若，则，则三点共线，即点P在线段AC（不包含点）上运动；如图，以为坐标原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，则，由，则又，所以，，因，则，，，因为与所成角锐角或直角，故与所成角的取值范围为，故B错误；C项，如图，过作，交于，则为中点.延长至，使，连接.取的中点，连接，交于，则为中点，连接.由，且，得四边形为平行四边形，则，由，则，则四点共面.由，所以，平面，平面，则平面，同理，平面，又平面，平面，，故平面平面.若，由，可得，，，则三点共线，即点P在线段MN（不包含点）上运动；又平面，故平面，故C正确；D项，如图，连接.若，由，可得，，，与C项同理可得，点P在线段NG上运动.连接，同选项B建系，则有，则，，所以，则，故当时，线段长度的最小值为，故D错误.故选：AC.【点睛】关键点点睛，应用向量加减法的几何意义（平行四边形法则与三角形法则）确定动点的轨迹是解决此类题型的关键所在.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知为第一象限角，，则＝_______．【答案】##【解析】【分析】利用三角函数的平方关系、两角差的余弦展开式计算可得答案.【详解】因为为第一象限角，，所以，所以.故答案为：.13.已知是抛物线上三个不同的点，它们的横坐标，，成等差数列，是的焦点，若，则的取值范围是______．【答案】【解析】【分析】先求出，故可得，结合基本不等式可求.【详解】因为，故，故，故，所以，即，若，则，故中必有两个点相同，这与题设矛盾，故，故，由基本不等式有，即，故答案为：.14.已知定义在的函数满足对任意的正数，都有，若，则______．【答案】【解析】【分析】由抽象关系式赋值求解，赋式可得，由此可求解的关系，再将分解质因数转化为，再次赋值可得.【详解】对任意的正数，都有，令可得，解得；再令，可得，故，由，则可得，即；再令，可得，进而有，所以.故答案为：.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.在中，角的对边分别为，已知.（1）求角的大小；（2）若的面积为，求边的大小.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据正弦定理结合三角变换公式可得，故可求的值.（2）根据面积可求，再根据余弦定理可求.【小问1详解】由正弦定理与，得.所以即.因为，所以，又，所以，又，所以.【小问2详解】因为的面积为，所以，即，解得.由余弦定理，得，所以.16.已知函数，其中，.（1）当时，求的图象在处的切线方程；（2）当时，若函数在区间上存在极值，求的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）直接求导代入得到斜率，再写出点斜式方程即可；（2）等价转化为在上必存在变号零点，再设新函数求导研究即可.【小问1详解】当时，，定义域为，所以，所以的图象在处的切线方程为，即.【小问2详解】当时，，定义域为，所以，因为在区间上存在极值，所以在上必存在变号零点，令，则在上必存在变号零点，因为，所以，解得，当时，，且在上单调递增，又，故存在，使得，所以当时，，即，当时，，即，所以在上单调递减，在上单调递增，故为的极小值点，符合题意，故的取值范围为.17.在平面图形AEBCD（如图1）中，已知，，，，将沿着AB折起到的位置，使得，连接DP，得到四棱锥，如图2所示.（1）求证：；（2）求平面ADP与平面CDP夹角的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）取的中点，利用线面垂直的判定、性质，结合勾股定理的逆定理推理得证.（2）以为原点建立空间直角坐标系，平面ADP与平面CDP的法向量，再利用面面角的向量求法求解.【小问1详解】四棱锥中，取的中点，连接，由，，得，则，，又，于是四边形为平行四边形，，，由，得，则，，而，平面，于是平面，又平面，则，又，平面，因此平面，而平面，所以.【小问2详解】在平面内过点作，由（1）知平面，则直线两两垂直，以点原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，则，，设平面的法向量，则，令，得，设平面法向量，则，令，得，则，所以平面ADP与平面CDP夹角的余弦值是.18.已知椭圆经过点的左､右焦点分别为，且.（1）求的方程；（2）若过点的直线与交于点､，且线段的中点恰好为，求直线的方程；（3）若斜率为且不经过点的直线与交于不同两点，直线的斜率成等差数列，求的取值范围.【答案】（1）；（2）；（3）【解析】【分析】（1）根据及椭圆过点求解即可；（2）利用中点弦的相关知识求解即可；（3）设直线的方程为，与椭圆方程联立，由判别式大于零，得，再由直线的斜率成等差数列，可得，入，求解即可.【小问1详解】解：设，则，，所以，即，因为点在上，所以，由解得，所以的方程为；【小问2详解】解：设，则，且，两式相减得，即，因为线段的中点为，所以，所以，即直线的斜率为1，所以直线的方程为，即.【小问3详解】解：设，直线的方程为，联立，消去得，由，整理得，所以.因为直线的斜率成等差数列，所以，即，整理得，因为不经过点，所以，所以，代入，得，所以的取值范围是.19.某市教育局举办的校园足球比赛，其中小学生足球淘汰赛阶段的比赛规则如下：①常规时间分上、下半场，每个半场各30分钟，在常规时间内进球多的一方获得比赛的胜利并进入下一轮；②如果在常规时间内两队战平，则双方各派3名队员进行3轮点球决战，进球多的一方获得比赛的胜利并进入下一轮；③如果点球大战依然战平，则将进行抽签决定哪支球队进入下一轮，现有甲、乙两队进行淘